专题12一元一次方程及其解法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年材北师大版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元一次方程及其解法，作为学生从算术思维转向代数思维的关键内容。系统梳理一元一次方程的概念（含三个判定条件、标准形式及参数问题）、等式性质（解方程依据）、解法步骤（去分母、去括号等五步流程），为后续方程应用及代数学习搭建基础支架。 资料亮点在于突出高频错误警示（如去分母漏乘常数项）、分层题型设计（14类题型，难度分级），通过每步变形依据的强调培养推理意识，规范步骤训练提升运算能力。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化严谨书写与问题解决能力。

专题12一元一次方程及其解法精讲学案 核心立意 本节课是学生从算术思维转向代数思维的关键一课。需要识别一元一次方程，利用等式的性质进行等价变形，按照规范步骤解方程。学习中要明确每一步变形的依据，重视符号、漏乘等高频错误，养成严谨的书写习惯，为一元一次方程的应用以及后续代数内容的学习打好基础。 一元一次方程的概念 ⑴ 三个判定条件，必须同时满足：     - 只含有一个未知数     - 未知数的次数为 1     - 等号两边都是整式（分母中不能含有未知数） ⑵ 标准形式：ax+b=0（a,b 为常数，a0 ⑶ 参数问题的两个约束：     - 未知数的次数等于 1     - 未知数的系数 a 0（最容易忽略的隐藏条件） 方程的解与解方程 ⑴ 方程的解：可以使方程左右两边相等的数值。 ⑵ 解方程：求出方程的解的过程。 ⑶ 检验方法：将数值分别代入方程的左边和右边。只有两边的计算结果相等，才是方程的解；只计算一边不算完整的检验。 等式的基本性质（解方程的理论依据，常出判断题） ⑴ 性质 1：等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。主要用于移项。 ⑵ 性质 2：等式两边同时乘同一个数，或除以一个不为 0的数，等式仍然成立。主要用于去分母、系数化为 1。 ⑶ 重要提醒：等式两边不能同时除以 0。 解一元一次方程的一般步骤 标准流程：去分母去括号 移项合并同类项 系数化为1 ⑴ 去分母：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数。每一项都要乘，包括常数项；如果分子是多项式，去掉分母后要给分子加上括号。 ⑵ 去括号：依据乘法分配律。括号前是正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，括号内每一项都要变号。 ⑶ 移项：把项从等号的一边移到另一边，必须变号；只在等号同侧交换位置，不属于移项，不用变号。 ⑷ 合并同类项：将方程化简为 ax=b 的形式。 ⑸ 系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数；注意不要颠倒分子、分母。 ⑹ 灵活原则：以上是常用步骤，不需要的步骤可以跳过，不必机械套用。 重点辨析 ① 判断一元一次方程时，只看未知数的个数，与未知数选用哪一个字母无关。 ② “一次”只针对未知数的次数，常数项没有次数，不参与判断。 ③ 分母中含有未知数的方程是分式方程，一定不是一元一次方程。 ④ a0 是标准形式里的隐藏条件，遇到参数问题必须检查这一条。 ⑤ 注意区分：移项是跨过等号移动项，需要变号；同侧交换只是整理顺序，不需要变号。 ⑥ 每一步变形都要有依据：移项依据性质 1；去分母、系数化为 1 依据性质 2；去括号依据乘法分配律。不能仅凭感觉修改符号。 ⑦ 五步流程只是常用顺序，可以根据方程的结构灵活跳过某些步骤。 ⑧ 使用等式性质时，“两边同时”是关键词。只修改等号一边的变形是错误的。 ① 判断一元一次方程时，忽略“整式”的要求，把分式方程误判为一元一次方程。 ② 求参数的值时，只令未知数的次数等于 1，忘记验证系数不等于 0。 ③ 去分母时，漏乘不含分母的常数项（本节课最高频的扣分点）。 ④ 去分母之后，多项式形式的分子不加括号，引发后续的符号错误。 ⑤ 去括号时，括号前是负号，只改变第一项的符号，其余各项不变。 ⑥ 移项忘记变号；没有移动的项，随意改变符号。 ⑦ 系数化为 1 时，把分子、分母颠倒。 ⑧ 解方程随意跳步骤，书写格式不规范，丢失步骤分。 ⑨ 检验方程的解时，只代入方程的一侧，不对比左右两边的结果。 ⑩ 做等式性质的判断题时，忽略“两边同时”“除数不为 0”这两个限制条件。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型七 等式的性质 1 ★★ 题型八 等式的性质 2 ★★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★★ 题型十一 去分母 ★★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：判断各式是否是方程 解题思路：① 检查是否有等号，是不是等式；② 检查是否含有未知数；③ 同时满足两条才是方程。 1．下列各式中是一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程需满足四个条件：是含有未知数的等式，只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． 【详解】解：选项A中未知数的最高次数为，不符合要求，A错误； 选项C不是等式，不属于方程，不符合要求，C错误； 选项D分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求，D错误； 选项B是等式，只含一个未知数，的次数为，且是整式方程，满足一元一次方程的所有条件，B正确． 2．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的识别．根据方程的定义，需满足两个条件：一是等式，二是含有未知数．逐一验证选项即可确定答案． 【详解】A．是等式，但无未知数，属于算术式，不是方程； B．含未知数，但不是等式，属于代数式，不是方程； C．含未知数，但为不等式，不是方程； D．是等式且含未知数，符合方程的定义，是方程； 故选D． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 题型二：列方程 解题思路：① 设未知量为字母；② 找出题目中的相等关系；③ 用含字母的式子表示等号两边；④ 用等号连接，只列式不求解。 4．“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程，首先列出表示比的相反数大的数的代数式，再根据该数与的差为，列出等式即可． 【详解】解：的相反数是 ， 比的相反数大的数是 ， 该数与的差为． 故选：B． 5．钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【答案】 【分析】根据等量关系“钢琴上的黑、白两种琴键共有88个”和“白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个”列出方程即可． 【详解】解：用表示白色琴键，表示黑色琴键， ∵钢琴上的黑、白两种琴键共有88个， ∴； ∵白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个， ∴． 6．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键 题型三：判断是否是方程的解 解题思路：① 将数值代入未知数；② 分别计算左右两边；③ 两边相等就是解，否则不是。 7．是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 8．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 9．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 题型四：已知方程的解，求参数 解题思路：① 把解代入原方程；② 把参数当作未知数；③ 利用等式性质求出参数；④ 简单验算符号。 10．若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 【答案】D 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 11．已知是方程的解，则的值为________ 【答案】5 【分析】根据方程解的含义，将代入方程，求出的值，再计算即可． 【详解】解：是方程的解， 则， 解得， 将代入可得，． 12．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，通过换元法，将第二个方程转化为与第一个方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解： ，解为， 可化为； 设，则 ， 化为， 所以， 此方程与第一个方程形式相同，因此， 即， 解得 故答案为． 13．阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 题型五：判断是否是一元一次方程 解题思路：① 是等式；② 是整式（分母无未知数）；③ 只有一个未知数；④ 未知数次数为 1；⑤ 化简后系数不为 0；⑥ 全部满足才是一元一次方程。 14．下列各式中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程需要满足：①只含有一个未知数，②未知数的最高次数为1，③两边都为整式的等式，据此逐一判定选项即可． 【详解】解：选项A：是不等式，不是等式，不是一元一次方程； 选项B：含有两个未知数，不是一元一次方程； 选项C：是代数式，不是等式，不是一元一次方程； 选项D：满足一元一次方程的所有定义，是一元一次方程． 15．下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数为1，且等号两边均为整式的方程，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．不是整式，故该选项不是一元一次方程，不符合题意， B．含有、两个未知数，故该选项不是一元一次方程，不符合题意， C．未知数最高次数为，故该选项不是一元一次方程，不符合题意， D．符合一元一次方程的定义，故该选项是一元一次方程，符合题意． 16．方程是关于x的一元一次方程，则a=（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，据此进行解答即可． 根据x的指数为1，且含x项的系数不为0即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故选：B． 题型六：判断是否是一元一次方程解 解题思路：① 先确认方程是一元一次方程；② 代入给定数值；③ 计算左右两边；④ 两边相等就是解。 17．下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的适合方程． 将分别代入四个选项中求解判断即可． 【详解】解：A、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； B、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； C、将代入， 得， 故选项正确，符合题意； D、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 18．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． 19．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型七：等式的性质 1 解题思路：① 等式两边同时加同一个数或整式，等式仍成立；② 等式两边同时减同一个数或整式，等式仍成立；③ 必须两边同时运算。 20．下列说法错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质．需根据“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变”这一性质，逐一分析各选项正误． 【详解】∵不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变 ∴选项A中，若，两边加2得，正确； 选项B中，若，两边减1得，正确； 选项C中，若，两边加得，正确； 选项D中，、的取值不确定， 例如取，，，， 此时，， 即， 不满足， 故D错误． 故选：D． 21．已知， （1）若，则与的等量关系是________． （2）若，则________．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案； （2）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质． 根据等式的性质可知C正确，A、B、D均不一定成立． 【详解】解：A．时，但，原说法错误； B．时，但，原说法错误； C．，若，则，原说法正确； D．时，，但与不一定相等即与不一定相等，原说法错误； 故选：C． 题型八：等式的性质 2 解题思路：① 等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；② 等式两边同时除以同一个不为 0 的数，等式仍成立；③ 必须两边同时运算，不能除以 0。 23．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时乘或除以同一个不为的数，等式仍成立；等式具有对称性． 【详解】解：A选项：根据等式的对称性可知：若，则，故A选项正确； B选项：由，根据等式的性质，等式的两边同时乘以，可得：，故B选项正确； C选项：由，根据等式的性质，等式的两边同时除以，可得：，故C选项正确； D选项：若，当时，等式的两边不能同时除以，不能得到，故D选项错误． 故选：D． 24．对任意的数a，定义：，已知，则_________． 【答案】9 【分析】根据定义得到的表达式，列出关于的方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ． 25．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，∴，∴，A是正确的，不符合题意； B、当且仅当时成立，当时，，该等式不成立，故该选项不一定成立，符合题意； C、∵，∴，∴，C是正确的，不符合题意； D、∵，∴，D是正确的，不符合题意． 题型九：合并同类项与移项 解题思路：① 移项，移项要变号；② 合并同类项；③ 系数化为 1。 26．一元一次方程的解是（     ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【详解】解：， 移项，得， 系数化为，得． 27．在关系式中，当时，的值是__________． 【答案】 【分析】本题将已知的值代入给定关系式，得到关于的一元一次方程，求解方程即可． 【详解】解：把代入，得 ∴ ∴ 解得． 28．定义新运算：，已知，求得x的值为_______ 【答案】 【分析】先根据新运算规则计算括号内的值，再代入得到关于的一元一次方程，求解即可. 【详解】解：先计算括号内的，根据新运算规则 ∴ 将结果代入已知等式，得 再次根据新运算规则展开得 整理得 解得 29．若方程是关于的一元一次方程，则这个方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义及解一元一次方程，熟练掌握“一元一次方程中未知数的次数为1”是解题的关键． 先根据一元一次方程的定义确定的值，再代入方程求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴ 解得 将代入原方程，得：， 解得， 故选：A． 题型十：去括号 解题思路：① 去括号，括号前是负号时各项都变号；② 移项，移项要变号；③ 合并同类项；④ 系数化为 1。 30．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程，即可得出答案． 【详解】解： 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得． 31．对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 【答案】1 【分析】根据新的运算法则“”，将代入得一个关于x的方程，求解 x的值即可． 【详解】解：根据新运算可得 即如果，那么． 32．下列变形正确的是（　　） A．由移项得 B．由1去分母得 C．由去括号得 D．由去括号、移项、合并同类项得 【答案】D 【分析】根据一元一次方程变形中的移项、去分母、去括号、合并同类项法则，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：由移项得， 故选项A错误，不符合题意； 选项B：由1去分母得， 故选项B错误，不符合题意； 选项C：由去括号得， 故选项C错误，不符合题意； 选项D： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故选项D正确，符合题意． 题型十一：去分母 解题思路：① 找分母的最小公倍数；② 每一项都乘最小公倍数；③ 去括号；④ 移项；⑤ 合并同类项；⑥ 系数化为 1。 33．解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是6， ∴给方程两边同时乘以6去分母，可得：， 化简得． 34．当___________________时，式子与互为相反数． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数定义，解一元一次方程，两个式子互为相反数，则它们的和为零，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项，得：， 移项得：， 系数化为1得：． 故答案为：． 35．嘉淇在解关于的方程的过程中，去分母时，左边的“”漏乘了公分母6，其他过程均正确，从而求得方程的解为，则原方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解方程的解和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 根据嘉淇的错误过程求出参数a，再代入原方程正确求解． 【详解】解：嘉淇去分母时，方程两边同乘6，但左边的“”漏乘了，得到错误的方程为：， 因为错误方程的解为， 所以代入得：，即 ， 解这个方程得：， 把代入原方程：， 去分母，两边乘6：， 去括号得：， 合并同类项得： ， 移项，合并同类项得：， 所以原方程的解为， 故选：C． 题型十二：已知一元一次方程的解，求参数 解题思路：① 将解代入方程；② 把参数看作未知数；③ 求出参数；④ 检验未知数系数不为 0。 36．若是关于的方程的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解的概念，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可求解的值． 【详解】解：把代入方程得： 整理得 移项合并同类项得 系数化为得． 37．若方程与方程的解相同，则k的值为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】两个方程解相同，因此先求解不含参数的方程 得到的值，再将代入含参数的方程即可求出的值． 【详解】解：先解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵两个方程的解相同， ∴把代入得， 解得， 因此的值为． 38．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为____． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元一次方程的解，求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：， 两边乘以，得． 令， 则． ∵方程的解为， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 39．若关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，设，则方程可转化为．由方程 的解为 ，可得方程的解为，进而可求得y的值．熟练掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：设，则方程可转化为， ∵ 方程的解为， ∴方程的解为， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 题型十三：一元一次方程解的关系 解题思路：① 分别求出两个方程的解；② 根据题意写出两个解的关系；③ 列出新方程；④ 求出参数；⑤ 代入检验。 40．若方程与方程的解相同，则的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解得：， 因为方程与方程的解相同， 将代入方程，得， 解得； 故选：B． 41．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握整体法，是解题的关键． 将第一个方程变形得到，第二个方程变形得到，从而建立等式，代入求解． 【详解】由，移项得，即． 由，移项得． 因此，即． 代入，得，所以． 故答案为：． 42．多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键； 观察表格看取何值时，多项式和对应的值相等即可． 【详解】解：由题意知，当时，和的值相等，都是， 关于的方程的解是； 故选：A． 题型十四：绝对值方程 解题思路：① 若 |A|=b,\ b>0，则 A=b 或 A=-b；② 得到两个一元一次方程；③ 分别求解；④ 若 b<0，方程无解。 43．若，则x等于（    ） A． B．9 C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可求解．本题考查绝对值，掌握绝对值的概念和计算方法是解题关键． 【详解】解： ， 故选：C． 44．若，且，则的值为（    ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】根据，求出x、y的值，代入即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴，或， ∴或1， 故选：A． 45．把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素．一个集合中没有相同的元素．如果一个集合中有一个元素，且也是这个集合的元素，那么这样的集合我们称之为“距离集合”．例如，集合，因为当时，，而1恰好是这个集合的元素，所以是一个“距离集合”． （1）集合________（填“是”或“不是”）“距离集合”． （2）已知集合是“距离集合”，且是整数，则所有符合条件的的值为________． 【答案】 是 0，1，4 【分析】本题考查了“距离集合”的定义，绝对值方程，理解“距离集合”的定义是解题的关键． （1）直接根据定义判断即可； （2）根据“距离集合”的定义，分和两种情况讨论，解方程求整数b即可． 【详解】解：（1）由题意可知，当集合中取时，，2是集合的元素， ∴集合是“距离集合”． 故答案为：是． （2）∵集合是“距离集合”，且b为整数， ∴集合中的元素需至少有一个满足也是该集合的元素， ①当时，，则0必须是集合的元素， ∴； ②当时，必须是集合的元素， ∴或， 若，解得， 若，解得或， 综上，所有符合条件的b值为0，1，4． 故答案为：0，1，4． 解答题 1．解方程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ， ， 解得； （4）解：， ， ， ， ， 解得； （5）解：， ， ， ， ， 解得； （6）解：， ， ， ， ， ， 解得． 2．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)10或 (2)10或 【分析】（1）根据绝对值的性质， 成立的条件是x和y同号，由此可求出的值． （2）表示x和y异号，由此可求出的值． 本题考查了绝对值的性质和有理数的加减法，根据绝对值的性质得出x、y的符号是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ，． 又， ∴ x与y同号． 若，，则． 若，，则． 的值为10或． （2）解：，， ，． 又， ∴ x与y异号． 若，，则． 若，，则． 的值为10或． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 4．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程，得， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 5．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1) ①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ② (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【详解】（1）解：①略 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一元一次方程及其解法精讲学案 核心立意 本节课是学生从算术思维转向代数思维的关键一课。需要识别一元一次方程，利用等式的性质进行等价变形，按照规范步骤解方程。学习中要明确每一步变形的依据，重视符号、漏乘等高频错误，养成严谨的书写习惯，为一元一次方程的应用以及后续代数内容的学习打好基础。 一元一次方程的概念 ⑴ 三个判定条件，必须同时满足：     - 只含有一个未知数     - 未知数的次数为 1     - 等号两边都是整式（分母中不能含有未知数） ⑵ 标准形式：ax+b=0（a,b 为常数，a0 ⑶ 参数问题的两个约束：     - 未知数的次数等于 1     - 未知数的系数 a 0（最容易忽略的隐藏条件） 方程的解与解方程 ⑴ 方程的解：可以使方程左右两边相等的数值。 ⑵ 解方程：求出方程的解的过程。 ⑶ 检验方法：将数值分别代入方程的左边和右边。只有两边的计算结果相等，才是方程的解；只计算一边不算完整的检验。 等式的基本性质（解方程的理论依据，常出判断题） ⑴ 性质 1：等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。主要用于移项。 ⑵ 性质 2：等式两边同时乘同一个数，或除以一个不为 0的数，等式仍然成立。主要用于去分母、系数化为 1。 ⑶ 重要提醒：等式两边不能同时除以 0。 解一元一次方程的一般步骤 标准流程：去分母去括号 移项合并同类项 系数化为1 ⑴ 去分母：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数。每一项都要乘，包括常数项；如果分子是多项式，去掉分母后要给分子加上括号。 ⑵ 去括号：依据乘法分配律。括号前是正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，括号内每一项都要变号。 ⑶ 移项：把项从等号的一边移到另一边，必须变号；只在等号同侧交换位置，不属于移项，不用变号。 ⑷ 合并同类项：将方程化简为 ax=b 的形式。 ⑸ 系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数；注意不要颠倒分子、分母。 ⑹ 灵活原则：以上是常用步骤，不需要的步骤可以跳过，不必机械套用。 重点辨析 ① 判断一元一次方程时，只看未知数的个数，与未知数选用哪一个字母无关。 ② “一次”只针对未知数的次数，常数项没有次数，不参与判断。 ③ 分母中含有未知数的方程是分式方程，一定不是一元一次方程。 ④ a0 是标准形式里的隐藏条件，遇到参数问题必须检查这一条。 ⑤ 注意区分：移项是跨过等号移动项，需要变号；同侧交换只是整理顺序，不需要变号。 ⑥ 每一步变形都要有依据：移项依据性质 1；去分母、系数化为 1 依据性质 2；去括号依据乘法分配律。不能仅凭感觉修改符号。 ⑦ 五步流程只是常用顺序，可以根据方程的结构灵活跳过某些步骤。 ⑧ 使用等式性质时，“两边同时”是关键词。只修改等号一边的变形是错误的。 ① 判断一元一次方程时，忽略“整式”的要求，把分式方程误判为一元一次方程。 ② 求参数的值时，只令未知数的次数等于 1，忘记验证系数不等于 0。 ③ 去分母时，漏乘不含分母的常数项（本节课最高频的扣分点）。 ④ 去分母之后，多项式形式的分子不加括号，引发后续的符号错误。 ⑤ 去括号时，括号前是负号，只改变第一项的符号，其余各项不变。 ⑥ 移项忘记变号；没有移动的项，随意改变符号。 ⑦ 系数化为 1 时，把分子、分母颠倒。 ⑧ 解方程随意跳步骤，书写格式不规范，丢失步骤分。 ⑨ 检验方程的解时，只代入方程的一侧，不对比左右两边的结果。 ⑩ 做等式性质的判断题时，忽略“两边同时”“除数不为 0”这两个限制条件。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型七 等式的性质 1 ★★ 题型八 等式的性质 2 ★★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★★ 题型十一 去分母 ★★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：判断各式是否是方程 解题思路：① 检查是否有等号，是不是等式；② 检查是否含有未知数；③ 同时满足两条才是方程。 1．下列各式中是一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 题型二：列方程 解题思路：① 设未知量为字母；② 找出题目中的相等关系；③ 用含字母的式子表示等号两边；④ 用等号连接，只列式不求解。 4．“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 5．钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 6．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 题型三：判断是否是方程的解 解题思路：① 将数值代入未知数；② 分别计算左右两边；③ 两边相等就是解，否则不是。 7．是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 8．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 9．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 题型四：已知方程的解，求参数 解题思路：① 把解代入原方程；② 把参数当作未知数；③ 利用等式性质求出参数；④ 简单验算符号。 10．若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 11．已知是方程的解，则的值为________ 12．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 13．阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 题型五：判断是否是一元一次方程 解题思路：① 是等式；② 是整式（分母无未知数）；③ 只有一个未知数；④ 未知数次数为 1；⑤ 化简后系数不为 0；⑥ 全部满足才是一元一次方程。 14．下列各式中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 15．下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 16．方程是关于x的一元一次方程，则a=（   ） A．2 B． C． D． 题型六：判断是否是一元一次方程解 解题思路：① 先确认方程是一元一次方程；② 代入给定数值；③ 计算左右两边；④ 两边相等就是解。 17．下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 18．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 19．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型七：等式的性质 1 解题思路：① 等式两边同时加同一个数或整式，等式仍成立；② 等式两边同时减同一个数或整式，等式仍成立；③ 必须两边同时运算。 20．下列说法错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．已知， （1）若，则与的等量关系是________． （2）若，则________．（用含，的代数式表示） 22．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型八：等式的性质 2 解题思路：① 等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；② 等式两边同时除以同一个不为 0 的数，等式仍成立；③ 必须两边同时运算，不能除以 0。 23．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 24．对任意的数a，定义：，已知，则_________． 25．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型九：合并同类项与移项 解题思路：① 移项，移项要变号；② 合并同类项；③ 系数化为 1。 26．一元一次方程的解是（     ） A．2 B．3 C．5 D．8 27．在关系式中，当时，的值是__________． 28．定义新运算：，已知，求得x的值为_______ 29．若方程是关于的一元一次方程，则这个方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型十：去括号 解题思路：① 去括号，括号前是负号时各项都变号；② 移项，移项要变号；③ 合并同类项；④ 系数化为 1。 30．方程的解是（     ） A． B． C． D． 31．对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 32．下列变形正确的是（　　） A．由移项得 B．由1去分母得 C．由去括号得 D．由去括号、移项、合并同类项得 题型十一：去分母 解题思路：① 找分母的最小公倍数；② 每一项都乘最小公倍数；③ 去括号；④ 移项；⑤ 合并同类项；⑥ 系数化为 1。 33．解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 34．当___________________时，式子与互为相反数． 35．嘉淇在解关于的方程的过程中，去分母时，左边的“”漏乘了公分母6，其他过程均正确，从而求得方程的解为，则原方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型十二：已知一元一次方程的解，求参数 解题思路：① 将解代入方程；② 把参数看作未知数；③ 求出参数；④ 检验未知数系数不为 0。 36．若是关于的方程的解，则的值为__________． 37．若方程与方程的解相同，则k的值为（   ） A． B．3 C． D．5 38．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为____． 39．若关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型十三：一元一次方程解的关系 解题思路：① 分别求出两个方程的解；② 根据题意写出两个解的关系；③ 列出新方程；④ 求出参数；⑤ 代入检验。 40．若方程与方程的解相同，则的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 41．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为_______． 42．多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 题型十四：绝对值方程 解题思路：① 若 |A|=b,\ b>0，则 A=b 或 A=-b；② 得到两个一元一次方程；③ 分别求解；④ 若 b<0，方程无解。 43．若，则x等于（    ） A． B．9 C．或 D．以上答案都不对 44．若，且，则的值为（    ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 45．把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素．一个集合中没有相同的元素．如果一个集合中有一个元素，且也是这个集合的元素，那么这样的集合我们称之为“距离集合”．例如，集合，因为当时，，而1恰好是这个集合的元素，所以是一个“距离集合”． （1）集合________（填“是”或“不是”）“距离集合”． （2）已知集合是“距离集合”，且是整数，则所有符合条件的的值为________． 解答题 1．解方程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 4．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 5．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $