广东省湛江市第二中学2025-2026学年度八年级第一学期期末考试 数学试题

**基本信息** 以全运会纪念品、《蝶几图》等真实情境为载体，通过几何探究、代数推理等梯度设计，考查轴对称、分式方程等知识，体现应用意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形（几何直观）、科学记数法（数感）|基础概念辨析，结合生活标志| |填空题|5/15|《蝶几图》对称（空间观念）、分式方程解（运算能力）|文化传承与数学应用结合| |简答题（一）|3/21|整式化简求值（运算能力）、全等证明（推理意识）|基础技能巩固| |简答题（二）|3/27|全运会纪念品分式方程应用（模型意识）、因式分解探究（创新意识）|社会热点情境，问题分层| |简答题（三）|2/27|数形结合验证公式（数学思维）、坐标系几何综合（空间观念）|跨模块综合，逻辑推理|

2025-2026学年度第一学期八年级期末考试数学科试卷 数学试卷 （满分：120分 考试用时：120分钟 命题人：储呈吉 审题人：罗颖、汪洪丹） 一、选择题（每小题3分，共30分。} 1．（2018•东台市一模）在以下节水、回收、节能、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件可能是（    ） A． B． C． D． 7．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 9．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 10．已知的乘积项中不含和x项，则m，n的值分别为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．因式分解：)______． 12．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 13．若，，则________． 14．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=_____．    15．关于x的方程的解为正数，则a的取值范围为_____ ． 三、简答题（一）（每小题7分，共21分） 16．计算：． 17． 先化简，再求值：先化简，再求代数式的值，其中． 18．如图，，，．求证：； 四、简答题（二）（每小题9分，共27分） 19．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于年月日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比B型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． (1)求两种型号纪念品的单价分别是多少元； (2)若计划购买两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 20．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求式子的值． (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 21．数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． (1)求证：； (2)如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 五、简答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22．通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的 两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（    ） A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想   D．转化思想 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4） 如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为 ． 23．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称. (1)求△ABC的面积； (2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE； (3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明. 2025-2026学年度第一学期八年级期末考试数学科试卷 数学试卷参考答案 （满分：120分 考试用时：120分钟 命题人：储呈吉 审题人：罗颖、汪洪丹） 1、 选择题（每小题3分，共30分。} 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A C D C D D B 1．D 【详解】A，不是轴对称图形，故此选项错误；B，不是轴对称图形，故此选项错误；C，不是轴对称图形，故此选项错误；D，是轴对称图形，故此选项正确， 故选D． 2．C 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 按照科学记数法的表示方法，得到和即可． 【详解】解：在数字中，，， 故， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除运算法则． 分别根据二次根式的乘法，减法，加法，除法法则对每个选项进行分析判断． 【详解】A、根据二次根式乘法法则，则，该选项正确． B、根据二次根式减法法则， ，该选项错误． C、与不是同类二次根式，不能直接相加，即，该选项错误． D、，该选项错误． 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特征、代数式求值以及乘方运算等知识，解题的关键是熟记关于轴对称的点的特征．关于轴对称的点的特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此求出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， ∴． 故选：A． 5．C 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，多项式乘以多项式，幂的乘方和积的乘方求出每个式子的值，再得出选项即可． 【详解】解：A、a2和a3不能合并，故本选项不符合题意； B、a8÷a4=a4，故本选项不符合题意； C、（2a3）2-a•a5=4a6-a6=3a6，故本选项符合题意； D、（a-2）（a+3）=a2+a-6，故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，多项式乘以多项式，幂的乘方和积的乘方，能求出每个式子的值是解题的关键． 6．D 【分析】根据全等三角形的判定，利用、、即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，由可得，故A不符合题意； 当时，则，由可得，故B不符合题意； 当时，则，由可得，故C不符合题意； 当时，不能得出，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用． 7．C 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，    ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； 综上分析可知：这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 9．D 【分析】逐个分析选项的正确性，需要对每个选项所涉及的分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件是分母不为零、最简公分母的确定：确定几个分式的最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变；以及分式的正负性判断． 【详解】解：A、当时，分式有意义，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式与的最简公分母是，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式中，都扩大倍，分式的值扩大倍；故本选项说法错误，不符合题意； D、无论为何值，的值总为正数，说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式的基本性质以及分式值的正负性判断，解题的关键是熟知分式的特点与性质． 10．B 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．不含某一项就是说这一项的系数为0． 【详解】解：∵原式=x3+（m-3）x2+（n-3m）x-3n， 又∵乘积项中不含x2和x项， ∴（m-3）=0，（n-3m）=0， 解得，m=3，n=9． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同． 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．(1) 【分析】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式法分解因式是解题的关键． （1）先提取公因数，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1）原式； 12．且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握以上知识，正确列式求解是关键． 根据二次根式有意义的条件得，分式有意义的条件得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴且， 故答案为：且 ． 13．3 【分析】本题考查同底数幂除法，利用同底数幂的除法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 14． 【分析】由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解． 【详解】∵点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 15．且 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解．先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且，     解得，且． 故答案为：且． 3、 简答题（一）（每小题7分，共21分） 16．-； 【分析】根据绝对值、平方与负指数幂分别进行计算，再按有理数加减法法则运算即可得出结论 【详解】原式； 故答案为=)-； 【点睛】本题考查一元二次方程的解及实数的运算. 17．， 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18．见解析 【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线． （1）延长交于点F，则，可得，由，可得，根据证得两三角形全等即可完成解答； 【详解】（1）延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 4、 简答题（二）（每小题9分，共27分） 19．(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】（）根据“数量总价单价”，结合“型号数量是型号数量的倍”这一关键条件，列出分式方程求解； （）根据“总费用A型号单价数量型号单价数量”，结合“总费用不超过元”列出一元一次不等式，求解不等式得到的最大值． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元． （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴根据题意，得， 解得， ∴最多能购买个型号的纪念品． 【点睛】第（1）问解分式方程后，要检验所得解是否为原方程的解，且需符合实际意义；第（2）问设未知数时，要注意未知数的取值范围为正整数． 20．(1) (2) (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）分组，利用提公因式法分解，再求得，整体代入求解即可； （3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质即可求解. 【详解】（1）解：因式分解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， 原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． 21．(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5、 简答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（1）；A；（2）28；（3）；（4）6 【分析】本题考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式变形计算是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）设，，再用计算即可． （4）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：，A； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：28； 设，， 则，， ∵， 即， ∴． （4）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为9，的面积为3， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴（取正值）， 即． 故答案为：6． 23．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析. 【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解； (2) 过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°. (3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中, 即可得解. 【详解】解：（1）由已知条件得：        AC=12，OB=6     ∴ （2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H, ∵△BDE是等腰直角三角形， ∴DE=DB, ∠BDE=90°, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵EF轴， ∴ ∴DF=BO=AO,EF=OD ∴AF=EF ∴ ∴∠BAE＝90° （3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长， ∵，OA=6， ∴OM+ON=3 【点睛】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用，轴对称在最短路径问题中的应用，弄懂题意，作出合理的辅助线是解题的关键 第7页（/共4页） 第8页/（共10页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 学科网（北京）股份有限公司 $