精品解析：北京市平谷中学2026-2027学年度第一学期高三开学调研测试数学试卷

2026-2027学年度第一学期高三开学调研测试 数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 最小值为0，且最小正周期为 B. 最大值为2，且最小正周期为 C. 最小值为0，且最小正周期为 D. 最大值为2，且最小正周期为 6. 某学习小组由学生和教师组成，已知男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于教师人数，教师人数的3倍多于男学生人数．该小组人数的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 7. 已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设函数，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 9. 区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 28秒 10. 已知函数．则（ ） A. 当时，在区间上单调递增； B. 对任意实数，都有最小值； C. 当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数，都有； D. 对任意实数，，存在实数，当时，恒有． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称．若角终边与单位圆交于点，则_______________． 12. 设函数，则使得成立的的取值范围是________. 13. 已知函数，若函数关于对称，则的最小值为_______________． 14. 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的一个取值为_______________． 15. 对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题： ①存在函数，则； ②设，若，则； ③存在函数满足：，且有最小值； ④设，则． 其中所有正确命题的序号为________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）若，求的单调递减区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求在上的值域． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：是的一个极值点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 在中，， （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①： 条件②： 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 如图1，五边形中，，，，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． （1）求证：平面平面； （2）记直线与平面所成角为．若，求长． 19. 已知椭圆：，离心率为，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 20. 已知函数，曲线：在点处的切线为：，记． （1）当时，求切线的方程； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明） 21. 对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，．对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质： ①，； ②． （1）以下给出数表1和数表2． 1 1 1 0 1 0 0 0 0 数表1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 数表2 （ⅰ）数表1是否具有性质？说明理由； （ⅱ）是否存在正整数，使得数表2具有性质？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由； （2）是否存在数表具有性质？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； （3）给定偶数，对每一个，将集合具有性质中的最小元素记为．求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高三开学调研测试 数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数轴求两个集合的并集. 【详解】在数轴上表示出集合A，B，如图：则 故选：A 2. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据函数的单调性判断D. 【详解】对于A：当，时，满足，但是，故A错误； 对于B：当，时，满足，但是，故B错误； 对于C：当，时，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，所以在上单调递增， 又，所以，即，故D正确. 故选：D 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出结果. 【详解】对于A，当时，单调递减，所以由可得，故A错误； 对于B，当时，单调递减，所以由可得，故B错误； 对于C，当时，在单调递增，由可得，故C错误； 对于D，当时，单调递减，所以由可得， 则，即，故D正确. 故选：D. 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于CD，当时，，故CD错误. 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. 最小值为0，且最小正周期为 B. 最大值为2，且最小正周期为 C. 最小值为0，且最小正周期为 D. 最大值为2，且最小正周期为 【答案】B 【解析】 【分析】可将函数看作一个关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，再利用周期的性质判断最小正周期 【详解】函数， 设，， 由二次函数的性质可得，当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 因此，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 因为是的两倍，猜测函数的最小正周期为或， 而，所以不是函数的周期； 而，所以是函数的周期； 因此，函数的最小正周期为. 6. 某学习小组由学生和教师组成，已知男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于教师人数，教师人数的3倍多于男学生人数．该小组人数的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设男学生、女学生、教师人数为正整数，联立题意给出的不等关系，推导参数的最小正整数解，求和得到总人数最小值． 【详解】设男学生人数为，女学生人数为，教师人数为，其中均为正整数， 根据题意可得不等关系， 男学生人数多于女学生人数： 女学生人数多于教师人数： 教师人数的3倍多于男学生人数：， 所以， 根据正整数的性质可知，， 代入，得，解得， 所以的最小值为， 当时，代入得， 此时最小取，最小取，所有不等关系均成立， 总人数最小值为． 7. 已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行分析得解. 【详解】充分性分析： ，，单调递减，， ，，， ， ， “单调递减”是“存在，对任意的， 均有”的充分条件； 必要性分析：设，取， 当时，，则， 此时； 当时，则， 此时； 故存在，对任意的，均有， 但是不是单调递减函数， 故 “单调递减”是“存在，对任意的， 均有”的不必要条件； 综上可知，“单调递减”是“存在，对任意的， 均有”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 设函数，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目中函数方程中含有对数与指数式，不好直接求解零点，须结合函数的图象解决，故先分别画出对数函数和指数函数的图象考虑，利用函数的图象与性质解决． 【详解】令得：，令得：， 分别画出左右两边函数的图象，如图所示． 由指数与对数函数的图象知：， 于是有，得， 故选：． 9. 区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 28秒 【答案】C 【解析】 【详解】设最坏情况下破译该密码需要秒，则， 方程两边同时取以为底的对数得，，化简得， 所以，化简得， 由题目提供的参考数据，，，所以， 所以； 估算，与接近，因此有， 故 10. 已知函数．则（ ） A. 当时，在区间上单调递增； B. 对任意实数，都有最小值； C. 当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数，都有； D. 对任意实数，，存在实数，当时，恒有． 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，取区间内特殊值验证导数存在负值即可进行判断；B选项，当时，函数没有最小值进行判断；C选项，验证时，两图象的交点情况给出反例即可进行判断；D选项，化简整体趋向正无穷，满足题意，即可判断. 【详解】对于A：当时，，所以， 当时，，，， 即在上单调递减，故A错误； 对于B：当时，在上单调递增，但没有最小值，故B错误； 对于 C：当，，由，则， 由图象可知：，则，故C错误； 对于D：因为， 当时，，有界；因此， 故存在实数，当时，恒有，故D正确. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称．若角终边与单位圆交于点，则_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义求解. 【详解】因为角与角的终边关于原点对称，且角终边与单位圆交于点， 所以角终边与单位圆交于点， 所以. 12. 设函数，则使得成立的的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论从而解不等式即可. 【详解】当时，由，得，所以，又因为，所以； 当时，由，得，所以，又因为，所以. 所以满足成立的的取值范围为 . 故答案为：. 13. 已知函数，若函数关于对称，则的最小值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称轴，由求解. 【详解】函数关于对称， 则， 所以，又， 所以的最小值是1. 14. 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的一个取值为_______________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】先根据三角函数图象平移规则得到的解析式，再结合两函数的值域特征推导方程有实根时，的取值规律，任选符合条件的取值即可． 【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到， 再向上平移2个单位长度得， 的值域为，的值域为， 要使得，需使得， 由，得， 由，得， 所以，即， 所以， 化简得， 取，得． 15. 对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题： ①存在函数，则； ②设，若，则； ③存在函数满足：，且有最小值； ④设，则． 其中所有正确命题的序号为________． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据新定义表示方程的实根个数，结合函数性质、图象平移变换逐个判断命题的正误. 【详解】 ① 对，令，即，去绝对值得或，即或，解得、，共4个实根，故，①正确. ② 由的性质可知，因此当时，方程无实根，即.根据题设，可得此时，即对任意，无实根，因此恒成立，②正确. ③ 若有最小值，则对任意，方程无解，即，这与对任意实数成立矛盾.因此无最小值，不存在满足条件的函数，③错误. ④的图象是的图象沿轴平移个单位得到的，平移变换仅改变根的取值，不改变方程实根的个数，因此对任意实数，与的实根个数相等，即，④正确. 综上，正确命题的序号为①②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）若，求的单调递减区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求在上的值域． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：是的一个极值点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）单调递减区间为，； （2）选条件①或③时，值域为；条件②不符合要求. 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，代入，结合正弦函数的单调区间求解； （2）先由区间单调性得到的取值范围，再结合所选条件确定唯一的，最后求指定区间上的值域； 【小问1详解】     又时，故 ，  令，，  解得：， ， 故的单调递减区间为，； 【小问2详解】 当时， ， 因为在上单调递增，所以，解得， 选条件①： ，故 ， 因为，所以，仅当时成立， 解得，唯一确定， 此时，当时，， 故，即值域为； 选条件②：是的零点 由零点定义得，即，， 解得， 结合，得或，不唯一，不符合要求； 选条件③：是的极值点, 由极值点性质得，， 结合得，解得，唯一确定； 此时，同条件①，值域为. 17. 在中，， （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①： 条件②： 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选②，不存在；选①，高为；选③，高为. 【解析】 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选②，可由三角形内角和，确定矛盾；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理有，解得； 【小问2详解】 如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，由，得， 由正弦定理得，所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选②，， 因为，又， 所以，此时不存在， 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得， 此时三角形是存在的， 且边上的高满足：，即. 18. 如图1，五边形中，，，，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． （1）求证：平面平面； （2）记直线与平面所成角为．若，求长． 【答案】（1）由平面平面，且平面，平面平面，，则平面， 又平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理可得平面，进而根据面面垂直的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，进而根据向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点，则结合（1）得，，两两垂直， 则以为原点，直线，，的平行线为，，轴建立如图空间直角坐标系， 在中，由，，则， 则在中，得， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以， 所以，解得，即， 所以长为． 19. 已知椭圆：，离心率为，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点Q恒在椭圆W上，理由： 由（1）可知，、，根据直线两点公式可得： 的方程为， 因为点在上，设， 直线过和， 当时，直线斜率不存在，此时E与B重合，也Q与B重合，显然Q在椭圆上； 当时，直线方程为：，令，解得，即， 直线过和，所以直线方程为： ，直线过和，直线方程为： ，所以， 化简得：， 展开整理得：，进一步化简得： ，即， 则，代入方程得：， 即，代入可得： ， 完全符合椭圆W的方程，因此点Q恒在椭圆W上. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率公式与的面积条件，联立求解的值，直接得出椭圆的方程. （2）先写出直线的方程设出点坐标，依次推导各条直线方程得到点的坐标，代入椭圆方程验证满足椭圆方程即可. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由椭圆性质可知：左右顶点，， 上顶点，的底为，高为， 因此面积，离心率​​， 结合椭圆关系可得， 即，，将代入， 解得，，因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 20. 已知函数，曲线：在点处的切线为：，记． （1）当时，求切线的方程； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，又因为， 所以， 定义域为，，设， 则，设， ，当时，，所以在单调递减， 又因为，当时，， 即，所以在上单调递增， 当时，，即， 所以在上单调递减，因为在单调递增， 在上单调递减，所以在处取得最大值， 即，所以， 当且仅当时取等号，则在上单调递减， 因为， 当时，，所以，当时，， 当时，，所以，综上，. （3） 【解析】 【分析】（1）先求与，再用点斜式求切线方程. （2）先求与，分析单调性确定单调性，进而证明. （3）根据函数性质和导数知识判断零点个数. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，， 所以，根据点斜式切线方程可得： ，化简可得切线的方程为：. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 根据题意可得：，令， 则，令， ， 当时，，，，所以恒成立， 即在上严格递减，又因为，所以， 时，，则，递增， 时，，则，递减， 则在处取全局最大值，即， 等号仅，又因为， 满足，，当，， 在递增且值域为，所以存在唯一的，使得， 所以当时，，则，所以在递减， 当时，，则，所以在递增， 当时，，则，所以在递减， 即在处取极大值，当，，所以， 当时，，所以，因此在上， 从递减到，存在唯一零点， 在上，从递减到，无新零点，加上本身，共有个零点， 同理，当时，共有个零点，综上所述，当时，恰有个零点. 21. 对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，．对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质： ①，； ②． （1）以下给出数表1和数表2． 1 1 1 0 1 0 0 0 0 数表1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 数表2 （ⅰ）数表1是否具有性质？说明理由； （ⅱ）是否存在正整数，使得数表2具有性质？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由； （2）是否存在数表具有性质？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； （3）给定偶数，对每一个，将集合具有性质中的最小元素记为．求的最大值． 【答案】（1）（i）数表不具有性质． 由，不满足条件②， 所以数表不具有性质． （ii）存在． 由图表可知， 故时，数表具有性质． （2）不存在数表具有性质． 假设存在使得数表具有性质， 则有， 即在这两行中，有列的数不同，设其中有列是第行的数为，第行的数为， 则有列是第行的数为，第行的数为， 所以从第行到第行，一共增加了个，的个数的奇偶性不变． 所以任意两行中，的个数的奇偶性相同， 与数表第一行有个，最后一行有个矛盾， 所以，不存在具有性质的数表． （3） 【解析】 【分析】（1）（i）根据数表具有性质的定义即可判断； （ii）根据条件②，分别计算即可求出的值； （2）假设存在使得数表具有性质，根据题意可推出任意两行中，的个数的奇偶性相同，与数表第一行有个，最后一行有个矛盾，进而可得结论； （3）定义行列的数表，满足设定的条件其第i行第j列为，（），在其条件下先证明，再证时，，综合可得，，进而即可求出的最大值． 【小问1详解】 （i）略 （ⅱ）略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的最大值为． 定义行列的数表： 其第i行第j列为，（）， 则，且表示，两数相同，表示，两数不同， 因为数表的第行确定，所以给定数表后，数表唯一确定． ①先证． 按照如下方式，构造数表：对于第行和第行，， 令，，，， 且在这两行其余的列中，任选相同的列都为，其他列都为， 于是可得到具有性质的数表如下： 第1列 第2列 第3列 第4列 第n－1列 第n列 第1行 1 1 1 1 … 1 1 第3行 0 0 1 1 … 1 1 第5行 0 0 0 0 … 1 1 … 第行 0 0 0 0 … 0 0 即对于每个，当时，都存在数表具有性质． 所以． ②再证时，． 记（）． 因为是奇数，所以与的奇偶性不相同（）． 因为，，所以是奇数， 考虑的第行和第行， 因为，所以这两行中都有列为，列为， 若这两行相同，则数表的第i行和第行相同，； 若这两行不同，设其分别在第p，q列为0， 则数表的第i行和第行只在第p，q列上不同，其他列都相同，． 因为，，其中是偶数． 所以， 所以，即． 结合①，． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $