四川省泸县第五中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

**基本信息** 泸县五中高2024级开学数学测试立足基础，通过集合运算、三角函数等基础题巩固知识，以新能源汽车产量回归分析、函数极值点探究等情境题考查数学应用与逻辑推理，适配开学学情摸底需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、概率统计、数列|单选注重基础（如集合运算），多选考查综合判断（如等差数列前n项和性质）| |填空题|3题/15分|概率、函数奇偶性、排列组合|结合实际问题（如密码破译概率），渗透数学抽象（如全排列约束条件）| |解答题|5题/77分|三角函数图像变换、回归分析、解三角形、数列创新题、函数极值与中心对称|情境具时代性（新能源汽车产量回归），综合题突出探究（如函数点奇函数判定），适配核心素养中数学思维与应用意识培养|

泸县五中高2024级2026年秋期开学测试 数学参考答案 一．单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C B D C B 二．多选题 题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 三．填空题 12． 13．28 14． 四．解答题 15．解：（1）由题意得 ， ∵两条相邻对称轴之间的距离为， ∴，∵，∴； （2）函数的图象向左平移个单位长度后， 得的图象， 再将横坐标缩短为原来的可得的图象， 令，，解得，， ∴的对称中心为，. 16．（1）由题意，令，故为一元线性回归模型， 而，即， 所以， 则，所以， 令，可得，所以预测2025年我国新能源汽车年产量为1186.4万辆. （2）设事件A：3个数据中存在数据大于300，事件B：3个数据中恰有1个数据小于100， 事件A的样本点个数：，事件AB的样本点个数：， 所以概率为. 17．解：（1）（方法1）由正弦定理，得， ， ，， ，，，，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，，，； （2）方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，，周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，，周长的取值范围为. 18．解：（1）因为数列为所以， ，，则． （2）（i）设等比数列的公比为，由各项为正整数可得， 由题意可知， ， 即，解得或（舍去），所以． 因为，所以集合T中元素最多为个，即． 对于数列，，，，，此时， 若存在，即，其中，，故． 若，不妨设，则，而，， 故为偶数，为奇数，矛盾，故，， 故由，，，…，得到彼此互异，所以． （ii）由（i）知，（） 所以（）， 则． ①当n为奇数时，，从而． ②当n为偶数时，． 令，则（），当时，单调递增． 又因为 ， ，所以m的最大值为7． 19解：（1）法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数，即，因为， ，比较两式右边，由；所以，解得. 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称，则， 即，化简得， 所以，解得． （2）(2)，从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点.因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)；当时，， 当时，单调递减，当时，单调递增，因此是的极小值点.综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和.极小值点1，极大值点； （3）法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：， 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. . 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即，化简得恒成立， 所以，解得所以函数存在唯一的对称中心， 所以函数是点奇函数. 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2024级2026年秋期开学测试 数学 第Ⅰ部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知集合，集合，则 A． B． C． D． 2．已知角终边上有一点，则 A． B． C． D． 3．设复数满足，则 A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 5．已知， 若，则实数的取值可以是 A． B． C． D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D． 7．若a，，且，则ab的最小值为 A．5 B．17 C．25 D．36 8．若，则 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是 A．若随机变量，则 B．已知随机变量X，Y满足，若，则， C．这组数据：0，7，5，1，6，11，12的第70百分位数为6 D．离散型随机变量X服从两点分布，且，则 10．记为等差数列的前项和，为的公差，若，则 A． B． C．当或6时，取得最小值 D．当时，的最小值为11 11．已知是函数的极小值点，则 A． B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．方程有3个不同的实数根 第Ⅱ部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 13．函数是奇函数．若函数，则___________． 14．、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为. (1)求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后，在纵坐标不变的情况下，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，求的函数解析式与对称中心. 16．（15分） 2014年至2025年是我国新能源汽车飞速发展的时期，下表为2014年至2023年我国新能源汽车的年产量，按照表中数据，可用回归模型拟合自变量与新能源汽车产量. 年份 自变量 新能源汽车产量（单位：万辆） 2014 1 7.8 2015 2 34 2016 3 52 2017 4 79 2018 5 127 2019 6 124 2020 7 137 2021 8 354 2022 9 706 2023 10 959 (1)求自变量与新能源汽车产量的回归模型，并预测2025年我国新能源汽车年产量（其中，以及预测年产量（单位：万辆）都保留1位小数且用的1位小数近似值计算）； (2)从10个年产量的值中随机选取3个数据，求存在数据大于300的条件下，恰有1个数据小于100的概率. 参考公式：一元线性回归模型中. 参考数据：. 17．（15分） 设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 18．（17分） 已知数列共有m（，）项，且各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． (1)若数列为求T； (2)若是等比数列，且， ． （i）求； （ii）令（），若，求m的最大值． 19．（17分） 已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $