25.1 一元二次方程的概念（学案教案） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦九年级一元二次方程的概念及一般形式，通过预习学案引导学生回顾一元一次方程和整式概念，以旧知为支架衔接新知，明确学习目标后进入自学，构建知识脉络。 此教案以“自学—互学—展学—点拨”为主线，结合多媒体生活情境图，让学生从实际问题抽象方程，发展数学眼光中的抽象能力与模型意识。跟踪练习通过“找错—析因—纠错”培养推理意识，规范化为一般形式强化符号意识，助力学生养成严谨习惯，帮助教师精准突破重难点。

25.1一元二次方程的概念 【知识回顾】 1.下列式子哪些是方程？ 246=8:2x+3:5x+6-2:x+3y=8:x-5<18:4-9=2 2.多项式3x-2x-1是一_次一项式，其中最高项是_一一，二次项系数为 一一，一次项系数为一一，常 数项为一一一 3.一元一次方程指的是含有一个 ,并且 的最高次数是一次的 一方程 【感知数学】 1.有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作 一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm',那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为 xcm,可列方程为： 3600cm2 2.要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 设应邀请x个队参加比赛，可列方程为： 【新知学习】 1.思考：感知数学中所列的方程是一元一次方程吗？与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 2.你知道方程的“元”和“次”是什么意思吗？类似的，你能给一元二次方程下个定义吗？ 等号两边都是一，只含有个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫一元二次方程. 因此，一元二次方程满足的条件： ①是整式方程；②只含有一个未知数： ③未知数的最高次数是2. 3.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 其中二次项是一一，一次项是一，常数项是一一；二次项系数是一，一次项系数是」 请你写出它们的名称 一般形式 bx+。=0(a≠0) 想一想 ①为什么规定a≠0？ ②方程(m-2)x2+3x-5=0是一元二次方程吗？ ③方程ax+bx+c=0(a≠0)中，b,c可以为零吗？ 结论：①当a=0时，方程变为bx+c=0,就不是一元二次方程. ②不一定.当m≠2时，方程是一元二次方程，当m=2时，方程是一元一次方程. ③只要满足a≠0，则b,c可以为任意实数. 注意：二次项含有的字母系数取值范围不确定时，这个方程不能确定是一元二次方程.反之，若方程 ax+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么题目中就隐含着a≠0这一重要条件」 4试一试： (1)下列方程是一元二次方程的是() A2x2+3x-5 B.2+X=1 x-1 C.x-5=2 D.x2-m=4+4x-m 思路：判断是不是一元二次方程有“一看二化三满足”： 一看等号两边是不是整式，有一边不是就不是： 二化：如果两边都是整式，把方程化为一般形式： 三满足：是不是满足“只含有一个未知数，未知数的最高次数是2： 以上满足则方程是一元二次方程，否则不是 (2)试把下列一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数.一次项系数和常数项. ①4x°=81 ②x(x+5)=0 ③3x(x-1)=5(x+2);④(x-1)(2x-2)=0 思路：先化为一般形式，再写项和项的系数，注意包括它们前面的符号 5.下面哪些数是方程2x'+10x+12=0的根？怎样判断？ -4-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 归纳：使一元二次方程左右两边的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根， (1)判断一个数是不是方程的解，只要将这个数分别代入方程的左右两边，如果左右两边的值 一，就是 方程的解，否则不是， (②)已知某数（或式）是方程的根，那么将此数代入方程，就能求出方程中的字母：或得到含有字母的等式，进 而运用整体代入的方法求值，这是常见的题型， 6.(2024深圳)一元二次方程x-4x+a=0的一个解为x=1,则a=一 7.(2024南充)己知m是方程x+4x-1=0的一个根，则(m+5)(m-1)的值为 思路：运用整体代入思想求代数式的值是常考题型：先把已知解代入，再注意观察，整理，整体代入所求代 数式，求解 【学习检测】 1.判断下列方程是否为一元二次方程 (1)4x2=81;(2)2(x2-1)=3y;(3)5x2-1=4x: 12=0,52x+3x-1:6)3x(x-1)=-3(x+2 (④X+1X 2.关于x的一元二次方程3x=5x-2的二次项系数，一次项和常数项，下列说法完全正确的是() A3,-5,-2B.3,-5x,2C.3,5x,-2D.3,-5,2 3.下列各数是一元二次方程x+6x+9=4的解的是() A-3B.5C.-1D.1 4(2024凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x+x+a°-4=0的一个根是x=0,则a的值为() A2B.-2C.2或-2 5.(2025青海)己知x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值为 6.已知关于x的一元二次方程(a-1)x°-2x+a-1=0有一个根为x=0,则a=一 7.(2023枣庄)若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解，则2023-6a+2b的值为 8.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数.常数项. (1)4x°+5x=81 (2)3x2-1=6x (3)x(x-5)=5x-10 (4)(3x-2)(x+1)=x(2x-1)25.1一元二次方程的概念 【知识回顾】 1.下列式子哪些是方程？ 26=8:2x3:5x46-22:x+3y-8:x-5<18:4-9=2 【答案】是方程的有：5x+6=22,x+3y=8。 【解析】方程须同时满足：①含未知数：②是等式。2+6-8无未知数；2x+3非等式：x-5<18是不等式，均不 是。 2.多项式3x2-2x-1是二次三项式，其中最高项是3x,二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为-1. 【解析】多项式的次数由最高次项决定，3x2为二次项，故为二次三项式。 3.一元一次方程指的是含有一个未知数，并且未知数的整式的最高次数是一次的整式方程. 【感知数学】 1.有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作 一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm°，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为 xcm,可列方程为： 3600cm2 【解析】方盒底面长100-2x、 宽50-2x,底面积=长×宽=3600。 (100-2x)(50-2x)=3600 2.要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 设应邀请x个队参加比赛，可列方程为： 【解析】x个队每两队赛一场，共C(x,2)-xx-1)/2场：7天×4场/天=28场。 x(k-1)/2=28,即x(k-1)=56 【新知学习】 1.思考：感知数学中所列的方程是一元一次方程吗？与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 2.你知道方程的“元”和“次”是什么意思吗？类似的，你能给一元二次方程下个定义吗？ 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程. 【解析】与一元一次方程对比，区别在“最高次数是2”。 因此，一元二次方程满足的条件： ①是整式方程； ②只含有一个未知数： ③未知数的最高次数是2. 3.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 其中二次项是ax,一次项是bx,常数项是c;二次项系数是a,一次项系数是b. 【解析】一般形式ax+bx+c=O(a≠0)：a不可为0，b、c可为0。 请你写出它们的名称 般形式 (a≠0) 想一想： ①为什么规定a≠0？ ②方程(m-2)x+3x-5=0是一元二次方程吗？ ③方程ax+bx+c=0(a≠0)中，b,c可以为零吗？ 结论：①当a=0时，方程变为bx+c=0,就不是一元二次方程. ②不一定.当m≠2时，方程是一元二次方程，当m=2时，方程是一元一次方程. ③只要满足a≠0，则b,c可以为任意实数 注意：二次项含有的字母系数取值范围不确定时，这个方程不能确定是一元二次方程.反之，若方程 ax+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么题目中就隐含着a≠0这一重要条件】 【解析】当m≠2时是一元二次方程；m=2时是一元一次方程：b、c可为任意实数，但a≠0。 4试一试： (1)下列方程是一元二次方程的是() 2 A2x2+3x-5 B.- +x2=1 -1 C.x-5=2 D.x2-m=4+4x-m 【答案】D 【解析】A不是等式（无等号）：B空：C为一次方程：D满足整式、一元、二次。 思路：判断是不是一元二次方程有“一看二化三满足”： 一看等号两边是不是整式，有一边不是就不是； 二化：如果两边都是整式，把方程化为一般形式： 三满足：是不是满足“只含有一个未知数，未知数的最高次数是2： 以上满足则方程是一元二次方程，否则不是， (2)试把下列一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数.一次项系数和常数项 ①4x°=81 ②x(x+5)=0 ①4x2-81=0,二次项系数4，一次项系数0，常数项-81 ②x2+5x=0,二次项系数1，一次项系数5，常数项0 ③3x(x-1)=5(x+2):④(x-1)(2x-2)=0 ③3x2-8x-10=0,二次项系数3，一次项系数-8，常数项-10 ④2x24x+2=0(即x2-2x+1=0),二次项系数2，一次项系数-4，常数项2 思路：先化为一般形式，再写项和项的系数，注意包括它们前面的符号 【解析】先移项/展开化为一般形式，再写各项及系数（含符号）。 5.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？怎样判断？ -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 【答案】方程的根是-3，-2。 【解析】2(-3)+10(-3)十12=18-30叶12=0：2(-2)+10(-2)十12-8-20+12-0，故x=3,-2是根。 归纳：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根. (1)判断一个数是不是方程的解，只要将这个数分别代入方程的左右两边，如果左右两边的值相等，就是方程 的解，否则不是 【解析】使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解（根）。 (2)已知某数（或式）是方程的根，那么将此数代入方程，就能求出方程中的字母；或得到含有字母的等式，进 而运用整体代入的方法求值，这是常见的题型 6.(2024深圳训)一元二次方程x2-4x+a=0的一个解为x=1,则a=3. 【解析】代入x=1:1-4+a=0=a-3。 7.(2024南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根，则(m+5)(m-1)的值为-4. 【解析】m+4mn-1=0-m+4m=1;m+5)m-1)m+4n-5=1-5=-4(整体代入)。 思路：运用整体代入思想求代数式的值是常考题型：先把已知解代入，再注意观察，整理，整体代入所求代 数式，求解 【学习检测】 1.判断下列方程是否为一元二次方程 (1)4x2=81;(2)2(x2-1)=3y;(3)5x2-1=4x: ,1-2=0,62x+3x-1:6)3xx-1)=-3(x+2》. (4④X+1X 【答案】是：①4x2=81、③5x2-1=4k、⑥3x(心-1)=-3x+2):否：②含两未知数、④分式方程、⑤非等式。 【解析】用“一看二化三满足”判断。 2.关于x的一元二次方程3x=5x-2的二次项系数，一次项和常数项，下列说法完全正确的是() A3,-5,-2B.3,-5x,2C.3,5x,-2D.3,-5,2 【答案】D 【解析】一般形式3x2-5x+2-0,二次项3、一次项-5x、常数项2。 3.下列各数是一元二次方程x+6x+9=4的解的是() A-3B.5C.-1D.1 【答案】C 【解析】x2+6x+9-4=x2+6x+5-0=(x+1)x+5)0=x=-1或x=5。 4(2024凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x+x+a°-4=0的一个根是x=0,则a的值为() A2B-2C2或-2D2 【答案】A 【解析】代入x-0:a2-4-0-a=±2：又at2≠0=a≠-2，故a=2。 5.(2025青海)已知x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值为3. 6.己知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a=-1. 【解析】代入x-0:a2-1-0→a=±1；又a-10→a时1，故a=-1。 7.(2023枣庄)若x=3是关于×的方程ax2-bx=6的解，则2023-6a+2b的值为2019. 【解析】代入x=3:9a-3b=6-3a-b=2;2023-6a+2b=2023-2(3a-b)=2023-42019。 8.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数.常数项. (1)4x°+5x=81 (1)4x+5x-81=0,二次项系数4，一次项系数5，常数项-81 (2)3x2-6x-1=0,二次项系数3，一次项系数-6，常数项-1 (3)x2-10x+10-0,二次项系数1，一次项系数-10，常数项10 (2)3x2-1=6x (4)x2+2x-2=0,二次项系数1，一次项系数2，常数项-2 (3)x(x-5)=5x-10 (4)(3x-2)(x+1)=x(2x-1) 【解析】先展开化为一般形式，再写二次项系数、一次项系数、常数项（注意含符号）。 25.1 一元二次方程的概念 教学设计（教案） 一、教学基本信息 课 题：25.1 一元二次方程的概念 课 型：新授课 课 时：1 课时 年 级：九年级 教 材：人教版九年级上册 第二十五章 总 课 时：45 分钟 二、教学目标 知识与技能： 通过实际问题抽象出一元二次方程，理解一元二次方程的概念； 能判断一个方程是否是一元二次方程，并将其化为一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0)； 能准确说出一般形式中二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c。 过程与方法： 经历“实际问题→列方程→概括特征”的概念形成过程，体会数学建模思想； 在对比一元一次方程的过程中，提升观察、归纳与概括能力。 情感态度与价值观： 感受方程与生活的密切联系，体会用数学知识描述现实问题的价值； 在自学与互学中养成严谨、合作的学习习惯。 三、教学重难点 教学重点： 一元二次方程的概念及一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0) 教学难点： 将实际问题抽象为一元二次方程并化为一般形式； 正确识别“伪”一元二次方程，准确确定各项系数（含符号）。 四、教学准备 学生课前完成的预习学案 多媒体课件（含生活情境图） 课堂学案（含【学习检测】） 五、教学过程（学生自学为主，师生点拨互动） 环节1 目标导学·预习自学（5分钟） 【学生活动】阅读学案【知识回顾】，独立回顾一元一次方程的概念与一般形式、整式的相关概念；明确本课学习目标，带着问题进入自学。 【教师点拨】课前发放学案，课堂伊始出示学习目标与自学提纲，引导学生聚焦核心问题，提醒自学的方法与时间。 【设计意图】以目标驱动自学，唤醒旧知，为新知建构铺垫，落实“先学后教”。 环节2 合作探究·新知建构（15分钟） 【学生活动】依据学案【新知学习】中的“思考/探究”中的实际问题建模独立尝试，再同桌或小组合议；记录困惑与不同解法。 【教师点拨】巡视各组探究过程，捕捉典型思路与误区；针对核心难点“从实际问题中抽象等量关系并列出一元二次方程”组织全班交流，在关键处点拨、追问、提炼，引导学生自主概括规律（如一元二次方程的定义与 a≠0 的必要性）。 【设计意图】把课堂还给学生：自学—互学—展学—点拨，在师生互动中突破重难点，形成方法。 环节3 跟踪练习·巩固内化（12分钟） 【学生活动】独立完成学案【跟踪练习/巩固】题目，规范书写步骤并自我核对。 【教师点拨】巡视批阅，标记共性问题；选取典型错例投影，组织学生“找错—析因—纠错”，针对性点拨易错点。 【设计意图】在练习中内化方法，教师以学定教、精准点拨，避免“一讲到底”。 环节4 学习检测·评价反馈（10分钟） 【学生活动】完成学案【学习检测】自测，先自查再同桌互评，红笔订正。 【教师点拨】利用投影或实物展台讲评重点题，师生共同归纳解题通法；对学困生个别辅导。 【设计意图】以测促学、以评导学，及时反馈，确保目标达成。 环节5 归纳小结·分层作业（3分钟） 【学生活动】自主梳理本课知识与方法（可借助学案小结栏），提出仍存疑问。 【教师点拨】引导学生构建知识网络，升华思想方法（如降次、转化），布置分层作业（基础+提升）。 【设计意图】促进元认知，形成结构；分层作业兼顾全体与个体差异。 （本课时合计约 45 分钟） 六、板书设计 25.1 一元二次方程的概念 一、定义：只含一个未知数，且未知数最高次数是 2 的整式方程 二、一般形式：ax²+bx+c=0 (a≠0) a—二次项系数 b—一次项系数 c—常数项 三、判定步骤：①整式 ②一元 ③二次 ④化一般形式 七、作业布置 完成学案【学习检测】全部题目 整理“一般形式中系数符号”的易错 2 例到错题本 八、教学反思 （课后填写：学生自学达成度、师生互动有效性、难点突破情况、改进措施） 学科网（北京）股份有限公司 $