25.2.4 公式法（2） 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教案聚焦公式法解一元二次方程，通过预习学案回顾求根公式与判别式，以目标驱动自学，链接旧知为新知建构搭建支架，引导学生明确学习方向。 资料以学生自学为主，结合合作探究不同形式方程，利用多媒体展示错例对比分析符号问题，培养运算能力与推理意识，分层作业兼顾差异。助力学生提升运算准确性与严谨习惯，帮助教师以学定教，高效突破难点。

25.2.2公式法(2) 【知识回顾】 1.一元二次方程x2-2x-m=0的根的判别式的值是， 这个方程有」 的实数根. 2.(2024上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(） Af-6=0B.f-9=0C.-6xt6=0D.-6t9=0 3.(2024自贡)关于x的方程+mr-2=0根的情况是() A有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.(2024兰州)关于x的一元二次方程9x-6x种c=0有两个相等的实数根，则c=（) A-9B.4C.-1D.1 【新知学习】 1.用配方法解方程ax+bx+c=0(a≠0)，可得出： -b±VB-4ac 当△=b-4ac≥0时，方程ax+bx+c=0(a≠0)的实数根可以写成为=2a的形式，这个式子叫做一元二 次方程ax'+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 2.用公式法解下列方程. (1)x°-3x-2=0. 解：a=1,b=-3,c=-2. △=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0 方程有两个不相等的实数根 6±6--3±亚-3士☑ 2a 2×1 2 3+V173.V17 即x1= 2,2 (2)2x2-22x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)4x°-3x+2=0 解：a=4,b=-3,c=2 △=b2-4ac=(-3)2-4×4×2=-23<0 方程无实数根， (5)8x-17=x2 归纳：用公式法解一元二次方程的步骤： ①化成一般式：将方程化一般式：ax+bx+c=0(a≠0)： ②确定系数：用a,b,c写出各项系数； ③计算：求出△=b2-4ac的值，并判断方程的解的个数： ④求解：如果△≥0，则利用求根公式求出未知数的值；如果△<0，则方程没有实数根 【学习检测】 1.用公式法解方程6x-8=5x,a,b,c的值分别是() A5,6,-8B.5,-6,-8C.5,-6,8D.6,5,-8 2.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值，对于方程-4x'+3=5x,下列叙述正确的是（) Aa=-4,b=5,c=3 B.a=4,b=5,c=3 C.a=-4,b=-5,c=3 D.a=4,b=-5,c=-3 3,x5±5+4x31是下列哪个-元二次方程的根{） 2×3 A3x+5x+1=0B.3x-5x+1=0 C.3x2-5x-1=0D.3x2+5x-1=0 4.用公式法解方程3x°+4=12x,代入公式正确的是() Ax=12±122-3×4 Bx=12±12-3×4 2 2 cx-12±8-12P-4×3×4 Dx=-12)±-12-4×3×4 2×3 2×3 5.(2023台湾)利用公式解可得一元二次方程式3x2-11x-1=0的两解为a、b,且a>b,求a值为何() A11+9/109 &1+738 c11+109 6 6 D1+813 6 6 6.用公式法解下列方程。 (1)(2025齐齐哈尔)x2-7x=-12; ②父.3x子0 (3)(2023无锡)2x°+x-2=0; (4)3x°=4-2x: (5)x°+4x+8=4x+11; (6)x(2x-4)=5-8x.25.2.2公式法(2) 【知识回顾】 1.一元二次方程x2-2x-m2=0的根的判别式的值是4+4，这个方程有两个不相等的实数根. 2.(2024上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是（①） Af-6=0B.-9=0C.X2-6xH6=0D.x2-6xH9=0 【解析】D:△=36-36=0，有两个相等实根，选D. 3.(2024自贡)关于x的方程2+mx-2=0根的情况是(A) A有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 【解析】△+8>0恒成立，有两个不相等实根，选A. C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.(2024兰州)关于x的一元二次方程92-6Hc一0有两个相等的实数根，则c=(D) A-9B.4 C.-1D.1 【解析】△=36-36c-0→c=1,选D. 【新知学习】 1.用配方法解方程ax+bx+c=0(a≠0)，可得出： -b±VB2-4ac 当△=b-4ac≥0时，方程ax+bx+c=0(a≠0)的实数根可以写成为x=2a一的形式，这个式子叫做一元二 次方程ax'+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 2.用公式法解下列方程. (1)x2-3x-2=0 解：a=1,b=-3,c=-2. △=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0 方程有两个不相等的实数根 -(-3)±V17_3±17 2 x3+17)/2 2×1 3+V173-V17 2 -即x1=(3+V17)/2,x2-(3-W17)/2. (2)2x2-2V2x+1=0 (2)△=(-2)2-4×2×1=-4K0,方程无实数根. (3)5x2-3x=x+1 (3)化为5x2-4x-1=0,△=360，x=(4牡6/10，x=1,x2=-1/5」 (4)4x2-3x+2=0 解：a=4,b=-3,c=2 △=b2-4ac=(-3)2-4×4×2=-23<0 方程无实数根， (5)8x-17=x2 (5)化为x-8x+17-0,△=64-68=-4K0,方程无实数根， 归纳：用公式法解一元二次方程的步骤： ①化成一般式：将方程化一般式：ax'+bxtc=0(a≠0)： ②确定系数：用a,b,c写出各项系数； ③计算：求出△=b'-4ac的值，并判断方程的解的个数： ≥00④求解：如果△，则利用求根公式求出未知数的值；如果△<，则方程没有实数根. 【学习检测】 1.用公式法解方程6x-8=5x2,a,b,c的值分别是(C) A5,6,-8B.5,-6,-8C.5-6,8D.6,5,-8 【解析】化为5x2-6x-8-0,故a=5,b=6,c=-8,选C. 2.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定、b、c的值，对于方程-4x2+3=5x,下列叙述正确的是(C) Aa=-4,b=5,c=3B.a=4,b=5,c=3 C.a=-4,b=-5,c=3D.a=4,b=-5,c=-3 【解析】化为-4x2-5x+3=0,故a=4,b-5,c=3,选C. -5±5+4×3×13.x=是下列哪个一元二次方程的根D) 2×3 A3x2+5x+1=0B.3x2-5x+1=0 C.3x2-5x-1=0D.3x2+5x-1=0 【解析】将根代入检验，3x2+5x-1=0满足，选D. 4.用公式法解方程3x2+4=12×,代入公式正确的是(D) Ax=12±12-3×4 Bx=12±V12-3×4 2 2 cx=-12±-12-4x3×4 Dx=-12)±123-4×3×4 2×3 2×3 【解析】化为3x2-12x+4=0,a=3,b=12,c-4,代入x=(12±V(144-48)/6,选D. 5.(2023台湾)利用公式解可得一元二次方程式3x2-11x-1=0的两解为a、b,且a>b,求a值为何D) 【解析】x=(11±√133)/6，因a>b,故a(11+V133)/6. A11+/109 n1+9133 6 &-11+8133c1+09 6 6 6 6.用公式法解下列方程. (1)(2025齐齐哈尔)x2-7x=-12; 2)x2.3x-1=0 4 (1)化为x2.7x+12=0,(k-3)x-4)=0,x=3,x2=4. (3)(2023无锡)2x°+x-2=0 (4)3x°=4-2x (4)化为3x2+2x-4=0,△=52，x=(-2±V52)/6=(-1±V13)/3. (5)x2+4x+8=4x+11: (6)x(2x-4)=5-8x. (5)化为23=0，=±V3,x1=V3,=V3. (6)化为2x+4x-5=0,△=56，x=(-2±V14)/2. 25.2.4 公式法（2） 教学设计（教案） 一、教学基本信息 课 题：25.2.4 公式法（2）——公式法应用 课 型：新授课 课 时：1 课时 年 级：九年级 教 材：人教版九年级上册 第二十五章 总 课 时：45 分钟 二、教学目标 知识与技能： 熟练用公式法解各类一元二次方程； 能先将不同形式的方程化为一般形式，再正确代入 a、b、c； 会根据方程特点在四种解法中合理选择。 过程与方法： 在对比练习中体会公式法的“通性通法”地位； 通过错题反思，提升运算的准确性与规范性。 情感态度与价值观： 在规范书写中养成严谨习惯； 体会“通法”带来的效率。 三、教学重难点 教学重点： 用公式法熟练解一元二次方程 教学难点： 化一般形式时系数符号的确定； a、b、c 代入时负号与分母 2a 的处理。 四、教学准备 学生课前完成的预习学案 多媒体课件（错例对比） 课堂学案（含【学习检测】） 五、教学过程（学生自学为主，师生点拨互动） 环节1 目标导学·预习自学（5分钟） 【学生活动】阅读学案【知识回顾】，独立回顾求根公式、判别式；明确本课学习目标，带着问题进入自学。 【教师点拨】课前发放学案，课堂伊始出示学习目标与自学提纲，引导学生聚焦核心问题，提醒自学的方法与时间。 【设计意图】以目标驱动自学，唤醒旧知，为新知建构铺垫，落实“先学后教”。 环节2 合作探究·新知建构（15分钟） 【学生活动】依据学案【新知学习】中的“用公式法解 5 道不同形式方程”及步骤归纳独立尝试，再同桌或小组合议；记录困惑与不同解法。 【教师点拨】巡视各组探究过程，捕捉典型思路与误区；针对核心难点“准确化一般形式并代入 a、b、c（含符号）”组织全班交流，在关键处点拨、追问、提炼，引导学生自主概括规律（如公式法步骤：化一般形式→定 a,b,c→算 Δ→代公式）。 【设计意图】把课堂还给学生：自学—互学—展学—点拨，在师生互动中突破重难点，形成方法。 环节3 跟踪练习·巩固内化（12分钟） 【学生活动】独立完成学案【跟踪练习/巩固】题目，规范书写步骤并自我核对。 【教师点拨】巡视批阅，标记共性问题；选取典型错例投影，组织学生“找错—析因—纠错”，针对性点拨易错点。 【设计意图】在练习中内化方法，教师以学定教、精准点拨，避免“一讲到底”。 环节4 学习检测·评价反馈（10分钟） 【学生活动】完成学案【学习检测】自测，先自查再同桌互评，红笔订正。 【教师点拨】利用投影或实物展台讲评重点题，师生共同归纳解题通法；对学困生个别辅导。 【设计意图】以测促学、以评导学，及时反馈，确保目标达成。 环节5 归纳小结·分层作业（3分钟） 【学生活动】自主梳理本课知识与方法（可借助学案小结栏），提出仍存疑问。 【教师点拨】引导学生构建知识网络，升华思想方法（如降次、转化），布置分层作业（基础+提升）。 【设计意图】促进元认知，形成结构；分层作业兼顾全体与个体差异。 （本课时合计约 45 分钟） 六、板书设计 25.2.4 公式法（2） 步骤：①化 ax²+bx+c=0 ②定 a,b,c ③算 Δ ④代 x=(-b±√Δ)/2a 易错：符号！ b、c 含负号也要代入 七、作业布置 完成学案【学习检测】全部题目 归纳“何时优先用公式法” 八、教学反思 （课后填写：学生自学达成度、师生互动有效性、难点突破情况、改进措施） 学科网（北京）股份有限公司 $