25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式和根的判别式导入，引导学生探究两根和、积与系数的关系，搭建旧知到新知的学习支架，明确关系内容及使用前提。 资料以例题解析与变形公式总结为核心，培养学生运算能力和推理意识，分层检测题覆盖基础、能力、拓展训练，助力学生逐步提升，体现用数学语言表达数量关系，发展应用意识与实践能力。

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 复习旧知 方程aX+bx十c=0la≠0的求根公式为X=b☑4≥0，根的判别式 2a △=b2-4ac 1.探究两根和、两根积与Q,b，c的关系： (0x+x,=b+☑+b-☑ 2a 2a (2)XX=b+☑.-b-☑ 2a 2a 学习新知 一元二次方程的根与系数的关系：若关于X的一元二次方程 ax十bx十c三0la≠0有两根分别为x1)X2,则两根和x,十x,=:两根租 X·水，=9 a 该关系使用的前提条件是 1/11 2.已知方程2x2-3x-1=0的两根是X1,2,求X1十x2与x1'x2的值 3.若m,n是一元二次方程3x-5x十1=0的两个实数根，求m十n-mn的值. 4.若x1’2是方程2x2十4x-3=0的两个根，求下列各式的值： ()x+x 1+1 5.若1，x2是方程2x-6x-1=0的两个根，求下列各式的值： (1)x1-3x2-3 (2)x1-x22 总结： 要熟练掌握以下变形： (1)x+x3=x1十x2}-2x1x2 (2)X1-x27=x1十x2P-4xx2 2/11 3)1，=￥+￥ x+1名为 X2 (4)xx2+x1x3=x1x2x1+x29 (5⑤)x-x=x1+x2-4xx (⑥x1+alx2十a=xx,+ax+x2+a2 6.关于x的一元二次方程x2十3x十m-1=0有两个不相等的实数根x1,X2. (1)求实数m的取值范围： (2)若方程的两个实数根1,2满足2x1十2x2十x1x,十10=0，求m的值 7.已知关于x的一元二次方程x2十m-2x-m=0 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，2，且x1十1x2十1=-1，求m的值 3/11 过关检测 一、基础训练 1.1 8.若a,b是一元二次方程x+2018x+1=0的两根，则二+的值是（) a b B.2018C.2017 1 1 A.2017 D.2018 9.当=1，bm,0=-15时，代数式-b+Vb2-4ac的值为3，则代数式 2a -b-b2-4ac的值为（) 2a A.5B.-5C.1D.-1 10.已知一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，若2a十b=0,且方程的一个根大于 2,则另一个根是（) A.正数B.负数C.0D.无法确定 11.下列方程中，两个实数根之和等于2的方程是（) A.x2+2x-3=0B.x2-2x-3=0 C.2x2-2x-3=0D.-3x2-6x+1=0 4/11 12.若关于x的一元二次方程x十2x十p=0的两根为X1,x2,且 1+1=3 X1 X2 则P的值为() A号B C.-6 D.6 二、能力训练 13.已知方程x-kx-3=0的两个根为X1,X2,若方程的两个根互为相反数， 则k= ，方程的根为 14.已知2+3是方程x2-4x十c=0的一个根，则该方程的另一个根为 C= 三、拓展训练 15.已知m,n是关于x的一元二次方程x-2a十1x十a2+5=0的两个实数 5/11 根 (1)若m-1n-1=28,求a的值： (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若m,n恰好是△ABC另外两边的长， 求△ABC的周长. 答案 1.1 a 28 学习新知 △≥0 2.解：.方程2x2-3x-1=0的两根是X1’X2,a=2,b=-3,c=-1, b3 ∴.X1+X2=- a2 为水后 3.解：.m,n是一元二次方程3x2-5x+1=0的两个实数根， a=3,b=-5,c=1, m+n=.b=5 d=3 mn=s-3..m+n-mn-=4 333 4.解：.a=2，b=4,c=-3, 6/11 且X1’X2是方程的两个根， ∴.X1+X2= b=.4=-2, %后号 (0X+x=x+x,-2x1X =-22-2× 32 =7. 1+1=x+x2=2=4 (②)X1xx33. 2 5.解：(1)·x1x2是方程2x2-6x-1=0的两个根，且a=2,b=-6,c=-1, ∴.X1+X2= b=6=3, 后 x1-3x2-3 =X1X23x1+X2+9 -3×3+9= 因由四得%+水3，Xx克 .x1-x2}=x1+x22-4x1x2 7/11 6.解：(1).关于x的一元二次方程x+3x+m-1=0有两个不相等的实数根， A=b-4ac=3-4×1×m-1>0,解得m<13 实数m的取值范围为m<3 (2)方程的两个实数根分别为X1’X2, .x1+X2=-3,X1X2=m-1. 又：2x1+2x2+X1X2+10=0 ∴.2×-3+m-1+10=0? 解得m=-3 m的值为-3. 7.(1)证明：a=1,b=m-2,c=-m △=b2-4ac=m-2}2-4×1×-m=m2+4 …m2≥0，.△=m2+4>0. .无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (②)解：方程的两个实数根为x1,x2,.X1+x2=-m-2=-m+2, X1X2=-m 又：x1+1x+1=x1x2+x1+x2+1=-1, .-m-m+2+1=-1,解得m=2 m的值为2. 8/11 8.B 9.B 10.B 11.B 12.A 13.0 x=±V3 14.2-31 15.解：1m,n是关于x的一元二次方程x-2a+1x+a2+5=0的两个实 数根， .∴.m+n=2a+1,mn=a+5 .m-1川n-1=28 .∴.mn-m+n+1=28. .∴.a+5-2a+1+1=28 解得a=6或a=-4 依题意，得 4=4a+12-4a2+5≥0' 解得a≥2..a=6. (2)①当7为底边长时，此时方程x-2a+1x+a2+5=0有两个相等的实数 根， 9/11 .△=4a+12-4a2+5=0 解得a=2. :.方程变为X6x+9=0 .∴m=n=3. :3+3<7,:不能构成三角形： ②当7为腰长时，设m=7. 将m=7代入方程， 得49-14a+1+a2+5=0, 解得a=10或a=4. 当a=10时，方程变为x2-22x+105=0, 解得x=7或x=15】 .7+7<15, :不能组成三角形： 当a=4时，方程变为x-10x+21=0, 解得x=3或x=7. △ABC的周长为7+7+3=17 综上所述，△ABC的周长为17. 10/11 11/11