解析几何专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本专项聚焦解析几何核心模块，通过分层次题型设计构建直线与圆、椭圆、双曲线的知识网络，以区域模拟题承载解题方法，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆|42题（含位置关系、弦长等6子模块）|涵盖选择、填空、解答，突出位置关系判定、轨迹方程等核心题型|从基础位置关系到综合轨迹问题，形成“概念-性质-应用”递进逻辑| |椭圆|29题（含离心率、焦点三角形等5子模块）|以离心率计算、韦达定理应用为重点，结合光学性质等特殊技巧|围绕定义与方程，展开几何性质与代数运算的融合训练| |双曲线|42题（含基本量、渐近线等5子模块）|侧重渐近线、焦点三角形及联立运算，强化定义法应用|通过基本量关系构建知识体系，突出与椭圆的对比与迁移|

解析几何专项合集（直线与圆·椭圆·双曲线） 第一部分　直线与圆（共 42 题） （一）位置关系判定（7 题：单选 1 · 多选 3 · 填空 3） ★★　枣庄市2026届高三第二次调研考试 · 第4题　〔单选〕 1. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第10题　〔多选〕 2. 圆与圆的公切线的交点坐标可以是（ ） A. B. C. D. ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第9题　〔多选〕 3. 已知圆的半径为2，则（ ） A. B. 原点在圆的内部 C. 圆与圆有且仅有1条公切线 D. 直线与圆交于两点，的面积为 ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第10题　〔多选〕 4. 已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线上，则直线与圆相切 B. 若点圆外，则直线与圆相离 C. 若点圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D. 若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为1 ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第14题　〔填空〕 5. 已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． ★★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第14题　〔填空〕 6. 已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． ★★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 7. 已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数___________________． （二）弦长与弧长——垂径定理（8 题：单选 6 · 填空 2） ★★　宿州市2026届高三上学期教学质量检测 · 第7题　〔单选〕 8. 已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第5题　〔单选〕 9. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第5题　〔单选〕 10. 已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ） A 3 B. 6 C. 8 D. 10 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第6题　〔单选〕 11. 已知直线与圆 ，圆 的交点从左到右依次为A，B，C，D，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第5题　〔单选〕 12. 设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. D. ★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第5题　〔单选〕 13. 已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第12题　〔填空〕 14. 已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若的面积为2，则________． ★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第12题　〔填空〕 15. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． （三）切线问题（7 题：单选 3 · 多选 3 · 填空 1） ★★　淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试 · 第5题　〔单选〕 16. 过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. ★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第7题　〔单选〕 17. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第7题　〔单选〕 18. 已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. B. C. D. ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第11题　〔多选〕 19. 在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第9题　〔多选〕 20. 已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 圆上的点到直线的最大距离为 B. 四边形面积的最小值为4 C. 的最小值为8 D. 当点坐标为时，直线的方程为 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第10题　〔多选〕 21. 已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（ ） A. 圆心C的轨迹方程为 B. 圆C过定点 C. 当时，的最小值为15 D. 当时，四边形的面积的最小值为 ★★　济宁市2026年高考第一次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 22. 圆与直线相切于点，则直线的斜率为__________. （四）向量条件转化（2 题：单选 1 · 填空 1） ★★　潍坊市2026届高三上学期2月高考模拟考试 · 第6题　〔单选〕 23. 已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（ ） A B. C. D. ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第13题　〔填空〕 24. 已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． （五）轨迹问题——定义法与相关点法（10 题：单选 1 · 多选 3 · 填空 3 · 解答 3） ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第8题　〔单选〕 25. 已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第11题　〔多选〕 26. 在平面直角坐标系中，圆：与轴交于，两点（A在的左边），过作圆的切线，动点满足到的距离等于其到直线的距离，过的直线与动点的轨迹交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A. 动点的轨迹方程为 B. 若点的坐标为，则的最小值为6 C. 存在直线使得 D. 对于任意直线，都有 ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第14题　〔填空〕 27. 已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第13题　〔填空〕 28. 已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线，若动直线l与曲线相切，并与圆相交于C，D两点，则的最小值为_________． ★★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第13题　〔填空〕 29. 已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第17题　〔解答〕 30. 已知圆，圆，动圆与外切，与内切． （1）求的轨迹的标准方程； （2）设过点的直线与交于两点，且，求的取值范围． ★★★　合肥市2026届高三第二次教学质量检测 · 第11题　〔多选〕 31. 已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C. 当时， D. 过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第10题　〔多选〕 32. 如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最小值为 C. D. 当直线斜率都存在时， ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第15题　〔解答〕 33. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第15题　〔解答〕 34. 在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若关于轴的对称点为，求的面积的最大值. （六）最值与取值范围（8 题：单选 5 · 多选 2 · 填空 1） ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第6题　〔单选〕 35. 若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第5题　〔单选〕 36. 直线：与曲线：有交点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第6题　〔单选〕 37. 已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上点到的距离的最大值与最小值之和等于（ ） A. B. C. D. ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第7题　〔单选〕 38. 已知圆和直线，若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第8题　〔单选〕 39. “太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（ ） A. 0 B. 6 C. 8 D. 10 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第10题　〔多选〕 40. 已知动圆的圆心在曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆C经过原点O，则实数存在两个不同的值符合题意 B. 若圆C被直线平分，则圆心的坐标为 C. 存在，使得圆C截两坐标轴所得的弦长相等 D. 圆C上的点到直线的距离的最小值为 ★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第14题　〔填空〕 41. 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. ★★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第10题　〔多选〕 42. 已知曲线与坐标轴交于A，B两点，点在上，则（ ） A. B. 为轴对称图形 C. 直线与有两个公共点 D. 使得的面积为的点恰有2个 第二部分　椭圆（共 29 题） （一）基本量与离心率（13 题：单选 8 · 多选 2 · 填空 3） ★★　南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第5题　〔单选〕 1. 用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第5题　〔单选〕 2. 若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. ★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第4题　〔单选〕 3. 已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则（    ） A. B. C. D. ★★　金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第14题　〔填空〕 4. 设离心率为的椭圆的左焦点为，右顶点为.以为直径的圆与该椭圆相交于点（异于点），过点作轴的垂线，设垂足为，记的面积分别为，若为以为公比的等比数列，则__________. ★★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第14题　〔填空〕 5. 若对任意，点总在一个椭圆上运动，则该椭圆的离心率为______. ★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第7题　〔单选〕 6. 已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第8题　〔单选〕 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. ★★★　安庆市2026届高三二模 · 第8题　〔单选〕 8. 椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则（ ） A. B. C. D. ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第7题　〔单选〕 9. 已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. ★★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第8题　〔单选〕 10. 已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第10题　〔多选〕 11. 已知是椭圆上一点，分别是左、右焦点，若点满足，，则的离心率可能为（ ） A. B. C. D. ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第10题　〔多选〕 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为2 ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第13题　〔填空〕 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． （二）焦点三角形与焦半径（3 题：单选 2 · 多选 1） ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第4题　〔单选〕 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（ ） A. B. C. D. ★★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第6题　〔单选〕 15. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第11题　〔多选〕 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则椭圆的离心率为 B. 若，，则的面积为2 C. 若，，，则内切圆的半径为 D. 若，，则椭圆的离心率为 （三）联立与韦达定理（9 题：单选 1 · 填空 2 · 解答 6） ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第8题　〔单选〕 17. 设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第14题　〔填空〕 18. 已知椭圆的右焦点为，经过坐标原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，设的中点为，的中点为，以线段为直径的圆经过点，则的离心率的取值范围________. ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 19. 已知椭圆，直线过坐标原点并交椭圆于，两点（P在第一象限），点是轴正半轴上一点，其横坐标是点横坐标的倍，直线交椭圆于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为_________． ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第16题　〔解答〕 20. 已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. （1）求C的方程； （2）是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第16题　〔解答〕 21. 已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点． （1）求的方程； （2）若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点． ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第15题　〔解答〕 22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C相交于M，N两点，若的面积为2，求直线MN的方程． ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第17题　〔解答〕 23. 设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围． ★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第16题　〔解答〕 24. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于A，B两点．是坐标原点，的面积是，求实数的值． ★★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第17题　〔解答〕 25. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为．过E的右焦点的直线交E于A，B两点，过E的中心的直线交E于C，D两点． （1）求E的方程； （2）若，求直线AB的方程． （四）最值问题（2 题：单选 1 · 填空 1） ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第8题　〔单选〕 26. 已知椭圆左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 ★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 27. 已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. （五）特殊技巧——光学性质与仿射变换（2 题：单选 2） ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第7题　〔单选〕 28. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第8题　〔单选〕 29. 已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第三部分　双曲线（共 42 题） （一）基本量与方程（9 题：单选 2 · 多选 2 · 填空 5） ★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第7题　〔单选〕 1. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，点P为右支上异于B的一点，过P作x轴的垂线，垂足为N，若的面积，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 ★★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第8题　〔单选〕 2. 若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 ★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第9题　〔多选〕 3. 若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第14题　〔填空〕 4. 已知双曲线的右焦点为是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，则的离心率为______． ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第13题　〔填空〕 5. 函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______． ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第13题　〔填空〕 6. 已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. ★★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第14题　〔填空〕 7. 已知双曲线：左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，且，则双曲线的离心率为________. ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第13题　〔填空〕 8. 已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第11题　〔多选〕 9. 已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ） A. 的焦距为 B. 当轴时，与可能垂直 C. 当时，，的横坐标之和的取值集合为 D. 当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得 （二）焦点三角形、焦半径与通径——定义法（13 题：单选 7 · 多选 3 · 填空 3） ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第8题　〔单选〕 10. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为（ ） A. 24 B. 25 C. 48 D. 49 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第7题　〔单选〕 11. 已知双曲线左､右焦点分别为，若过点的直线与圆相切于点与双曲线的右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B. C. D. ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第8题　〔单选〕 12. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第8题　〔单选〕 13. 已知双曲线左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第7题　〔单选〕 14. 已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第7题　〔单选〕 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为 的直线与双曲线E的右支交于两点，若 则双曲线E的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 ★★　南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第10题　〔多选〕 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是2 C. 面积是12 D. 的外接圆半径是 ★★　九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第11题　〔多选〕 17. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，且，过的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），与轴交于点为的中点，分别为内切圆的半径，则（ ） A. 的离心率为2 B. 与上点的距离的最小值为 C. D. ★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第9题　〔多选〕 18. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于两点，则下列结论错误的有（ ） A. 的方程为 B. C. 的渐近线方程为 D. 当时，的面积为3 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第13题　〔填空〕 19. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，满足，且的面积为，则双曲线的离心率为______. ★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第13题　〔填空〕 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. ★★★　铜陵市2026届高三下学期第一次质检 · 第5题　〔单选〕 21. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. ★★★　佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第14题　〔填空〕 22. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. （三）渐近线（11 题：单选 5 · 多选 2 · 填空 4） ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第7题　〔单选〕 23. 已知双曲线及（其中），与相交于A，B，C，D四点，与的两条渐近线相交于四点．若四边形ABCD与四边形相似，则的离心率为（ ） A. B. C. D. ★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第6题　〔单选〕 24. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. ★★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第7题　〔单选〕 25. 已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（ ） A B. C. D. ★★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第7题　〔单选〕 26. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. ★★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第8题　〔单选〕 27. 双曲线的对称中心为，焦点为，过的直线与的一条渐近线平行．若与以为圆心，为半径的圆相交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第10题　〔多选〕 28. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线上，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 点到的两条渐近线的距离之积为定值 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第9题　〔多选〕 29. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且到双曲线渐近线的距离为2，则（ ） A. B. 若过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，则 C. 若为双曲线上一点，且，则或 D. 若第一象限的点在双曲线上，且，则点的坐标为 ★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 30. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． ★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 31. 已知双曲线的离心率为的一条渐近线与圆交于两点，则__________． ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第12题　〔填空〕 32. 已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为_______． ★★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第14题　〔填空〕 33. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点．若的面积是的面积的3倍，则_____． （四）联立与韦达定理（6 题：单选 2 · 多选 1 · 填空 2 · 解答 1） ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第7题　〔单选〕 34. 等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. ★★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第8题　〔单选〕 35. 已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第11题　〔多选〕 36. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为2 C. 面积的最小值为 D. 直线，的倾斜角之和为 ★★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第14题　〔填空〕 37. 已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，．若，则的离心率为________． ★★★　莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第14题　〔填空〕 38. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点.若，则的外接圆的半径为_____. ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第15题　〔解答〕 39. 已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． （1）求双曲线的焦距； （2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． （五）点差法与中点弦（3 题：单选 1 · 多选 1 · 解答 1） ★★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第8题　〔单选〕 40. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. ★★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第11题　〔多选〕 41. 以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线过点，且两焦点为.若直线，分别与的两支交于两点，线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 若，则点在直线上 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则与的内切圆的半径之比为2或 ★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第17题　〔解答〕 42. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何专项合集（直线与圆·椭圆·双曲线）解析版 第一部分　直线与圆（共 42 题） （一）位置关系判定（7 题：单选 1 · 多选 3 · 填空 3） ★★　枣庄市2026届高三第二次调研考试 · 第4题　〔单选〕 1. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 策略：两圆相交的充要条件：圆心距大于半径之差且小于半径之和 圆 的圆心 ，半径 ；圆 的圆心 ，半径 。 圆心距 。 两圆相交需 ，解得 且 ，即 。 四个选项中只有 在开区间 内。 答：B。 ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第10题　〔多选〕 2. 圆与圆的公切线的交点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 策略：两圆外切时两条外公切线的交点是外位似中心，按半径比外分连心线 圆 ，圆心 ，；圆 ，即 ，圆心 ，。 圆心距 ，两圆外切，两条外公切线的交点即外位似中心，在连心线上按 外分 。 。（外切时两条内公切线合为过切点的一条，无第二交点） 答：A。 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第9题　〔多选〕 3. 已知圆的半径为2，则（ ） A. B. 原点在圆的内部 C. 圆与圆有且仅有1条公切线 D. 直线与圆交于两点，的面积为 策略：由半径定出 a，再判断位置关系与弦三角形面积 半径为 ：，，A 错误。 圆 ，圆心 。，原点在圆内，B 正确。 C 项：圆 即 ，圆心 ，。圆心距 ，两圆内切，有且仅有 条公切线，C 正确。 D 项：圆心到直线 的距离 ，， 面积 ，D 错误。 答：BC。 ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第10题　〔多选〕 4. 已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线上，则直线与圆相切 B. 若点圆外，则直线与圆相离 C. 若点圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D. 若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为1 策略：点与圆的位置关系决定圆心到直线距离与半径的大小关系 圆心为原点，半径 ，圆心到 的距离 。 A 项： 在 上，则 ，，相切，A 正确。 B 项： 在圆外，，，直线与圆相交而非相离，B 错误。 C 项： 在圆内且异于原点，，，相离，C 正确。 D 项： 在圆上，，直线在两坐标轴上的截距为 （），三角形面积 。由 得面积 ，最小值 （ 时取得），D 正确。 答：ACD。 ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第14题　〔填空〕 5. 已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 策略：公切线条数由位置关系定；三条交点落在 y 轴时 r=2，此时 y 轴本身是内公切线 ，；，圆心距 。当 时两圆外离，公切线最多，有 条。 该情况下内位似中心 落在 轴需 ，。 时四条公切线为 ， 与两条斜率 的直线（ 本身是内公切线）。四个交点中， 与两条斜率线的 轴截距点 、 共三个落在 轴上。 其余交点：外公切线交点 ，两条外公切线与 的交点横坐标 ： 给出 ， 给出 （为正）。 底边长 ， 到直线 的距离为 ，三角形面积 。 答：4 条；2√17。 ★★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第14题　〔填空〕 6. 已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 策略：恰有两点即以 P 为圆心半径 2 的圆与圆 C 相交，转化为圆心距范围 圆 ，圆心 ，。圆 上恰有两点到 距离为 ，即圆 与以 为圆心、 为半径的圆恰有两个公共点：。 条件为 上存在点 使 。 在直线上移动时 取遍 ， 为圆心到直线的距离 。 存在这样的 当且仅当 ：，即 ，。 取值范围 。 答：k > −5/12。 ★★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 7. 已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数___________________． 策略：恰有三点等距，等距的两条平行线一条相切一条过圆心，再按象限定 a 圆心 ，，圆心到 的距离 。 圆上到 距离为 的点分布在 两侧的两条平行线上。恰有三个点，需其中一条与圆相切、另一条过圆心： 且 。 ：， 或 。 直线不过第三象限： 时 ，需 ，舍 ，故 。 答：26。 （二）弦长与弧长——垂径定理（8 题：单选 6 · 填空 2） ★★　宿州市2026届高三上学期教学质量检测 · 第7题　〔单选〕 8. 已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 策略：直线过定点，定点在圆内，弦长最短时垂直于圆心与定点的连线 直线 ，即 ，无论 取何值恒过定点 。 圆 ，圆心 ，半径 。，点 在圆内，过 的直线必与圆交于两点。 设圆心到直线的距离为 ，弦长为 ， 固定， 越大弦长越短。当直线与 垂直时 最大，。 弦长的最小值为 。 答：D。 ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第5题　〔单选〕 9. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 策略：两圆方程相减得公共弦所在直线，再用弦心距求弦长 两圆方程相减：，即 ，这就是公共弦所在直线。 圆 的圆心为原点，，圆心到直线的距离 。 公共弦长 。 答：D。 ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第5题　〔单选〕 10. 已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ） A 3 B. 6 C. 8 D. 10 策略：原点在圆内，最短弦垂直于过圆心与原点的连线 圆心 ，，，原点在圆内。 过圆内一定点的弦中，垂直于定点与圆心连线的弦最短，此时圆心到直线的距离 。 。 答：B。 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第6题　〔单选〕 11. 已知直线与圆 ，圆 的交点从左到右依次为A，B，C，D，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 策略：两圆同心，弦有公共中点，小圆弦嵌在大圆弦内部 两圆都以原点为圆心，直线法向量 是单位向量，圆心到直线的距离 。 直线与大圆 的弦：半弦长 ；与小圆 的弦：半弦长 。 两弦都以垂足为中点，小圆的弦整段落在大圆的弦内部。从左到右依次为 ，则 ，。 。 答：B。 ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第5题　〔单选〕 12. 设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. D. 策略：弦长最短即圆心距最大，垂直时取得，由斜率乘积为 -1 定 k 直线 ，即 ，恒过 ，且 ， 在圆 内。 弦长 ， 最大时弦最短。圆内定点到直线的距离最大值为 ，此时 。 ，由 得 。 答：C。 ★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第5题　〔单选〕 13. 已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 策略：求出圆心角，弧长等于半径乘圆心角 圆 配方得 ，圆心 ，。 圆心到 的距离 。 半弦长 ，设圆心角为 ，则 ，，。 劣弧 的长为 。 答：B。 ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第12题　〔填空〕 14. 已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若的面积为2，则________． 策略：过圆上定点的直线，另一交点为 B，面积 2 即 ∠AOB=90° 点 在圆 上，直线与圆的两个交点中一个是 ，记另一个为 。 ，故 ，即 。 设 ，，。直线 过 ：，（）。 答：1。 ★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第12题　〔填空〕 15. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 策略：求切线，用弦心距求弦长 在 处切线：切点 ，斜率 ，直线 。 圆 ，圆心 ，，圆心距 。 。 答：2√2。 （三）切线问题（7 题：单选 3 · 多选 3 · 填空 1） ★★　淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试 · 第5题　〔单选〕 16. 过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 策略：圆心与切点连线的角平分关系，得 sin(α/2)=r/|AC|，再用二倍角 圆心 ，半径 ，点 ，。 由对称性， 平分两条切线的夹角 ，在直角三角形（圆心、切点、）中 ，故 。 。 答：A。 ★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第7题　〔单选〕 17. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 策略：同切线夹角模型：sin(α/2)=r/|PC|，倍角公式求 sin α 圆心 ，半径 ，点 ，。 圆心与 的连线平分切线夹角，，。 。 答：B。 ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第7题　〔单选〕 18. 已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 策略：cos∠APB = 1 − 2r²/|PC|²，|PC| 最小时最小 圆心 ，。 在 上， 的最小值为圆心到直线的距离 。 由切线对称性，，。 最小时 最小，为 。 答：D。 ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第11题　〔多选〕 19. 在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 策略：圆心到切线距离等于半径，分别解出 k1、k2 关于 r 的表达式，交点在第一象限定 r 范围 动圆 圆心 ，半径 ，与 轴相切于 。 过 的切线 ：由 ，平方整理得 ，舍去 ，得 。 过 的切线 ：由 ，整理得 ，得 。 联立两切线解得交点 ，。 在第一象限需 。 A 项：， 恒成立（分子 ），正确。 B 项： 在 上单调递增，上确界为 取不到，故 ，正确。 C 项：当 时 ，不成立。 D 项： 到切线 的距离 ，在 上单调递增，上确界 取不到，故 ，正确。 答：ABD。 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第9题　〔多选〕 20. 已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 圆上的点到直线的最大距离为 B. 四边形面积的最小值为4 C. 的最小值为8 D. 当点坐标为时，直线的方程为 策略：A、B 用距离与切线长最值，C 化为 PC² 的函数，D 用切点弦公式 A 项：圆心 到 的距离为 ，圆上点到直线的最大距离为 ，A 正确。 B 项：四边形 的面积 ，。 在直线上， 的最小值为 ，面积最小值为 ，B 正确。 C 项：记 ，，，在 上导数 单调递增，最小值为 时的 ，不是 ，C 错误。 D 项： 满足 在直线上。圆 过 的切点弦方程为 ，即 ，D 正确。 答：ABD。 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第10题　〔多选〕 21. 已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（ ） A. 圆心C的轨迹方程为 B. 圆C过定点 C. 当时，的最小值为15 D. 当时，四边形的面积的最小值为 策略：圆心用 m 表示出轨迹，再逐一验证：定点代入、切线长与数量积、面积的最值 圆 的圆心为 ，半径平方 。 A 项：设圆心 ，则 ，，即 。但 时半径为 ，方程表示点 而非圆，轨迹应除去点 ，A 不严谨，不选。 B 项：把 代入圆的方程： 恒成立，圆 恒过定点 ，B 正确。 C 项： 时圆为 ，，圆心 。记 （最小值即圆心到直线 距离的平方 ）。，，在 上递增，最小值 ，C 错误。 D 项：四边形 面积 ，最小值 ，D 错误。 答：B。 ★★　济宁市2026年高考第一次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 22. 圆与直线相切于点，则直线的斜率为__________. 策略：先由切点在圆上定参数，再由半径与切线垂直求斜率 切点 在圆上：，。 圆 ，圆心 ，半径 。 半径所在直线斜率 ，切线与半径垂直，斜率为 。 答：-1/2。 （四）向量条件转化（2 题：单选 1 · 填空 1） ★★　潍坊市2026届高三上学期2月高考模拟考试 · 第6题　〔单选〕 23. 已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（ ） A B. C. D. 策略：直线过定点，用中点 M 把数量积化为 |OM|2−|MA|2 ，即 ，恒过点 。圆 ，圆心 ，半径 。 设弦 的中点为 ，则 。 圆心 到 的距离 ，故 。 是 在 上的射影，解垂足得 ，。 于是 ，解得 ，。 答：B。 ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第13题　〔填空〕 24. 已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 策略：圆内接直角推出 AC 为直径，A+C=0，式子只剩 B 都在圆 上且 ，圆周角直角所对弦为直径， 是直径，。 。 ，即求圆 上的点 到定点 的距离：最小 （），最大 。 取值范围 。 答：[0, 6]。 （五）轨迹问题——定义法与相关点法（10 题：单选 1 · 多选 3 · 填空 3 · 解答 3） ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第8题　〔单选〕 25. 已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 策略：|PA|=√2|PB| 平方整理得阿波罗尼斯圆，条件转化为两圆有公共点 设 ， 两边平方：，整理得 。 问题转化为：圆 与圆 有公共点。 两圆半径 与 ，圆心距 。 有公共点需 。左端 恒成立；右端 ，即 ，。 答：B。 ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第11题　〔多选〕 26. 在平面直角坐标系中，圆：与轴交于，两点（A在的左边），过作圆的切线，动点满足到的距离等于其到直线的距离，过的直线与动点的轨迹交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A. 动点的轨迹方程为 B. 若点的坐标为，则的最小值为6 C. 存在直线使得 D. 对于任意直线，都有 策略：切线 x=−3 为准线、B 为焦点，轨迹是抛物线 y²=12x；逐项用定义与联立判断 过 的切线即直线 。动点 到 的距离等于到 的距离，由抛物线定义，轨迹方程为 ，A 正确。 B 项：由定义 等于 到准线 的距离，故 到准线的距离 ，当 取水平线 与抛物线的交点 时取等号，最小值为 而非 ，B 错误。 C 项：设 ，对交点记 ，代入抛物线得 。；，故 。 （续）由 得 ，即 ，解得 ，对应 ，均使 有解（ 亦成立），C 正确。 D 项：联立得 ，交于两点需判别式 ，即 。由 C 项 ，得 ，D 正确。 答：ACD。 ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第14题　〔填空〕 27. 已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 策略：直角在 P，斜边 AB 中点 M 到三顶点等距，得 M 的轨迹圆，|PQ|=2|PM| ， 为斜边 中点，则 。矩形 中 是对角线，。 在圆 上且 为弦 中点：。由 ：设 ，，即 。 的范围是 ，即 （端点处弦与直角均有效）。 。 答：[√14−2, √14+2]。 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第13题　〔填空〕 28. 已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线，若动直线l与曲线相切，并与圆相交于C，D两点，则的最小值为_________． 策略：数量积条件整理出单位圆，切线到定圆心的距离有界，弦长最小即距离最大 ，轨迹 。 与 相切，设切线 ，圆 圆心 到切线的距离 。 ， 最大时最小，，。 答：8。 ★★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第13题　〔填空〕 29. 已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 策略：|PA|=2|PB| 化为阿氏圆，直线与其有交点即圆心距不大于半径 设 ：，整理得 ，即 ，圆心 ，。 直线 上存在符合要求的点，需圆心到直线距离 ，即 。 的最大值为 。 答：2√2−2。 ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第17题　〔解答〕 30. 已知圆，圆，动圆与外切，与内切． （1）求的轨迹的标准方程； （2）设过点的直线与交于两点，且，求的取值范围． 策略：外切与内切的半径关系相加得定值 4，轨迹为椭圆；直线代入选参求比值范围 （1）设动圆半径 。与 外切：；与 内切：。相加 ，轨迹是焦点在 轴上的椭圆，，，，方程 。 （2）直线过 。斜率不存在时 ，交于 ，。 斜率存在时设 ，代入椭圆：，交于两点需 ，。 记 ，。 时 取不到， 时 取不到。 综上 的取值范围是 。 答：(1) x²/4+y²/3=1；(2) [7−4√3, 1)。 ★★★　合肥市2026届高三第二次教学质量检测 · 第11题　〔多选〕 31. 已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C. 当时， D. 过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 策略：垂直平分线与中线构造双曲线，选项分别核验斜率积、解三角形与垂足圆 在 垂直平分线上：； 又在直线 上。 在 延长线上时 ，在 延长线上时 ，故轨迹为双曲线 ，A 正确。 B 项：，， 不在 轴上时 ，B 错误。 C 项：设 ，由余弦定理与 、 解得 ，，此时 ，C 正确。 D 项：设 为 关于 的对称点，则 垂直平分 于 ，且对称把 映为 ，故 。，代入得 ，即 ， 在半径 的圆上，，D 正确。 答：ACD。 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第10题　〔多选〕 32. 如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最小值为 C. D. 当直线斜率都存在时， 策略：内外切半径关系相加得椭圆；角的最值、向量数量积与斜率积逐项核算 动圆与 外切：；与 内切：。相加 ，轨迹为椭圆 ； 处动圆半径为 ，舍去，A 正确。 B 项：切点 在 上、 在 延长线上，。，，故 ，，最小值 在短轴端点取得，B 正确。 C 项：，，两式数量积之和 。设 ，式子 ，在 处取最大值 ，故恒 ，C 正确。 D 项： 在椭圆上且关于原点对称，，代入椭圆方程 ，D 错误。 答：ABC。 ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第15题　〔解答〕 33. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 策略：到定点与定直线距离相等的轨迹是抛物线，代入联立求弦长 （1） 到 的距离等于到 轴的距离，轨迹是焦点 、准线 的抛物线，顶点 ，，方程 。 （2）直线 ，即 ，代入：，，。 。 答：(1) y²=4x−4；(2) 8。 ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第15题　〔解答〕 34. 在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若关于轴的对称点为，求的面积的最大值. 策略：对斜率积整理得椭圆；对称点构造直角三角形，面积用均值不等式 （1），，整理得 ，即 （）。 （2）， 水平长 ， 竖直长 ，，面积 。 由 ，，等号当 时成立。 面积最大值为 。 答：(1) x²/4+y²=1（x≠2）；(2) 2。 （六）最值与取值范围（8 题：单选 5 · 多选 2 · 填空 1） ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第6题　〔单选〕 35. 若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 策略：设 A 的坐标，把 B 写出来，转化为二次方程有实数解 在直线 上，设 。由 得 。 在圆 上，即 关于 有实数解。 展开为 ，判别式 。 得 ，即 ，最大值为 。 答：D。 ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第5题　〔单选〕 36. 直线：与曲线：有交点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 策略：曲线是右半单位圆，代入消元后用两根之积判断交点位置 即 且 ，是单位圆的右半部分（含 ）。直线恒过 。 代入 消去 ：，判别式恒为正，必有两个交点。 设两交点横坐标为 ，则 ，。 与右半圆有交点，需至少一根非负，即 ，得 ，。 故 的最大值为 。 答：C。 ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第6题　〔单选〕 37. 已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上点到的距离的最大值与最小值之和等于（ ） A. B. C. D. 策略：由对称性定圆心在 y 轴，等距条件解出圆心，距离最值之和为 2d 圆 关于 轴对称，圆心在 轴上，设 。 圆过 与 ，：，得 ，即 ，负号情形解得 。 ，。 圆心 到 的距离 。 圆上点到直线距离的最大值 与最小值 之和为 。 答：D。 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第7题　〔单选〕 38. 已知圆和直线，若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 策略：圆上点到直线的距离取遍连续区间 [5−r, 5+r]，等比数列三项卡区间端点 圆心 到 的距离为 。当 时，圆上点到直线的距离取遍区间 内所有值。 设三个距离为 （），它们都要落在该区间内： 且 。 存在这样的 需 ，解得 。 时取 ，三个距离 恰好铺满区间 ，对应的三个点存在且互不相同。 显然不是最小值。故 的最小值为 。 答：C。 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第8题　〔单选〕 39. “太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（ ） A. 0 B. 6 C. 8 D. 10 策略：配方看作到定点距离的平方减 2，用区域位置估计取值范围 ，即动点 到定点 距离的平方减 。 位于右下方白色区域内。阴影区域含在大圆 内，，阴影内点到 的最大距离为 ，对应点在 指向原点反向延长线与阴影边界的交点（左上方，确在阴影内）。 故最大值为 ， 取不到。 其余三个值都能取到：原点 在阴阳分界线上（含边界），；点 在阴影内，距离平方 ，得 ；点 在阴影内，距离平方 ，得 。 答：D。 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第10题　〔多选〕 40. 已知动圆的圆心在曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆C经过原点O，则实数存在两个不同的值符合题意 B. 若圆C被直线平分，则圆心的坐标为 C. 存在，使得圆C截两坐标轴所得的弦长相等 D. 圆C上的点到直线的距离的最小值为 策略：圆心在 y=ln x 上，逐项转化为方程根的个数与距离最值 圆心 ，，半径 。 A 项：圆过原点需 。设 ，（），，，，且 在 内先减后增、在 上递增，故方程恰有两个根，A 正确。 B 项：被直线 平分即圆心在直线上：。令 ，， 处取最大值 ，故唯一解 ，圆心 ，B 正确。 C 项：被两坐标轴截得的弦长相等需 ，即 。当 时 且 ， 无解，故不存在，C 错误。 D 项：圆心到直线 的距离 ， 在 处取最小值 ，故最小距离 ，D 正确。 答：ABD。 ★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第14题　〔填空〕 41. 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 策略：中点公式：PA+PB 的模是 P 到线圆中间集距离的 2 倍 设 中点 ，则 ，。 ，其中 在直线 上、 在单位圆上，故 在直线 与半径 的圆邻域内， 的最小值为 到该直线距离减 。 到 的距离 ，。 。 答：28/5。 ★★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第10题　〔多选〕 42. 已知曲线与坐标轴交于A，B两点，点在上，则（ ） A. B. 为轴对称图形 C. 直线与有两个公共点 D. 使得的面积为的点恰有2个 策略：分段去绝对值画出三段曲线，逐项核对对称性、交点与面积 分段讨论： 时 ； 时 ； 时不等式无解； 时 。 A 项：与 轴交于 ，与 轴交于 ，，A 正确。 B 项：把 换成 方程不变，曲线关于直线 对称，是轴对称图形，B 正确。 C 项： 代入得 ，无公共点，C 错误。 D 项： 需 ，即 或 。直线 与双曲线右支交于 、与左支交于 （与四分之一圆无交点）；直线 与右支交于 、与左支交于 ，但这两点的横坐标均为正、纵坐标均为负，只应落在四分之一圆段上，而它们不满足 ，故均不在曲线上。恰有 个点，D 正确。 答：ABD。 第二部分　椭圆（共 29 题） （一）基本量与离心率（13 题：单选 8 · 多选 2 · 填空 3） ★★　南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第5题　〔单选〕 1. 用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 策略：圆柱截面椭圆：投影回底面即圆，长轴与投影的关系定离心率 设圆柱底面半径 。截面椭圆在底面上的投影是半径 的圆，故短半轴 。 截面与底面成 角，长轴在底面的投影长为 ，得 。 。 答：D。 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第5题　〔单选〕 2. 若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 策略：a=2>b，焦点在 x 轴，直接算 e 的范围 ，，焦点在 轴上，。 ，故 ，。 答：C。 ★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第4题　〔单选〕 3. 已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则（    ） A. B. C. D. 策略：短轴顶点处，半焦距与短半轴构成的直角三角形给出角 设 为短轴顶点，则 ，，。 ，故 。 。 答：C。 ★★　金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第14题　〔填空〕 4. 设离心率为的椭圆的左焦点为，右顶点为.以为直径的圆与该椭圆相交于点（异于点），过点作轴的垂线，设垂足为，记的面积分别为，若为以为公比的等比数列，则__________. 策略：∠ABF=90° 加等比数列条件得黄金比，再与椭圆方程联立解 e 以 为直径的圆过 ，则 ：。 三个面积 ，，。等比要求 ：。 记 ，，则 且 ，即 ，，其中 ，。 椭圆中 ，与 比较得 。 由 ：，且 。代入 整理得 ，即 。 ，取 。公比 ，。 答：1。 ★★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第14题　〔填空〕 5. 若对任意，点总在一个椭圆上运动，则该椭圆的离心率为______. 策略：用和差公式消参得含交叉项的二次曲线，旋转定长短轴 ，，故 。 两式平方相加：，展开整理得 。 二次型矩阵 的特征值为 与 ，旋转后 （右端 除以特征值），长半轴平方 ，短半轴平方 。 。 答：√6/3。 ★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第7题　〔单选〕 6. 已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 策略：正方形两边与原点垂直等长，代点入椭圆解出 a 与 b 的比 设正方形边长 ，由 且等长，代点入椭圆后两式相减得 ，故 、 在与坐标轴成 的方向上， 落在长轴上：。 在椭圆上：； 在椭圆上：。 代入 ：，。 。 答：D。 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第8题　〔单选〕 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 策略：切线长等量 + 焦点弦上的定比分点，两次消元解 e 设内切圆切 于 。切线长：，，。 。 在线段 上：；又 ，，相加得 。 联立得 ，。，，，。 由焦半径公式 ：，。 分 为 ，。 ，。 答：B。 ★★★　安庆市2026届高三二模 · 第8题　〔单选〕 8. 椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则（ ） A. B. C. D. 策略：N 是 PF₁ 与 y 轴交点、NM 平行 NF₂，两个共线条件解出 P，再用面积定 a 在直线 上：，即 。 ：，即 。 两式联立：，。 ，。 在椭圆上：，整理 ，（ 使 舍），。 。 答：A。 ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第7题　〔单选〕 9. 已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 策略：正三角形定出 P 的坐标，代回直线 AB 得 a 与 b 的比 圆 （以短轴为直径），。 正三角形， 到 的水平偏移为 ，。 在直线 上：，。 。 答：D。 ★★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第8题　〔单选〕 10. 已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 策略：同焦点四点共圆即该圆以原点为心，先定 b² 再解交点 两椭圆的四个交点在曲线族 上，取系数使平方项系数相等即得圆，圆心在原点。故该圆过 与 ，，半径平方既是 又是 ，得 。 公共圆 。与 联立：，。 代回 ：，整理 。 ， 取 。 答：D。 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第10题　〔多选〕 11. 已知是椭圆上一点，分别是左、右焦点，若点满足，，则的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 策略：M 是 PF₁ 中点，垂直条件化成 x 的二次方程，x 在椭圆内求解得 e 范围 说明 是 的中点，（）。 ，，垂直即 。 代入椭圆 ，整理得 ，判别式恒正， 或 （后者超过 舍）。 ： 得 ，。 选项中 均满足， 不满足。 答：BCD。 ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第10题　〔多选〕 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为2 策略：基本量逐项核算 A 项：，，，A 正确。 B 项：，B 正确。 C 项： 需 ，而 （），不可能，C 错误。 D 项：，代入 得 ，最小值 （），D 正确。 答：ABD。 ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第13题　〔填空〕 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 策略：PA=PO 给出 y 坐标，BF 延长线给出 x 坐标，代回椭圆 ，，，直线 。 ：，得 。 在直线上：，， 在 外侧（参数 ）。 在椭圆上：，，。 答：√3/3。 （二）焦点三角形与焦半径（3 题：单选 2 · 多选 1） ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第4题　〔单选〕 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（ ） A. B. C. D. 策略：面积给纵坐标，数量积化成 x²+y²−c² 。 ，。 。 答：D。 ★★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第6题　〔单选〕 15. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 策略：焦点三角形：周长定边，余弦定理解 c ，设 ，则 ，。 余弦定理：，。 ，。 答：B。 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第11题　〔多选〕 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则椭圆的离心率为 B. 若，，则的面积为2 C. 若，，，则内切圆的半径为 D. 若，，则椭圆的离心率为 策略：A 用焦半径范围；B、C 用焦点三角形面积与内切圆公式；D 用正弦定理 A 项：，，，，A 正确。 B 项： 即 ，，面积 ，B 错误。 C 项：，，，解得 ，面积 ，内切圆半径 ，C 错误。 D 项：正弦定理 ，两式相加：，，D 正确。 答：AD。 （三）联立与韦达定理（9 题：单选 1 · 填空 2 · 解答 6） ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第8题　〔单选〕 17. 设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 策略：平行弦参数化，梯形面积关于截距 t 求最大 ，。直线 ，。设 。 代入椭圆：，，。 两平行线距离 ，，。 数值比较： 时 ； 与 时均约 ， 时约 ，最大值为 。 答：B。 ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第14题　〔填空〕 18. 已知椭圆的右焦点为，经过坐标原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，设的中点为，的中点为，以线段为直径的圆经过点，则的离心率的取值范围________. 策略：中点直径圆过 O 即 OM⊥ON，得 A 在定圆 x²+y²=4 上，再由斜率约束卡 e ，。，，则 ，。 以 为直径的圆过 即 ：，得 。 联立椭圆（）： 与 解得 ，，需 。 。令 ：，即 ，（舍）或 。又 （）。 ，即 。 答：(√2/2, √(6−√30)]。 ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 19. 已知椭圆，直线过坐标原点并交椭圆于，两点（P在第一象限），点是轴正半轴上一点，其横坐标是点横坐标的倍，直线交椭圆于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为_________． 策略：BP 切圆即切于点 P，垂直条件化为参数 t_B 的等式，化简恰与 P 位置无关 圆以 为直径、圆心为 、半径 ， 在圆上。直线 过 ，与圆相切只能是切于 ，即 。 设 ，，。直线 方向 ，代入椭圆解得第二交点参数 ，。 ：，而 ，得 。 两式相等并交叉相乘，展开只剩 ，与 的位置无关，故 。 。 答：√6/3。 ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第16题　〔解答〕 20. 已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. （1）求C的方程； （2）是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 策略：先定方程；等腰梯形两种腰的搭配分别化简，一个退化一个成菱形 （1） 得 ，，，，。 （2），，直线 斜率 。设 （），代入得 ，交于两点需 。记 ，，。 搭配一（腰 与 ）：，得 ，此时 与 重合，舍。 搭配二（腰 与 ）：，得 （舍）或 即 。 时 ， 恰为 、 关于原点的对称点，四边形 四边均为 ，是菱形而非等腰梯形。 故不存在满足条件的直线 。 答：(1) x²/4+y²=1；(2) 不存在。 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第16题　〔解答〕 21. 已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点． （1）求的方程； （2）若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点． 策略：相切定 b；PA⊥PB 化为 m 的二次式，一根舍去一根得定点 （1），。与 相切：代入得 ， 化简得 ，，。 （2）以 为直径的圆过 即 ：。 设 ，代入得 ，，。 代入垂直条件化简：，。 时直线过 ，、 中一点即为 ，在坐标轴上，舍去；故 ，直线 恒过定点 。 答：(1) x²/4+y²=1；(2) 直线 AB 过定点 (6/5, 0)。 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第15题　〔解答〕 22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C相交于M，N两点，若的面积为2，求直线MN的方程． 策略：先定 a、c；焦点弦面积表为 k 的函数，得到完全平方 （1），，，。，，。 （2）设 ，代入得 ，，。 到直线距离 ，。 平方：，整理得 ，，。 直线 ：，即 或 。 答：(1) x²/4+y²=1；(2) x±√2y−√3=0。 ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第17题　〔解答〕 23. 设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围． 策略：|AF|=a−c 定焦，通径斜率关系定 a、b；中点弦的垂线截距逐段算 （1）；（通径端点）， 得 ，故 ，。。 （2）设 （），代入得 ， 得 。 中点 。垂线斜率 ：交 轴于 ，交 轴于 。 ，，。 令 ，，求导后分子 ， 单调递增。 （ 取不到），故取值范围为 。 答：(1) x²/36+y²/27=1；(2) (0, 144/25)。 ★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第16题　〔解答〕 24. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于A，B两点．是坐标原点，的面积是，求实数的值． 策略：基本量直接得方程；弦长乘距离列面积方程解 m （1），。 代入：，。。 （2） 代入得 ， 得 。 ，。 ，，， 或 。 或 （均在 内）。 答：(1) x²/4+y²=1；(2) m=1 或 2。 ★★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第17题　〔解答〕 25. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为．过E的右焦点的直线交E于A，B两点，过E的中心的直线交E于C，D两点． （1）求E的方程； （2）若，求直线AB的方程． 策略：向量平行定 CD 方向，直径弦长度与焦弦长度比较定 k （1），；，，。。 （2） 说明 。 过右焦点 ，设 （），代入得 ， 恒成立。 ； 为平行于 的中心弦，。 ：，即 ，平方得 。 ，，。 直线 ：。 答：(1) x²/2+y²=1；(2) y=±(√14/2)(x−1)。 （四）最值问题（2 题：单选 1 · 填空 1） ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第8题　〔单选〕 26. 已知椭圆左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 策略：△OMF₁ 面积 = |y_M|/2，圆上点最高不超过圆心加半径，归到 P 的三角函数最值 圆 以 为直径，圆心为 中点，半径 。， 面积 。 圆上点的纵坐标不超过圆心纵坐标加半径：。 设上半椭圆 ，，，最大值 在 取得。 ，面积最大值 。 答：A。 ★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 27. 已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 策略：|GH| ≥ |GC₀|−1 与 |GC₀|+|GF| ≥ |C₀F| 两个三角不等式串联，等号点都在线段 C₀F 上 圆 的圆心记 ，半径 。 在椭圆上：， 在圆外，故 ，等号当 在线段 与圆的交点处取得。 于是 。又 （三角不等式），，等号当 在线段 上时取得。 验证线段 与椭圆相交：其参数式为 ，，代入椭圆得 ，，交点 在椭圆上且在圆外（）。 两处等号同时实现： 取线段 与圆 的交点， 取线段 与椭圆的交点。故最小值为 。 答：√10−1。 （五）特殊技巧——光学性质与仿射变换（2 题：单选 2） ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第7题　〔单选〕 28. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 策略：光学性质定 M 在 F₁A 延长线上；把 F₂ 对称到射线 AF₁ 上，用距离差消元 由光学性质， 关于切线 的对称点 落在 的延长线上， 在 与 之间，，。 把 关于 对称为 ，则 也在射线 上，，且 。 与 同在射线上、，故 。 设 ，，。若 ， 得 ，舍；故 ：，解得 。 ，。 答：D。 ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第8题　〔单选〕 29. 已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为（ ） A. B. C. D. 策略：仿射化圆后，位似比为 -2，A、B 是单位圆与另一个圆的交点，直线即根轴 得 ， 满足 ，在椭圆内部。 作仿射变换 ，椭圆化为单位圆，。、 即 、，以 为中心 为比的位似把 映成 ，平行自动成立。 既要 ，又要 ； 同理。故 、 是单位圆与圆 的两个交点，直线 是两圆的根轴。 两圆方程相减：，即 。仿射不改变 轴截距。 在 上单调递增，取值范围 。 答：A。 第三部分　双曲线（共 42 题） （一）基本量与方程（9 题：单选 2 · 多选 2 · 填空 5） ★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第7题　〔单选〕 1. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，点P为右支上异于B的一点，过P作x轴的垂线，垂足为N，若的面积，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 策略：面积条件对任意 P 成立，约去 x 后化为 cb=√2a² 设 ，，。。 在右支：，代入：，即 。 两边平方：，。令 ：，（负根舍），。 。 答：B。 ★★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第8题　〔单选〕 2. 若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 策略：中线长公式给出 m² 与 n² 的关系，即双曲线方程 中线长公式：：，。 点 在 上，即 ，，，。 。 答：B。 ★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第9题　〔多选〕 3. 若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 策略：共轭双曲线：焦距与渐近线相同，实轴与离心率不同 的焦距 ， 的焦距也是 ，B 正确。 渐近线 ；：，相同，D 正确。 实轴长 与 ， 故不相等，A 错误；离心率 与 不同，C 错误。 答：BD。 ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第14题　〔填空〕 4. 已知双曲线的右焦点为是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，则的离心率为______． 策略：EF∥AD 定 x_A=c/2；∠AFE=120° 定 y²；代入双曲线得 e⁴−8e²+4=0 ，，。：，由 分量 ，得 ，。 ：，，，解得 。 代入双曲线：。令 ：，，，。 答：√3+1。 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第13题　〔填空〕 5. 函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______． 策略：旋转主轴：二次型特征值化 Y²/12−X²/4=1 即 。 二次型矩阵 的特征值 ，（常数项旋转不变）。 化简：，，，。 离心率 ，焦距 。 答：2√3/3；8。 ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第13题　〔填空〕 6. 已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 策略：对径点+垂直：x²+y²=c² 与斜率 √3 定 P，代入得标准方程 ，。：，。 ，，则 ，，。 代入双曲线：，得 ，。 答：√3+1。 ★★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第14题　〔填空〕 7. 已知双曲线：左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，且，则双曲线的离心率为________. 策略：Rt△APF 中 ∠A=30° 定 |AF|=2；P 坐标代入双曲线恰得 a=2/3 ，，直线 倾斜角 。，，。 ，，，。 ，。 代入 ：，解得 （此时 ），，。 答：2。 ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第13题　〔填空〕 8. 已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. 策略：x=c 处纵坐标 ±b²/a；|PQ|²=2|OP|² 化为 b²=ac 在双曲线上：，，。 。条件 ：，，。 ，，。 答：(1+√5)/2。 ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第11题　〔多选〕 9. 已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ） A. 的焦距为 B. 当轴时，与可能垂直 C. 当时，，的横坐标之和的取值集合为 D. 当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得 策略：A 焦距直接算；B 点积 2t+2 恒不为零；C 圆与双曲线联立三个横坐标；D 角度上确界 112.5°<120° A：，焦距 ，正确。 B： 轴：，，（）。为零需 ，此时 、 退化为 ，不可能，B 错误。 C：： 与 联立：，。、 可取同 （上下对称两点）或不同 ，横坐标之和的集合 ，正确。 D：取 ， 沿下支远离顶点时 单调增至渐近方向的上确界 ，取不到 ，D 错误。故 AC。 答：AC。 （二）焦点三角形、焦半径与通径——定义法（13 题：单选 7 · 多选 3 · 填空 3） ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第8题　〔单选〕 10. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为（ ） A. 24 B. 25 C. 48 D. 49 策略：A 在 y 轴上到两焦点等距，切线长 |AB| = a 直接定 a；通径三角形内切圆面积和在竖直弦处最小 设 ，（ 在右支，）。 在 轴上，。 中内切圆切 于 ：，而 ，故 。 由 得 ，，。 与 的内切圆半径 。直线 越陡 越小，竖直弦 时取最小（）。 此时 是直角三角形（两直角边 与 ），内切圆半径 ，两圆心 ，。 。 答：A。 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第7题　〔单选〕 11. 已知双曲线左､右焦点分别为，若过点的直线与圆相切于点与双曲线的右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B. C. D. 策略：切线长与向量倍数给出 |F₁Q|=a=|F₁P|/4，与切线几何 |F₁Q|=b 联立 与圆 切于 ，，。，。 在右支：，。 在 中 ；又 ，故 。 。 答：A。 ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第8题　〔单选〕 12. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 策略：向量方向定 F₁ 在 A、B 之间；焦点三角形余弦定 a，再由三点共线余弦互补定 c 说明 、、 依次共线，（记 ），。 为左焦点， 在 右侧近处属左支（）， 在 左侧远处属左支（）。 由 ，解得 。 三点共线的余弦互补：，即 ，化简 ，。 。 答：B。 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第8题　〔单选〕 13. 已知双曲线左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 策略：投影直角三角形定 cosφ=u/c，左右支定义各给一个方程，联立得 u=2a 设 ，（ 左支、 右支，、、 共线）。 在 上的射影为 ：。 由 在左支（）与坐标（，）：，得 。 由 在右支（）：，得 。 两式相减：，。代入 ，。 验证 ：，恰为 。 答：C。 ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第7题　〔单选〕 14. 已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 策略：焦点三角形：|p−q|=2a 与余弦定理变形联立出 pq，面积用两边夹角 ，（绝对值），故 。 直接用余弦定理：，而 ；又由定义 即 。 两式比较：。，，。 。 答：D。 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第7题　〔单选〕 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为 的直线与双曲线E的右支交于两点，若 则双曲线E的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 策略：|AB|=|AF₁| 化为 |BF₂|=2a，焦半径公式代入斜率条件 在弦 上：；右支定义 。由 得 。 右支焦半径 ，。 在双曲线上：；。 斜率 ：，展开 （）， 或 。 两值均使 （直线与右支交于两点），故 或 。 答：D。 ★★　南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第10题　〔多选〕 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是2 C. 面积是12 D. 的外接圆半径是 策略：通径三角形周长恒为 4a；斜率给 b²=3ac/2；两条件联立解出基本量后逐项核验 竖直通径：，，，。周长 。 斜率 ，即 。 代入周长：。由 得 ，即 。于是 ，，，。 B 项：实轴长 ，正确。C 项：面积 ，正确。 D 项：，外接圆半径 ，正确。A 项：渐近线 ，不是 ，错误。 答：BCD。 ★★　九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第11题　〔多选〕 17. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，且，过的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），与轴交于点为的中点，分别为内切圆的半径，则（ ） A. 的离心率为2 B. 与上点的距离的最小值为 C. D. 策略：|MF₂|=14 定斜率，|PF₂|=14 定点 P 在双曲线上解出 a；逐项用焦点三角形与中点弦验 在 轴上， 过 斜率 ：，，（ 在第一象限取正）。 ：。 在 上：，整理 ，（ 舍），，，A 正确。 B 项：， 上最近点为下顶点 ，最小距离 ，B 错误。 C 项： 为 与右支另一交点： 与 联立得 ，，中点 ，，，C 正确。 D 项：，，，D 正确。 答：ACD。 ★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第9题　〔多选〕 18. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于两点，则下列结论错误的有（ ） A. 的方程为 B. C. 的渐近线方程为 D. 当时，的面积为3 策略：e=√7/2 定 a=2,b²=3；焦点弦最小值为通径；渐近线斜率核对；|OP|=c 定 P 的纵坐标 ，，则 ，，，A 正确（非错误结论）。 B：过焦点的弦中以通径最短，，等号仅当 轴。故 一般不成立，B 是错误结论。 C：渐近线 ，即 化为 ，不是 ，C 是错误结论。 D： 即 ，与双曲线联立得 ，，面积 ，D 正确。故选错误的 BC。 答：BC。 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第13题　〔填空〕 19. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，满足，且的面积为，则双曲线的离心率为______. 策略：MF₁⊥MF₂ 定 x_M²+y_M²=c²；面积定 |y_M|；与上题同方程 面积 ，。 垂直：，，。 代入双曲线：，同上题得 ，。 答：√3+1。 ★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第13题　〔填空〕 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 策略：焦半径差定 a；中线公式（apollonius）定 c ，，，。 中 是中线：，，。 ，。 答：√6/2。 ★★★　铜陵市2026届高三下学期第一次质检 · 第5题　〔单选〕 21. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 策略：角平分线定理定 |PF₁|=4c；60° 余弦定理定 |PF₂|；右支焦半径差定 e 平分 ：，。 ，余弦定理：，。 在右支：，，。 验证：，代入 ： 精确成立。选 C。 答：C。 ★★★　佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第14题　〔填空〕 22. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 策略：λ>0 定 F₂ 在 AB 之间；排除单支与跨支构型后唯余同右支；(u−1)(v−1)=5 与极坐标联立；r=面积/半周长=2 （）：、、 共线且 在 、 之间。，，。 若 、 分属两支：（），， 化简得 ，矛盾，排除。 故 、 同在右支（过 的弦被 分成两段）：，，，，化简得 ，即 。 过 的弦（、 同在右支、分居 两侧）：半通径 ，，，故 ，。与 联立：，，，即 （此时 ，构型存在）。 于是 三边为 ，，（ 的直角三角形，验证 ）。内切圆半径 。 答：2。 （三）渐近线（11 题：单选 5 · 多选 2 · 填空 4） ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第7题　〔单选〕 23. 已知双曲线及（其中），与相交于A，B，C，D四点，与的两条渐近线相交于四点．若四边形ABCD与四边形相似，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 策略：两四边形都是矩形，相似比化简得 r⁶−2r²−1=0，根恰为黄金比 圆 与渐近线 的交点为 （因 ）， 是边长 的矩形。 双曲线与圆的交点：联立得 ，， 是边长 与 的矩形。 相似需 ，即 。令 ：，。 满足（）。。 答：A。 ★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第6题　〔单选〕 24. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 策略：渐近线与圆相切：圆心到渐近线距离等于半径，得 a²=3b² 渐近线 ，圆心 到它的距离 ，即 ，。 椭圆 的离心率 。 答：A。 ★★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第7题　〔单选〕 25. 已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（ ） A B. C. D. 策略：直线与右支只有一个交点即斜率不小于渐近线斜率 过右焦点的直线与右支有且仅有一个交点，当且仅当斜率不小于渐近线斜率：。 ，又 ，故 。 答：A。 ★★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第7题　〔单选〕 26. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 策略：渐近线与以 F₁F₂ 为直径的圆的交点恰为 (±a,±b)，垂直条件用斜率积 在渐近线 上，且 说明 在以 为直径的圆 上，联立得 。 取 ：，。：。 展开并把 代入：，。 。 答：C。 ★★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第8题　〔单选〕 27. 双曲线的对称中心为，焦点为，过的直线与的一条渐近线平行．若与以为圆心，为半径的圆相交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 策略：渐近线的平行线过左焦点，圆心距恰为 b，弦长公式解出 b 与 c 的比 过 平行于渐近线 ：， 到 的距离 。 圆半径 ，弦 。 两边平方：·，整理得 。 ，。 答：D。 ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第10题　〔多选〕 28. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线上，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 点到的两条渐近线的距离之积为定值 策略：渐近线与离心率互算；焦半径差定直角；距离积公式逐项验 A 项：，，渐近线 ，A 正确。 B 项：右支时 ，，，，，B 错误。 C 项：右支顶点处 为最小（左支处更大），C 正确。 D 项： 到两渐近线距离之积 ，D 正确。 答：ACD。 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第9题　〔多选〕 29. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且到双曲线渐近线的距离为2，则（ ） A. B. 若过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，则 C. 若为双曲线上一点，且，则或 D. 若第一象限的点在双曲线上，且，则点的坐标为 策略：F2 到渐近线距离 = b 定 b；通径、焦半径定义逐项验证；D 用垂直条件 x2+y2=c^2 解坐标 到渐近线 的距离 ，A 正确；此时 。 B：通径 ，正确。 C：。右支上 可取；但左支上 的最小值为 ，取不到，故 （且 ）不可能，C 错误。 D： 得 ，与 联立：，，（第一象限），D 正确。 答：ABD。 ★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 30. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 策略：渐近线 y=±x/m 与圆 (y−2)²+x²=1 相切：圆心到直线距离=1 圆 即 ，圆心 ，半径 。 渐近线 ，即 ，距离 ，，，。 答：√3/3。 ★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第13题　〔填空〕 31. 已知双曲线的离心率为的一条渐近线与圆交于两点，则__________． 策略：e=√3 定渐近线斜率 √2；圆心到渐近线距离+垂径定理 ，，渐近线 。 圆心 到 的距离 。 。 答：2√6/3。 ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第12题　〔填空〕 32. 已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为_______． 策略：焦点到渐近线距离恒为 b 焦点 到渐近线 的距离 。 ，，。 答：√5。 ★★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第14题　〔填空〕 33. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点．若的面积是的面积的3倍，则_____． 策略：面积比定斜率关系 |y_A|=(3/2)|y_B|；两种构型（渐浅/渐陡）算出的 |BD|/|AD| 相同 直线 交渐近线于 、，交 轴于 。 ，，条件即 。 设渐近线斜率 。取 、（ 在 、 之间）：与 交于 ，与 交于 （）。，由 解得 。 则 ，，，。 取 （两交点同在 左侧）重算：，，，比值仍为 ，与构型无关。 答：2/3。 （四）联立与韦达定理（6 题：单选 2 · 多选 1 · 填空 2 · 解答 1） ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第7题　〔单选〕 34. 等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 策略：等轴双曲线与外接圆联立出矩形，面积比约掉 a 等轴双曲线 与圆 联立：，。 四个交点构成矩形，边长 与 ，。 ，。 答：B。 ★★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第8题　〔单选〕 35. 已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 策略：垂直条件化成二次方程，已知一根 x=a（点 A），另一根大于 a 即可 ：（，）：，即 。 与双曲线 联立：。（点 ）恒为一根，另一根 。 存在需 ：，，即 ，。 ，。 答：B。 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第11题　〔多选〕 36. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为2 C. 面积的最小值为 D. 直线，的倾斜角之和为 策略：a=1 与距离积定 b；面积下界用根与系数；倾斜角和用斜率和与积 ，。 到两渐近线距离之积 ，，又 ，，。 A 项：渐近线 ，A 正确。B 项：，B 错误。 C 项：直线 （）与两支交于 、：，，，。 （续）， 时最小，，C 正确。 D 项：，，。且 、，和为 （ 时验证为 ），D 正确。 答：ACD。 ★★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第14题　〔填空〕 37. 已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，．若，则的离心率为________． 策略：设 c=1 化为 e 的方程：Δ=16(e²−1)²/e²；中垂线与准线交点距离算 |PQ| 设 ，直线 ，代入得 （两边同除 ）。 （ 时 、 同在右支）。 ；中点 ，中垂线斜率 ，交准线 于 ：。 ：，， 化简得 ，。 回代验证： 时 ，， 成立。 答：2√3/3。 ★★★　莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第14题　〔填空〕 38. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点.若，则的外接圆的半径为_____. 策略：|MN|=18 两种直线（k²=2 跨两支/k²=5 同右支），两种构型外接圆半径都是 9 ，，，，。设 ，代入得 ，。 ，得 或 。 情形一 （、 各在一支）：，，；，，。 情形二 （同在右支）：，，，。 两种情形外接圆半径都是 。 答：9。 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第15题　〔解答〕 39. 已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． （1）求双曲线的焦距； （2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 策略：等轴双曲线过定点定方程；倾斜角 120° 弦长 渐近线 ，。过 ：，，，，焦距 。 右焦点 ，倾斜角 ，斜率 。代入：，，。 。 答：2√2；4。 （五）点差法与中点弦（3 题：单选 1 · 多选 1 · 解答 1） ★★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第8题　〔单选〕 40. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 策略：以 M 为中点的弦存在性：M 需落在双曲线内部或外部两个区域，区间外中点弦不存在 记 。以 为中点的弦存在当且仅当 （两支间的弦）或 （同支弦； 时 在双曲线上，退化为切点）。 时不存在。 ：。不存在需 ，即 。 ，，故 （ 即 在渐近线上时 也取不到弦，含端点）。 。 答：C。 ★★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第11题　〔多选〕 41. 以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线过点，且两焦点为.若直线，分别与的两支交于两点，线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 若，则点在直线上 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则与的内切圆的半径之比为2或 策略：先定方程 x²−y²/8=1（唯一解）；中点用点差法；t=0 时中心弦；t=3 时过焦点用焦半径+内切圆半径公式 渐近线过 ：若焦点在 轴，代入验证无解；故 ，，过 ：，，，，A 正确；，，。 B： 时 ，代入得 ，中点 ，，，在 上而非 ，B 错误。 C： 时 过原点， 关于原点对称， 设 ，则 ，，代入 得 （ 且沿 取不到顶点），C 正确。 D： 时 过 ，设 、 在两支上，，，内切圆半径比 ，结合 、、 共线可证 （恒等式，由根与系数关系验证），比为 或 ，D 正确。 答：ACD。 ★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第17题　〔解答〕 42. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 策略：e=√2 定等轴双曲线；中点点差法+斜率相容，Δ>0 定范围 ，。过 ：，，。 点差法：、 在 上， 为中点，则 ；又 （过 ），得 ，即 。 支对应斜率 1 的弦 ，与 无交点，舍去；故 在 上。 直线 与 有两不同交点：（）。，： 给 ， 给 。 轨迹：（ 或 ）。 答：(1) x²/2−y²/2=1；(2) x+y=1（x<1/2 或 x>3/2）。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $