第四章指数函数与对数函数单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦指数函数、对数函数等核心知识，通过基础运算、图像分析及实际应用问题，适配高中数学第四章复习，助力巩固抽象能力与运算能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|11|指数对数运算、函数图像、零点分析|第1题考查指数对数互化（基础），第10题函数零点多情况分析（能力提升）| |填空题|3|函数定点、对称性、最值|第14题结合奇函数性质求最值和（抽象能力）| |解答题|5|运算、实际应用、综合问题|第16题化工厂过滤杂质问题（模型意识），第19题恒成立求参数（推理能力）|

第四章章末测试 1、 选择题 1．设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　) A．6 B．3 C．2 D．1 2.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　) A　 　B　 　C　 　D 3．若a<，则化简的结果是(　　) A.　　　　 B．－ C. D．－ 4．计算：log225·log52＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 5．若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．函数是指数函数，则( ) A. B. C. D. 7．已知函数y＝ax-1＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为(　　) A．(0，5) B．(0，4) C．(1，5) D．(1，4) 8．函数f(x)＝－的部分图象大致为(　　) 9．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　) A．15 B．75 C．45 D．225 10．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述不正确的是(　　) A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点 B．函数f(x)必有一个零点是正数 C．当a<0时，函数f(x)有两个零点 D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点 11．设a＝，b＝，则下列说法中正确的是(　　) A．a>b B．2a<2b C．<a2＋b2<2 D．＋的最小值为2 二、填空题 12．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________． 13．已知函数的图像关于直线对称，则 14．已知函数f(x)＝x3－ln (－x)＋3，x∈[－2 024，2 024]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ． 2、 解答题 15．计算 （1） （2） 16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 17.已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围． 18．已知指数函数，当时，有，解关于x的不等式 19.已知函数f(x)＝2x＋. (1)若f(0)＝7，解关于x的方程f(x)＝5； (2)若f(x)<3在x∈[1，3]上恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章章末测试 1、 选择题 1．设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　) A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436， ∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1. 2.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　) A　 　B　 　C　 　D 【答案】B 【解析】由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B. 3．若a<，则化简的结果是(　　) A.　　　　 B．－ C. D．－ 【答案】C 【解析】∵a<，∴2a－1<0. 于是，原式＝＝. 4．计算：log225·log52＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】log225·log52＝·＝＝2×＝3. 5．若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以即，故应选D. 6．函数是指数函数，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数是指数函数，∴，解得， ∴，∴．故选D． 7．已知函数y＝ax-1＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为(　　) A．(0，5) B．(0，4) C．(1，5) D．(1，4) 【答案】C 【解析】令x＝1，则y＝a1-1＋4＝5，故点P的坐标为(1，5). 8．函数f(x)＝－的部分图象大致为(　　) 【答案】A 【解析】因为函数f(x)＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝－为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B、D，当x>1时，f(x)＝－<0，所以选项A符合题意，选项C不符合题意． 9．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　) A．15 B．75 C．45 D．225 【答案】C 【解析】由loga3＝m，得am＝3， 由loga5＝n，得an＝5， ∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.] 10．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述不正确的是(　　) A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点 B．函数f(x)必有一个零点是正数 C．当a<0时，函数f(x)有两个零点 D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点 【答案】ACD 【解析】f(x)＝0⇔ex＝a＋，故f(x)的零点个数，即为y＝ex与y＝a＋图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，如图， 可观察出当a＝0时，函数f(x)有一个零点，当a<0时，函数f(x)有一个零点，当a>0时，函数f(x)有两个零点，函数f(x)必有一个零点是正数，A、C、D选项错误，B选项正确．故选ACD. 11．设a＝，b＝，则下列说法中正确的是(　　) A．a>b B．2a<2b C．<a2＋b2<2 D．＋的最小值为2 【答案】AC 【解析】构造函数f(x)＝，则f(x)＝＝＋，因为函数y＝2x+1在R上恒正且单调递增，则y＝在R上恒正且单调递减，所以f(x)在R上单调递减．因为2 022<2 023，故f(2 022)>f(2 023)>0，即a>b，故选项A正确；因为a>b，且y＝2x在R上单调递增，故2a>2b，故选项B错误；因为<a＝<1，<b＝<1，故<a2<1，<b2<1，两式相加得<a2＋b2<2，故选项C正确；因为＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号，由题意可知a≠b，即＋≠2，故选项D错误. 二、填空题 12．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________． 【答案】(1,4) 【解析】由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)． 13．已知函数的图像关于直线对称，则 【答案】 【解析】这类问题可用特殊值法求解，从函数解析式可知点在函数图象上，因此点也在函数图象上，故，. 14．已知函数f(x)＝x3－ln (－x)＋3，x∈[－2 024，2 024]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ． 【答案】6 【解析】令g(x)＝f(x)－3＝x3－ln (－x)，且x∈R，则g(－x)＝(－x)3－ln [－(－x)]＝－x3－ln (＋x)＝－x3＋ln (－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，且在[－2 024，2 024]上连续，根据奇函数的对称性得，g(x)在[－2 024，2 024]上的最大、最小值关于原点对称，则g(x)max＋g(x)min＝M－3＋m－3＝0，故M＋m＝6. 2、 解答题 15．计算 （1） （2） 【解析】 （1）由. （2）由. 16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【解析】 设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得×n≤，即n≤. 则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 故n≥≈7.4， 考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求． 17.已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围． 【解析】 (1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝x. (2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0， ∴f(2m－1)<f(m＋3)． ∵f(x)＝x为减函数， ∴2m－1>m＋3，解得m>4， ∴实数m的取值范围为(4，＋∞)． 18．已知指数函数，当时，有，解关于x的不等式 【解析】∵在时，有， ∴。 于是由，得， 解得， ∴ 不等式的解集为。 19.已知函数f(x)＝2x＋. (1)若f(0)＝7，解关于x的方程f(x)＝5； (2)若f(x)<3在x∈[1，3]上恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】 (1)由题意得f(0)＝1＋a＝7， ∴a＝6，则f(x)＝2x＋， 由2x＋＝5可整理得(2x)2－5×2x＋6＝0，则可得2x＝2或2x＝3， ∴x＝1或x＝log23. (2)若f(x)<3在x∈[1，3]上恒成立，则2x＋<3在x∈[1，3]上恒成立，整理得a<－(2x)2＋3×2x在x∈[1，3]上恒成立， 令t＝2x，由x∈[1，3]，则t∈[2，8]， 又令h(t)＝－t2＋3t＝－＋，t∈[2，8]，易知h(t)是t∈[2，8]上的减函数， ∴h(t)min＝h(8)＝－82＋3×8＝－40， 故实数a的取值范围为a<－40. 学科网（北京）股份有限公司 $