专题1.1 生活中的立体图形（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦生活中的立体图形，系统梳理常见立体图形分类（柱体、锥体、球体）、棱柱特征（n棱柱面/顶点/棱数量规律及欧拉公式）、点线面体关系（静态相交与动态生成）及平面图形旋转生成原理，构建从识别到规律再到应用的递进式学习支架。 资料以良渚玉勒、耀州窑瓷器等生活实物为情境，通过分层题型（基础实物识别、培优欧拉公式探究）培养几何直观与空间观念，用表格对比图形特征、动态原理解释烟花弧线等现象发展推理意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题1.1 生活中的立体图形 知识点1：常见立体图形及分类   1. 核心定义：各部分不都在同一平面内的几何图形为立体图形，均从生活实物抽象而来，核心分为柱体、锥体、球体三大类。   2. 基础分类与特征：柱体包含圆柱、棱柱；锥体包含圆锥、棱锥；球体为独立曲面立体图形，无棱、无顶点。   3. 多元分类标准：可按形状、围成面的曲直、有无顶点三种维度分类，是图形识别的核心依据。 图形类别 围成面特征 顶点特征 核心特点 棱柱 全部为平面，无曲面 有顶点 上下底面全等多边形，侧面为平行四边形（直棱柱为长方形） 圆柱 上下平面+侧面曲面 无顶点 上下底面为全等圆形，侧面光滑曲面 棱锥 全部为平面，无曲面 有公共顶点 底面为多边形，侧面为三角形 圆锥 底面平面+侧面曲面 有1个顶点 底面为圆形，侧面为曲面 球 全部为曲面 无顶点 中心对称、全方位曲面立体图形 知识点2：棱柱的专项特征与数量规律   1. 棱柱分类：按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；长方体、正方体均属于直四棱柱。   2. 直棱柱与斜棱柱区别：直棱柱侧面为长方形，侧棱垂直底面；斜棱柱侧面为平行四边形，本册教材仅研究直棱柱。   3. n棱柱通用数量关系（核心公式）：n棱柱有n+2个面、2n个顶点、3n条棱，满足欧拉公式：面数+顶点数-棱数=2。   4. 侧棱特征：所有棱柱的侧棱长全部相等，侧面个数与底面边数相等。 知识点3：点、线、面、体的关系   1. 图形构成：所有几何图形均由点、线、面构成，点无大小、线无粗细、面无厚薄。   2. 静态相交关系：线与线相交成点，面与面相交成线，体与体相交成面。   3. 动态生成关系：点动成线、线动成面、面动成体，是平面图形旋转成立体图形的核心原理。 知识点4：平面图形旋转生成立体图形   1. 基础旋转模型：长方形绕一边旋转形成圆柱，直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，半圆绕直径旋转形成球。   2. 组合旋转模型：组合平面图形旋转可形成圆柱与圆锥组合、双圆锥拼接等复合立体图形。   3. 核心规律：旋转轴为图形固定边，垂直于旋转轴的线段旋转形成圆形截面。 【基础必考题型】 【题型1】生活实物立体图形识别 1.核心知识点   常见立体图形的外观特征；生活实物与几何图形的抽象对应关系；柱体、锥体、球体基础区分。 2.解题方法技巧   ①观察实物轮廓，区分平面、曲面组成结构；   ②根据有无顶点、曲面快速判定图形类型；   ③结合生活常见物品模型，精准对应圆柱、棱柱、圆锥、球等图形。 【例题1】.（2026·四川达州·中考真题）下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】A 【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A选项符合． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见几何体判定求解即可； 【详解】解：A.是正方体； B.是球； C.是长方体； D.是圆柱体； 【变式题1-2】.（2026·陕西西安·三模）陕西耀州窑是宋代六大窑系之一，它以独特的剔刻花装饰、莹澈的青釉而著称，是北方青瓷烧造技术的集大成者．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列瓷器的形状最为接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，与给定的图形绕虚线旋转一周所得的几何体最为接近的是选项C的瓷器． 【变式题1-3】.（2026·吉林长春·一模）如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．球体 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：该作品里绘制了棱柱、棱锥、球体，没有圆锥． 【题型2】立体图形标准分类判定 1.核心知识点   立体图形三类分类标准；柱体、锥体、球体定义；曲面、平面图形区分规则。 2.解题方法技巧   ①审题明确分类依据（形状/曲直面/有无顶点）；   ②逐一对几何体特征筛查，不重复、不遗漏；   ③熟记分类特例，圆柱无顶点、棱柱全为平面等关键特征。 【例题2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东·期末）如图的图形属于棱柱的是______． 【答案】①②⑥ 【分析】本题考查了棱柱的定义． 根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱，即可作判断． 【详解】解：如图的图形属于棱柱的是：①②⑥． 故答案为：①②⑥． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）将下列立体图形适当分类，并说明理由： 长方体、正方体、三棱柱、四棱锥、球、圆柱、圆锥． 【答案】 常见分类方式及理由如下： 1. 按柱体、锥体、球体划分． （1）柱体：长方体、正方体、三棱柱、圆柱． （2）锥体：四棱锥、圆锥． （3）球体：球． 理由：长方体、正方体、三棱柱属于棱柱，与圆柱同属柱体；四棱锥属于棱锥，与圆锥同属锥体；球为独立的球体类别． 2. 按组成面是否含有曲面划分． （1）全由平面组成的立体图形：长方体、正方体、三棱柱、四棱锥． （2）含有曲面的立体图形：球、圆柱、圆锥． 理由：前者所有面均为平面；后者至少有一个面是曲面． 【分析】按几何体的特征进行分类即可． 【详解】略 【变式题2-3】.（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查常见立体图形的识别，掌握常见立体图形的特征是解题关键． 根据柱体、锥体、球的定义和特征对选项依次判断即可． 【详解】解：柱体：有两个互相平行且全等的底面，侧面为平行四边形或曲面． 图中正方体、长方体、六棱柱、五棱柱、三棱柱、圆柱，都符合柱体特征， 故柱体有：； 锥体：只有一个底面，顶部有一个顶点，侧面为三角形或曲面． 图中圆锥符合锥体特征， 故锥体有：； 球：只有一个曲面，没有顶点和棱． 图中球符合特征， 故球有：． 故答案为：，，． 【题型3】几何体构成元素辨析 1.核心知识点   立体图形的面、棱、顶点构成；平面与曲面的识别；简单组合几何体的组成结构。 2.解题方法技巧   ①分层数出几何体的面、棱、顶点数量，区分平面与曲面；   ②组合几何体拆分基础图形，逐一分析构成元素；   ③规避视觉误差，隐藏面、棱需完整统计。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列物体可以近似地看成是由什么几何体组成的? 【答案】 （1）长方体和圆柱；（2）圆柱和圆柱；（3）圆锥和圆柱；（4）棱柱和球 【详解】解：（1）上面是圆柱，下面是长方体； （2）上面是圆柱，下面也是圆柱； （3）上面是圆锥，下面是圆柱； （4）上面是球，下面是棱柱. 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【答案】 左1的图的物体类似于圆柱； 左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 右2的图的物体可看作由圆锥和圆柱构成； 右1的图类似于圆锥； 【分析】本题主要考查了对常见几何体的认识，通过观察题干的物体的形状特征，将其与圆柱、球、圆锥等几何体进行对应，即可作答． 【详解】解：观察左1的图中的物体，其上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征， ∴左1的图的物体类似于圆柱； 观察左2的图中的物体，主体部分是一个球体，下方有一个类似圆柱的部分， ∴左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 观察右2的图的物体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱， ∴该物体可看作由圆锥和圆柱构成； 观察右1的图的物体，有一个顶点，底面是一个圆形，侧面是一个曲面，符合圆锥的特征， ∴右1的图类似于圆锥； 【变式题3-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·全国·周测）如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 【答案】B 【分析】此题主要考查了认识几何体，关键是认识常见的几何体，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．根据常见的几何体的形状，观察粮仓外形图，分别分析其上下部分对应的常见几何体可得答案． 【详解】解：观察图片可知，粮仓的上半部分是一个有尖顶，侧面为曲面且从底面逐渐收缩到顶点的形状，这符合圆锥的特征，所以粮仓上半部分是圆锥； 粮仓的下半部分是一个上下底面为等大的圆形，侧面展开是一个长方形(曲面)的形状，这符合圆柱的特征，所以粮仓下半部分是圆柱； ∴一座粮仓，它可以看作是由圆锥和圆柱几何体组成的； 故选：B． 【题型4】点线面体动态现象辨析 1.核心知识点   点动成线、线动成面、面动成体的核心原理；生活现象的几何建模。 2.解题方法技巧   ①提取生活场景核心动作，判断运动主体（点/线/面）；   ②结合运动结果，匹配对应几何原理；   ③熟记经典案例，快速辨析传统文化、生活情境类题型。 【例题4】.（2026·江西南昌·一模）“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江西吉安·期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【答案】点动成线，线动成面 【分析】根据点、线、面的运动关系，将生活实物抽象为几何图形，结合点动成线、线动成面的性质分析即可． 【详解】解：枪尖可看作点，点运动形成线，因此“枪挑一条线”对应点动成线； 棍可看作线，线运动形成面，因此“棍扫一大片”对应线动成面． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理． 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键． 汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面． 【详解】解：汽车的雨刮器工作的时候，可用线动成面的数学知识来解释． 故选：B． 【题型5】平面图形旋转图形判定 1.核心知识点   面动成体原理；基础平面图形旋转规律；复合图形旋转立体图形识别。 2.解题方法技巧   ①找准旋转轴，明确固定边与旋转边；   ②根据平面图形形状，预判旋转后立体图形结构；   ③组合图形拆分分析，逐一判断旋转生成的几何体。 【例题5】.（26-27六年级上·上海松江·开学考试）将一个梯形以虚线为轴从右向左旋转一周（如图），得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：将以虚线为轴从右向左旋转一周，得到的图形是． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面动成体原理，判断各几何体能否由平面图形绕直线旋转一周得到，选出符合条件的选项． 【详解】解：正方体是由平面图形平移得到，不能由平面图形绕直线旋转一周得到，故A选项错误，不符合题意． 圆台可以由直角梯形绕垂直于底的腰所在直线旋转一周得到，故选项正确，符合题意． 三棱柱是由平面图形平移得到，不能由平面图形绕直线旋转一周得到，故C选项错误，不符合题意． 四棱锥不能由平面图形绕直线旋转一周得到，故D选项错误，不符合题意． 【变式题5-2】.（2026·内蒙古通辽·三模）如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过直角顶点B作于点D，根据直角三角形绕直角边所在的直线旋转得到圆锥即可判断． 【详解】解：过直角顶点B作于点D，如图， 则绕直线旋转一周后得到两个圆锥，且这两个圆锥共底面， 故得到选项D的几何体． 【变式题5-3】.（2026·陕西咸阳·模拟预测）将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可． 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． 【培优高频题型】 【题型6】棱柱数量关系计算 1.核心知识点   n棱柱面、顶点、棱的数量公式；欧拉公式应用；直棱柱基础特征。 2.解题方法技巧   ①根据已知面数、顶点数、棱数，反向判断棱柱类型；   ②套用n棱柱通用公式，快速计算未知数量；   ③利用欧拉公式验证计算结果，确保答案准确。 【例题6】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 【变式题6-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）请完成下表： 棱柱 面的个数 顶点的个数 棱的条数 三棱柱 四棱柱 表中填空为_____、______ 、______ 、_____ 、______ 、______ 【答案】 5 6 9 6 8 12 【详解】解：∵三棱柱有两个底面和三个侧面，每个底面有3个顶点，每个底面有3条边，还有3条侧棱， ∴三棱柱的面的个数为个，顶点个数为个，棱的条数为条． ∵四棱柱有两个底面和四个侧面，每个底面有4个顶点，每个底面有4条边，还有4条侧棱， ∴四棱柱的面的个数为个，顶点个数为个，棱的条数为条． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）五棱柱、六棱柱各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？ 【答案】五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点；六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点． 【分析】对于棱柱，面数为，棱数为，顶点数为． 【详解】解：五棱柱，，面数，棱数，顶点数； 六棱柱，，面数，棱数，顶点数． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南平顶山·期末）一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【答案】D 【分析】本题考查直棱柱的棱数与顶点数的关系．先利用直棱柱棱数公式求出底面边数，再根据顶点数公式计算顶点数即可． 【详解】解：∵直棱柱的总棱数底面多边形的边数， 设底面多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵直棱柱的顶点数底面多边形的边数， ∴顶点数， 故选：D． 【题型7】棱柱侧面积与棱长综合计算 1.核心知识点   直棱柱侧面特征；侧棱长相等性质；棱柱侧面积计算方法。 2.解题方法技巧   ①确定棱柱类型，明确侧面个数与底面边长；   ②侧面积=底面边长×侧棱长×侧面个数；   ③所有棱长和=侧棱总长+上下底面棱长总长。 【例题7】.（24-25六年级上·山东烟台·期中）一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是_________厘米 ． 【答案】 【分析】根据直棱柱的棱数与侧棱数的关系，确定该直棱柱的侧棱数量，再由所有侧棱长的和计算每条侧棱的长度． 【详解】解：根据n棱柱的棱数性质，可得n棱柱共有条棱， 该直棱柱共有条棱， ， 解得，即该直棱柱为六棱柱，共有条侧棱， 所有侧棱长的和是厘米， 每条侧棱长为（厘米）． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】A 【详解】解：由图可得，两个立体图形的棱数分别是12和6， ∴两个立体图形的棱数之差为． 【变式题7-2】.（25-26六年级上·山东威海·期末）一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查棱柱的顶点数与侧棱数的关系，熟练掌握“棱柱顶点数底面边数，侧棱数=底面边数”是解题关键．先通过顶点数求出侧棱条数，再计算每条侧棱的长度． 【详解】解：由题意得，该棱柱的侧棱数为 ∴每条侧棱的长， 故选：C． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等． 根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【详解】解：∵八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， ∴每条侧棱的长为． 故选：C． 【题型8】多面体欧拉公式规律探究 1.核心知识点   多面体顶点、面、棱数量关系；欧拉公式拓展应用；规律归纳推理素养。 2.解题方法技巧   ①统计简单多面体的V、F、E数值，归纳通用规律；   ②代入欧拉公式列等式，求解未知量；   ③适用于所有平面多面体，规避曲面几何体误用公式。 【例题8】.（25-26六年级下·全国·单元复习）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【答案】 （1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 ； （2）五； （3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【答案】(1)4；4；6；6；6；10 (2)11；11；20；；； (3)； 【分析】考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识． （1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可； （2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可； ②根据n棱锥的特征填写即可； （3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系； ②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系． 【详解】（1）解：观察与发现：三棱锥中，，，； 五棱锥中，，，； 故答案为：4；4；6；6；6；10； （2）解：猜想：①十棱锥中，，，； ②n棱锥中，，，； 故答案为：11；11；20；；；； （3）解：探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：． 故答案为：；． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图，观察下列几何体并回答问题： (1)n棱柱有__________个面、__________条棱、__________个顶点，n棱锥有__________个面、__________条棱、__________个顶点； (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E之间存在着一定的数量关系． ①继续观察如图所示多面体，并把表格填写完整： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 图② 图③ ②分析表格中的数据，你能发现F、V、E三者之间有何关系 ． 【答案】(1) (2) ①列表如下： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 ② 【分析】本题主要考查了棱柱和棱锥， 对于（1），根据棱柱的面数比侧面数多2，棱数是侧面数的3倍，顶点数是侧面数的2倍；再根据棱锥的面数比侧面多1，棱数是侧面数的2倍，顶点数比侧面数多1，可解答； 对于（2），分别数出面数，顶点数，棱数，可解答①，再根据三个数的关系解答②. 【详解】（1）解：n棱柱有个面，条棱，个顶点，n棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：；；；；；； （2）解①：图①的面数为7个，顶点数为9个，棱数为14条； 图②的面数为6个，顶点数为8个，棱数为12条； 图③的面数为7个，顶点数为10个，棱数为15条； ②表格中的数据，你能发现F，V，E三者之间的关系为：. 故答案为：. 【变式题8-3】.（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 易错点 1、混淆圆柱与棱柱、圆锥与棱锥的特征，误将含曲面的图形归为纯平面几何体。 2、记错n棱柱数量公式，混淆面数、顶点数、棱数的对应关系，误用欧拉公式计算曲面几何体。 3、无法区分点动成线、线动成面、面动成体三种动态原理，对生活情境几何现象判断错误。 4、平面图形旋转题型漏解，未考虑不同旋转轴对应的不同立体图形，缺少分类讨论。 5、统计几何体面、棱、顶点数量时，遗漏隐藏结构，导致计数结果错误。 重点 1、熟练掌握五类基础立体图形的核心特征，能依据不同标准完成几何体分类与识别。 2、熟记n棱柱数量规律与欧拉公式，精准完成棱柱计数、棱长、侧面积相关计算。 3、掌握点、线、面、体静态相交与动态生成关系，能解释生活、传统文化中的几何现象。 4、熟练判断平面图形旋转生成的立体图形，掌握基础旋转模型与复合旋转模型规律。 难点 1、立体图形空间想象能力，精准分析组合几何体结构、多角度旋转生成的复杂图形。 2、欧拉公式、棱柱数量规律的综合探究应用，解决规律归纳、开放探究类题型。 3、跨学科情境、创新开放题型的几何建模，提炼核心条件，结合知识点推理解题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是柱体，不符合题意； B、是锥体，不符合题意； C、是球体，符合题意； D、是锥体，不符合题意． 2．下面各图中，以虚线为轴旋转，可以得到圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面动成体的原理，判断各选项图形绕轴旋转后形成的立体图形，依据直角三角形绕一条直角边旋转一周得到圆锥的性质，筛选出符合条件的 选项． 【详解】解：A、该直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的是圆锥，符合要求； B、该直角梯形绕直线旋转一周，得到的是圆台，不符合要求； C、该长方形绕直线旋转一周，得到的是圆柱，不符合要求； D、该图形绕直线旋转一周，得到的立体图形不是圆锥，不符合要求． 3．下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可． 【详解】解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面，故选B． 二、填空题 4．下面图形中为圆柱的是________．（只填序号） 【答案】④ 【分析】圆柱的上下底面是完全相同的2个圆，侧面是曲面，且从上到下一样粗． 【详解】解：观察图形可知：图形①的上下底面不平行，不是圆柱； 图形②是四棱柱，不是圆柱； 图形③的上下底面大小不相等，是圆台，不是圆柱； 图形④的上下底面是大小相等的圆，且互相平行，侧面是曲面，是圆柱． 5．流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面之间的关系，将流星视为一个点，其运动轨迹形成一条线，根据点、线、面、体的关系，点移动生成线，因此用“点动成线”解释． 【详解】解：流星在夜空中可抽象为一个点，当点移动时，其轨迹形成一条连续的线，即光带，这符合几何中点动成线的原理． 故答案为：点动成线． 6．已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 【答案】12 【分析】本题考查几何体的点，线，面，根据棱柱的结构特征，总面数等于侧面数加2，由此求出底面边数，再应用棱柱的棱数公式求解即可． 【详解】解：设棱柱的底面边数为n，则总面数为．由题意，，解得． 棱柱的总棱数为． 故答案为：12 三、解答题 7．下列哪些几何体可以由平面图形绕一条直线旋转一周得到? 【答案】（1）（3）（4） 【分析】由“面动成体”逐项进行判断即可． 【详解】解：由“面动成体”可得， （1）的几何体能由平面图形绕其中一条直线旋转一周得到， （2）的几何体不能由平面图形绕其中一条直线旋转一周得到， （3）的几何体能由平面图形绕其中一条直线旋转一周得到， （4）的几何体能由平面图形绕其中一条直线旋转一周得到. 8．如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】（1）旋转得到的几何体为圆锥； （2）以直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的圆锥底面圆半径为，高为，然后根据圆锥的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：将这个直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的几何体为圆锥； （2）解：由题意得，得到的圆锥底面圆半径为，高为， ， 答：这个几何体的体积为． 9．如图是一张长，宽的长方形纸片，将此长方形纸片绕其长边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)得到的这个几何体的名称是_________，这一过程体现了_________（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2) 【分析】本题主要考查了求几何体的体积，面动成体，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）根据题意可得所得圆柱的底面圆的半径为，高为，据此根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，所得的几何体是圆柱，这一过程体现了面动成体； （2）解：， ∴得到的这个几何体的体积为． 10．如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是______； (2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 【答案】(1)圆柱 (2)①6，， ②先增大，后减小 ③ 【分析】本题考查了点、线、面、体、因式分解、配方法求最值，熟练掌握圆柱的体积公式解题的关键． （1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； （2）①根据，计算即可； ②列出表格分析数据的变化情况； ③表示出，结合配方法解题即可． 【详解】（1）解：根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； 故答案为：圆柱； （2）解：①当时，， 解得， ∴； 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 故答案为：6，，； ②， 表格补全如下： 1 2 3 4 5 可以发现，当逐渐增大时，先增大，后减小； 故答案为：先增大，后减小； ③ 则当时，有最大值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 生活中的立体图形 知识点1：常见立体图形及分类   1. 核心定义：各部分不都在同一平面内的几何图形为立体图形，均从生活实物抽象而来，核心分为柱体、锥体、球体三大类。   2. 基础分类与特征：柱体包含圆柱、棱柱；锥体包含圆锥、棱锥；球体为独立曲面立体图形，无棱、无顶点。   3. 多元分类标准：可按形状、围成面的曲直、有无顶点三种维度分类，是图形识别的核心依据。 图形类别 围成面特征 顶点特征 核心特点 棱柱 全部为平面，无曲面 有顶点 上下底面全等多边形，侧面为平行四边形（直棱柱为长方形） 圆柱 上下平面+侧面曲面 无顶点 上下底面为全等圆形，侧面光滑曲面 棱锥 全部为平面，无曲面 有公共顶点 底面为多边形，侧面为三角形 圆锥 底面平面+侧面曲面 有1个顶点 底面为圆形，侧面为曲面 球 全部为曲面 无顶点 中心对称、全方位曲面立体图形 知识点2：棱柱的专项特征与数量规律   1. 棱柱分类：按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；长方体、正方体均属于直四棱柱。   2. 直棱柱与斜棱柱区别：直棱柱侧面为长方形，侧棱垂直底面；斜棱柱侧面为平行四边形，本册教材仅研究直棱柱。   3. n棱柱通用数量关系（核心公式）：n棱柱有n+2个面、2n个顶点、3n条棱，满足欧拉公式：面数+顶点数-棱数=2。   4. 侧棱特征：所有棱柱的侧棱长全部相等，侧面个数与底面边数相等。 知识点3：点、线、面、体的关系   1. 图形构成：所有几何图形均由点、线、面构成，点无大小、线无粗细、面无厚薄。   2. 静态相交关系：线与线相交成点，面与面相交成线，体与体相交成面。   3. 动态生成关系：点动成线、线动成面、面动成体，是平面图形旋转成立体图形的核心原理。 知识点4：平面图形旋转生成立体图形   1. 基础旋转模型：长方形绕一边旋转形成圆柱，直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，半圆绕直径旋转形成球。   2. 组合旋转模型：组合平面图形旋转可形成圆柱与圆锥组合、双圆锥拼接等复合立体图形。   3. 核心规律：旋转轴为图形固定边，垂直于旋转轴的线段旋转形成圆形截面。 【基础必考题型】 【题型1】生活实物立体图形识别 1.核心知识点   常见立体图形的外观特征；生活实物与几何图形的抽象对应关系；柱体、锥体、球体基础区分。 2.解题方法技巧   ①观察实物轮廓，区分平面、曲面组成结构；   ②根据有无顶点、曲面快速判定图形类型；   ③结合生活常见物品模型，精准对应圆柱、棱柱、圆锥、球等图形。 【例题1】.（2026·四川达州·中考真题）下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·陕西西安·三模）陕西耀州窑是宋代六大窑系之一，它以独特的剔刻花装饰、莹澈的青釉而著称，是北方青瓷烧造技术的集大成者．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列瓷器的形状最为接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2026·吉林长春·一模）如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．球体 D．圆锥 【题型2】立体图形标准分类判定 1.核心知识点   立体图形三类分类标准；柱体、锥体、球体定义；曲面、平面图形区分规则。 2.解题方法技巧   ①审题明确分类依据（形状/曲直面/有无顶点）；   ②逐一对几何体特征筛查，不重复、不遗漏；   ③熟记分类特例，圆柱无顶点、棱柱全为平面等关键特征。 【例题2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东·期末）如图的图形属于棱柱的是______． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）将下列立体图形适当分类，并说明理由： 长方体、正方体、三棱柱、四棱锥、球、圆柱、圆锥． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【题型3】几何体构成元素辨析 1.核心知识点   立体图形的面、棱、顶点构成；平面与曲面的识别；简单组合几何体的组成结构。 2.解题方法技巧   ①分层数出几何体的面、棱、顶点数量，区分平面与曲面；   ②组合几何体拆分基础图形，逐一分析构成元素；   ③规避视觉误差，隐藏面、棱需完整统计。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列物体可以近似地看成是由什么几何体组成的? 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·全国·周测）如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 【题型4】点线面体动态现象辨析 1.核心知识点   点动成线、线动成面、面动成体的核心原理；生活现象的几何建模。 2.解题方法技巧   ①提取生活场景核心动作，判断运动主体（点/线/面）；   ②结合运动结果，匹配对应几何原理；   ③熟记经典案例，快速辨析传统文化、生活情境类题型。 【例题4】.（2026·江西南昌·一模）“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江西吉安·期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【变式题4-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【题型5】平面图形旋转图形判定 1.核心知识点   面动成体原理；基础平面图形旋转规律；复合图形旋转立体图形识别。 2.解题方法技巧   ①找准旋转轴，明确固定边与旋转边；   ②根据平面图形形状，预判旋转后立体图形结构；   ③组合图形拆分分析，逐一判断旋转生成的几何体。 【例题5】.（26-27六年级上·上海松江·开学考试）将一个梯形以虚线为轴从右向左旋转一周（如图），得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026·内蒙古通辽·三模）如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（2026·陕西咸阳·模拟预测）将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型6】棱柱数量关系计算 1.核心知识点   n棱柱面、顶点、棱的数量公式；欧拉公式应用；直棱柱基础特征。 2.解题方法技巧   ①根据已知面数、顶点数、棱数，反向判断棱柱类型；   ②套用n棱柱通用公式，快速计算未知数量；   ③利用欧拉公式验证计算结果，确保答案准确。 【例题6】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【变式题6-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）请完成下表： 棱柱 面的个数 顶点的个数 棱的条数 三棱柱 四棱柱 表中填空为_____、______ 、______ 、_____ 、______ 、______ 【变式题6-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）五棱柱、六棱柱各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？ 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南平顶山·期末）一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【题型7】棱柱侧面积与棱长综合计算 1.核心知识点   直棱柱侧面特征；侧棱长相等性质；棱柱侧面积计算方法。 2.解题方法技巧   ①确定棱柱类型，明确侧面个数与底面边长；   ②侧面积=底面边长×侧棱长×侧面个数；   ③所有棱长和=侧棱总长+上下底面棱长总长。 【例题7】.（24-25六年级上·山东烟台·期中）一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是_________厘米 ． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式题7-2】.（25-26六年级上·山东威海·期末）一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【题型8】多面体欧拉公式规律探究 1.核心知识点   多面体顶点、面、棱数量关系；欧拉公式拓展应用；规律归纳推理素养。 2.解题方法技巧   ①统计简单多面体的V、F、E数值，归纳通用规律；   ②代入欧拉公式列等式，求解未知量；   ③适用于所有平面多面体，规避曲面几何体误用公式。 【例题8】.（25-26六年级下·全国·单元复习）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【变式题8-1】.（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图，观察下列几何体并回答问题： (1)n棱柱有__________个面、__________条棱、__________个顶点，n棱锥有__________个面、__________条棱、__________个顶点； (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E之间存在着一定的数量关系． ①继续观察如图所示多面体，并把表格填写完整： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 图② 图③ ②分析表格中的数据，你能发现F、V、E三者之间有何关系 ． 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 【变式题8-3】.（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 易错点 1、混淆圆柱与棱柱、圆锥与棱锥的特征，误将含曲面的图形归为纯平面几何体。 2、记错n棱柱数量公式，混淆面数、顶点数、棱数的对应关系，误用欧拉公式计算曲面几何体。 3、无法区分点动成线、线动成面、面动成体三种动态原理，对生活情境几何现象判断错误。 4、平面图形旋转题型漏解，未考虑不同旋转轴对应的不同立体图形，缺少分类讨论。 5、统计几何体面、棱、顶点数量时，遗漏隐藏结构，导致计数结果错误。 重点 1、熟练掌握五类基础立体图形的核心特征，能依据不同标准完成几何体分类与识别。 2、熟记n棱柱数量规律与欧拉公式，精准完成棱柱计数、棱长、侧面积相关计算。 3、掌握点、线、面、体静态相交与动态生成关系，能解释生活、传统文化中的几何现象。 4、熟练判断平面图形旋转生成的立体图形，掌握基础旋转模型与复合旋转模型规律。 难点 1、立体图形空间想象能力，精准分析组合几何体结构、多角度旋转生成的复杂图形。 2、欧拉公式、棱柱数量规律的综合探究应用，解决规律归纳、开放探究类题型。 3、跨学科情境、创新开放题型的几何建模，提炼核心条件，结合知识点推理解题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 2．下面各图中，以虚线为轴旋转，可以得到圆锥的是（     ） A． B． C． D． 3．下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．下面图形中为圆柱的是________．（只填序号） 5．流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 6．已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 三、解答题 7．下列哪些几何体可以由平面图形绕一条直线旋转一周得到? 8．如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 9．如图是一张长，宽的长方形纸片，将此长方形纸片绕其长边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)得到的这个几何体的名称是_________，这一过程体现了_________（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 10．如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是______； (2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 1 2 3 4 5 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $