精品解析：广州市天河区明珠教育集团 2025-2026学年上学期八年级期末联考数学问卷

明珠教育集团2025学年上学期期末联考 八年级数学问卷 （考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每个小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 使分式有意义的的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义，则分母不为零，即有，求解即可获得答案． 【详解】解：若分式有意义， 则有，解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件． 3. 如图，已知∠1=∠2，要得到≌还需要从下列条件中补选一个，补上不可能使其全等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】∵， ∴ A．根据，和AD=AD能推出△ABD≌△ACD（ASA），故本选项不符合题意； B．根据，AD=AD和能推出△ABD≌△ACD（AAS），故本选项不符合题意； C．根据，和AD=AD能推出△ABD≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意； D．根据，和AD=AD不能推出△ABD≌△ACD，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 4. 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，正确， 故A合题意． ∵，错误， ∴B不合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，不是同类项，无法计算，错误， ∴D不合题意． 故选：A． 6. 如图，在中，，，．则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD=3DC，BD=AC，BC=4DC，AC=2DC，据此即可一一判定． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故B不符合要求； ， 故C不符合要求； ， 故A符合要求； ， ， 故D不符合要求； 故选：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握此定理，应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边是解题的关键． 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 8. 已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率． 设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ； 故选A． 9. 如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 即． 故选：D． 10. 已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出ab的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：=， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数小于1时，n是负整数，等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解． 12. 中，，，则______． 【答案】60 【解析】 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 已知：，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，负整数幂，掌握同底数幂乘法的运算法则是解题关键，根据同底数幂乘法法则可得 ，把 代入求值即可． 【详解】解：由 ， 得 ， ∴ ， ∴故答案为：． 15. 已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键．分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果． 【详解】解：分两种情况： 当在的内部，如图1，连接 两腰的垂直平分线交于点P， ， ，， ，， ， ， ， ， ； 当在的外部，如图2，连接， 由题意得：， ，， ， ， ， ， ， 则等腰三角形的顶角为或， 故答案为：或． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，最短距离等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并能正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点，过点作，且，连接，设交于点，证明和全等得，，则，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点在同一条直线上时，为最小，此时，然后根据，，，则，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，设交于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点在同一条直线上时，为最小，即为最小， 当点在同一条直线上时，， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 当为最小时，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 18. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且x为整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 先利用分式的除法法则化简，再根据分式有意义的条件和三角形的三边关系确定的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ∴， ∴， ∵x为整数，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为，解答下列问题： （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点P，使最小，的坐标为（__ ，__ ）． 【答案】（1）图见解析， （2）0，0 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知： 【小问2详解】 如图，点即为所求，由图可知：， 故答案为：0，0 21. 如图，将一张长方形纸片分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形． （1）观察图形，代数式可因式分解为______； （2）图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含x，y的代数式表示，； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①，；②1 【解析】 【分析】（1）最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积，可推出，据此可得答案； （2）①阴影部分的面积等于三个长方形的面积之和，非阴影部分的面积等于三个正方形的面积之和，据此求解即可；②根据（2）①可得，则可推出，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积， ∴， ∴， ∴代数式可因式分解为； 【小问2详解】 解：①由题意得，，； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，中，，，请解决以下问题： （1）作出边的垂直平分线，分别交边、于点、，交的延长线于点；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：为等边三角形； （3）若，求的长． 【答案】（1）如图，直线即为所求： （2）证明：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）分别以点和点为圆心，以大于的长度为半径在线段两侧画弧，两组弧分别相交于两点，过这两个交点作直线，该直线就是边的垂直平分线，它与边交于点，与边交于点，与的延长线交于点； （2）由垂直平分得，结合直角三角形两锐角互余求出，依据有一个角为的等腰三角形是等边三角形即可证明； （3）连接，由垂直平分线性质得，推出平分，利用角平分线性质得，再推导得，在中由角性质得，最后由即可算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 23. 我市地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． （1）若相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机比1台甲型收割机能多收割20公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． （2）1台甲型收割机每天可以收割公顷地，1台乙型收割机每天可以收割公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①方案一所用时间是___________天； 方案二所用时间是___________天（用含、、的式子表示） ②请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 【答案】（1）甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和4．8公顷 （2）①， ； ②方案二所用时间少 理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴方案二所用时间少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，分式的加减． （1）设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷，根据时间相同列方程求解即可； （2）①设共用了t天，然后根据玉米试验田的面积为公顷列方程求解； ②用作差法比较即可． 【小问1详解】 解：设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷 则有： 解得． 检验，当时， ∴原分式方程的解为 乙型收割机：（公顷） 答：甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷． 【小问2详解】 解：①方案一所用时间是： 方案二：设共用了t天，由题意得， ， 解得． 故答案为：， ②略 24. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． （1）填空：① ；② ； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）①；②； （2） （3） 【解析】 【分析】（）按照定义及积的乘方计算即可； （）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，再代入要求的式子求解即可； （）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，个一组，从而可得答案． 【小问1详解】 解：（1）①原式， ②原式． 【小问2详解】 解：∵，是的共轭复数， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由条件可知：， 即， ∴， 解得：， ∴， ∵， 有个加数，， ∴，则， ∴． 25. 点为等边所在平面内一点，连接，，，且． （1）如图1，点在外部，若，，则的长为______（直接写出结果）； （2）P点在内部，连接． ①如图2，若，求的值； ②如图3，为边中点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②，理由如下： 如图，作，且，连接，， 则是等边三角形， ∴， 延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， 由①知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由①知， ∴， 即， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接，通过旋转构造等边三角形与全等三角形，求出、，由即可计算出的长； （2）①作且，连接、，先证为等边三角形，再证，转化对应角与边，算出、，利用直角三角形角性质得，结合求出比值； ②延长到点使，连接，由是中点证，转化边与角，结合①的结论得，证得，证明得，最后由、得出． 【小问1详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接， ∵是等边三角形， ∴，， 由旋转性质得：，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即、、三点共线， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，作，且，连接，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明珠教育集团2025学年上学期期末联考 八年级数学问卷 （考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每个小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 使分式有意义的的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，已知∠1=∠2，要得到≌还需要从下列条件中补选一个，补上不可能使其全等的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，．则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 8. 已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为_________． 12. 中，，，则______． 13. 因式分解：______． 14. 已知：，则的值为_____． 15. 已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为______． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 三、解答题（本大题共9题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程． 18. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且x为整数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为，解答下列问题： （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点P，使最小，的坐标为（__ ，__ ）． 21. 如图，将一张长方形纸片分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形． （1）观察图形，代数式可因式分解为______； （2）图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含x，y的代数式表示，； ②若，求的值． 22. 如图，中，，，请解决以下问题： （1）作出边的垂直平分线，分别交边、于点、，交的延长线于点；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：为等边三角形； （3）若，求的长． 23. 我市地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． （1）若相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机比1台甲型收割机能多收割20公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． （2）1台甲型收割机每天可以收割公顷地，1台乙型收割机每天可以收割公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①方案一所用时间是___________天； 方案二所用时间是___________天（用含、、的式子表示） ②请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 24. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． （1）填空：① ；② ； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 25. 点为等边所在平面内一点，连接，，，且． （1）如图1，点在外部，若，，则的长为______（直接写出结果）； （2）P点在内部，连接． ①如图2，若，求的值； ②如图3，为边中点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $