专题02 从立体图形到平面图形重难点题型专训（2个知识点+11大题型+自我检测）-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“从立体图形到平面图形”，核心知识点涵盖三视图（主视图、左视图、俯视图的概念及画法规则）和图形的展开与折叠（正方体等几何体展开图、相对面判断），构建从空间观察到平面展开的认知支架，帮助学生建立空间观念。 资料特色在于11大基础题型与提高题型分层设计，结合生活实例（如粽子礼盒展开图、七巧板拼图），通过例题与即时训练培养几何直观和空间观念（数学眼光），提升推理与运算能力（数学思维），增强应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

专题02 从立体图形到平面图形重难点题型专训（2个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、从不同方向看几何体 1 题型二、几何体展开图的认识 2 题型三、由展开图计算几何体的表面积 3 题型四、由展开图计算几何体的体积 4 题型五、正方体几种展开图的识别 5 题型六、正方体相对两面上的字 6 题型七、含图案的正方体的展开图 7 题型八、补一个面使图形围成正方体 8 题型九、截一个几何体 9 题型十、平面图形形状的识别 10 题型十一、用七巧板拼图形 11 第二部分·练提高题型 题型一、几何体展开图计算表面积、体积 1 第三部分・自我检测 知识点01 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）用五个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，从正面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从不同方位看几何体，具备较强的空间想象能力是解题的关键． 直接从正面看到的形状图即可解答． 【详解】 解：用五个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，从正面看到的形状图是． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·周测）由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示．若最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图还原立体图形，看懂三视图是解题的关键．观察所给几何体的两个视图，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数是个；从主视图可以看出该几何体的层数为，中间一层至少个，最多为个小正方体；最上面至少个，最多为个小正方体，据此解答即可. 【详解】解：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数为，从主视图可以看出每一层小正方体的层数为层和中间一层为个到个，最上面为个到个， ∴堆成这个几何体最少需要：（个）小正方体， 最多需要：（个）小正方体， 即，，所以． 故答案为：． 知识点02 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·天津河西·期末）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键． 利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可． 【详解】解：A．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； B．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； C．可以作为一个正方体的展开图，符合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东济南·期末）把如图折叠成一个正方体的盒子，折叠后与“拓”相对的字是___． 【答案】视 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， 折叠后与“拓”字相对的面上的汉字是“视”． 故答案为：视． 【基础题型一 从不同方向看几何体】 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）下列几何体中，从正面看到的图形为三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，根据所给几何体的特点逐项判断即可． 【详解】解：A．从正面看得到的平面图形是长方形，不合题意； B．从正面看到的平面图形是长方形，不合题意； C．从正面看到的平面图形是圆形，不合题意； D．从正面看到的平面图形是三角形，符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）添一个小正方体，要使图中从左面看到的形状不变，有______种不同的摆法． 【答案】4 【分析】可以摆在第1行的小正方体的两侧，也可以摆在第2行的左右两侧，据此即可解答． 【详解】解：添加一个小正方体，使它从左面看不变，可以摆在第1行的小正方体的两侧，也可以摆在第2行的左右两侧，共有4种摆法． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面几何体（   ）符合要求． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是学生的观察能力和空间想象能力．分别根据从正面看、从左面看和从上面看的图形逐个分析即可． 【详解】解：符合从正面看的几何体有选项B、C， 选项B、C中符合从上面看的几何体只有B，且选项B符合从左面看的图形， 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，桌面上的模型由个棱长为的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为_____．    【答案】 【分析】本题考查了几何体的表面积，涂上涂料部分的总面积就是从物体各个面看到的物体的各个面的面积总和，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：从正面、上面，后面，左面，右面看都有个正方形，则共有个正方形， ∵每个正方形的面积为， ∴涂上涂料部分的总面积为， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)①2；② 【分析】（1）根据从三个方向看到的图形形状进行画图即可； （2）①根据图形形状进行解答即可； ②根据添加情况画图即可． 【详解】（1）略 （2）解：①可以从前排左一或左三处再摆放一个相同的小正方体，能保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，故添加小正方体的方法共有2种； ②略 【基础题型二 几何体展开图的认识】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 【答案】A 【分析】根据展开图的面数和形状判断几何体类型，观察图形知，侧面由3个三角形组成，符合三棱锥的特征． 【详解】解：观察图形可知， 该几何体的侧面由共用一个顶点的3个三角形组成，符合三棱锥的特征， ∴该几何体是三棱锥． 【例2】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）下面是几个立体图形的表面展开图，请依次写出这些立体图形的名字____． （1）；（2）；（3）；（4）； 【答案】（1）三棱柱；（2）圆柱；（3）六棱柱；（4）圆锥 【分析】此题主要考查了几何体展开图，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．根据图形展开图的形状，逐一判断即可． 【详解】解：（1）这个立体图形为三棱柱； （2）这个立体图形为圆柱； （3）这个立体图形为六棱柱； （4）这个立体图形为圆锥． 故答案为：（1）三棱柱；（2）圆柱；（3）六棱柱；（4）圆锥． 1．（2025·江苏南京·二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为________； 【答案】3 【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据长方体展开图的特点求出展开图的对应边长，再结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，在展开图中标出对应的点， 则，， 那么，三角形的面积为， 故答案为：3． 3．（25-26七年级上·山西长治·期末）项目学习 项目背景： 元旦期间，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体礼物盒．设计组设计了如图1的一款有双层上盖的正方体礼物盒（上盖纸板总面积刚好等于底面面积的2倍），如图2是对应的展开图（不考虑接缝）设计稿． 驱动任务： 任务一：制作一个该正方体礼物盒至少需要______的纸板．（不考虑损耗） 任务二：材料组准备如图3类型的卡纸，规格：．该卡纸最多可以剪出______个如图2的礼物盒的展开图，请你在图3的卡纸上画出裁剪方案（只画展开图外轮廓即可）． 【答案】任务一：700   任务二：5 裁剪方案如图（方案不唯一）， 【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． 任务一：根据正方体的表面积公式，结合上盖纸板总面积刚好等于底面面积的2倍，列式计算即可； 任务二：用卡纸的总面积除以一个正方体礼物盒的表面积即可得到最多可以裁剪的个数，再根据图2的轮廓裁剪即可． 【详解】解：任务一： 故答案为：； 任务二：，则最多可以裁剪出个如图2的礼物盒的展开图， 裁剪方案略． 【基础题型三 由展开图计算几何体的表面积】 【例1】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的（　　） A．体积 B．表面积 C．侧面积 D．容积 【答案】C 【分析】根据压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的侧面积，进行解答即可． 【详解】解：压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的侧面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何体的有关知识，解题关键是理解圆柱侧面积的计算方法． 【例2】 （25-26七年级上·江西南昌·期末）如图是一个长方体的表面展开图，则这个长方体的表面积是______．    【答案】 【分析】根据展开图把它还原成立体图形，可以看出长方体的长为，宽和高均为，再根长方体的表面积公式（ ）， 算出答案． 【详解】解：由题意可知，该长方体的长为，宽和高均为，故表面积为： 故答案为：． 【点睛】本题考查长方体的展开图和表面积公式，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键。 1．（2026七年级·全国·模拟预测）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是，，，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为_____．    【答案】104 【分析】打孔后的长方体的表面积原来长方体的表面积6个正方形的面积24个矩形的面积． 【详解】解：打孔后的长方体的表面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识． 3．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． (2)如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】(1)D (2)D (3) 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，即“相间、Z形是对面”进行判断即可； （2）根据各个面之间的相邻、相对关系进行判断即可； （3）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由长方体表面展开图的“相间、Z形是对面”可知，“B”与“D”是对面，如果面B在长方体的上面，那么下面是D， 故答案为：D； （2）解：从上面看是面E，从前面看是C，那么右面是D； 故答案为：D； （3）解：由题意得，长方体的长为宽为，高为，所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． 【基础题型四 由展开图计算几何体的体积】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）一个正方体棱长是1米，最多能锯成（    ）个棱长为1分米的小正方体 A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】C 【分析】根据正方体的体积公式：，把数据代入公式分别求出棱长1米分米、棱长1分米的正方体的体积，然后用棱长10分米的正方体的体积除以棱长1分米的正方体的体积即可． 【详解】解：（个）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 【例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）阿基米德在_____上也有着极为光辉灿烂的成就，比如：他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍，又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，这个定理就刻在他的墓碑上． 【答案】数学 【分析】根据题中涉及的球的表面积、内接最大圆面积、圆柱内切球体的体积、圆柱体积这些词即可判断． 【详解】解：因为球的表面积是其内接最大圆面积的四倍,又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,这样的结论是数学领域的问题， 故答案为：数学． 【点睛】本题考查了数学文化，解题的关键是掌握数学上的相关知识点的名称． 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 2．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图，用高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为______．    【答案】36 【分析】根据高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图求得围成不同于A的另一个圆柱B的底面周长是，高是，再根据圆柱的体积等于底面积×高进行计算． 【详解】解：根据题意，得到另一个圆柱B的底面周长是，高是， 则圆柱B的体积为． 故答案为：36． 【点睛】此题考查了圆柱的侧面展开图和围成圆柱的各个量之间的对应关系，熟悉圆柱的体积公式是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）小明在学习了立体图形的展开图后，尝试用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明共剪开了________条棱； (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全； (3)经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为10的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)8 (2)4， 4种情况，如图所示： (3) 【分析】本题主要考查了几何体展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）长方体共12条棱，根据平面图形中没有剪开的棱的条数，即可求出剪开了几条棱； （2）根据长方体展开图的情况可知，有四种情况； （3）先求出长方体的高，再根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】（1）图1中没有剪开的棱有4条，所以小明共剪开了条棱； 故答案为：8． （2）略 （3）长方体的高为：， ∴这个长方体纸盒的体积为． 【基础题型五 正方体几种展开图的识别】 【例1】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图特征是解题的关键． 正方体的展开图有：132，231，222，33，一线不过四，凹田应弃之．根据正方体的展开图特征即可进行解答． 【详解】解：将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体；放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·江西九江·期中）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列图中的______．（填所有符合题意的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了几何体展开图的知识；解题的关键是熟练掌握简单几何体展开图的性质，从而完成求解． 结合题意，根据简单几何体展开图的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，再剪开一条棱，展开图可能为： 故答案为：①③④． 1．（2026·北京·模拟预测）图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的模型逐个判断即可． 【详解】解：对于（1），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（2），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（3），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（4），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（5），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（6），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（7），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（8），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 综上，是正方体展开图的一共有5个． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是______． 【答案】c 【分析】本题考查了正方体平面展开图与立体图形的棱的对应关系，解题的关键是掌握正方体展开图还原立体图的棱对应规律． 还原正方体平面展开图，根据相对面、相邻棱的位置关系确定与棱对应的线段． 【详解】解：将正方体展开图按对应顶点还原，棱在立体图中对应的相邻棱关系与线段完全匹配． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）如图1，从大正方体中挖去一个小正方体之后，可以得到如图2所示的几何体．    (1)设原大正方体的表面积为，图2中几何体的表面积为，那么与的大小关系是______． A．        B．        C．    D．无法判断 (2)如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请画出正确图形． 【答案】(1)C (2) 图3不是图2几何体的表面展开图，改后的图形如图4所示．    【分析】本题考查几何体表面积的意义、几何体的表面展开图，考查学生的观察能力，关键是抓住几何图形变换后边长和棱长的变与不变的量． （1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此与原来的表面积相等； （2）由剪去的小正方体涉及三个面，再结合展开图判断并画图即可． 【详解】（1）解：根据“切去三个小面”但又“新增三个相同的小面”，因此与原来的表面积相等，即； 故选：C （2）略 【基础题型六 正方体相对两面上的字】 【例1】（2026·陕西西安·三模）如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“力”相对的面上的汉字是（    ） A．点 B．燃 C．梦 D．想 【答案】D 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答即可． 【详解】解：“活”与“燃”是相对面，“力”与“想”是相对面，“点”与“梦”是相对面． 【例2】（25-26七年级上·甘肃定西·期末）诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”．如图，这是正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“学”字所在的面相对的面上的汉字是____． 【答案】以 【分析】本题主要考查了正方体表面展开图的相对面识别，熟练掌握“正方体展开图中相对面的分布规律”是解题的关键． 根据正方体表面展开图的相对面规律，确定“学”字所在面的相对面． 【详解】解：正方体表面展开图中，相对的面在展开图中不相邻，呈“”型或“一”字型间隔分布． 此展开图为“一四一”型，“学”与“以”是相对面． 故答案为：以． 1．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分析正方体展开图中带点面的位置关系，判断折叠成正方体后各面的相邻情况，从而选出正确选项．本题主要考查了正方体的展开图与折叠，熟练掌握正方体展开图中面的相对与相邻关系是解题的关键． 【详解】解：折叠成正方体后，带空心点的面应与一个带实心点的面相邻，且与另一个带实心点的面相对，故A、B错误； 折叠成正方体后，三个空白面中，必有两个面是相对的，故C错误； 只有D选项符合． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小新在玩掷骰子游戏，骰子六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的三种角度，如果记3的对面数字为a，4的对面数字为b，那么的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对面上的字，代数式求值，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 由正方体相对面上的字的特点得出和的值，然后相减即可得出答案． 【详解】解：根据给出的图形可得，的对面数字为，的对面数字为， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（25-26七年级上·四川广安·期末）如图1是两个立体图形的表面展开图，如图2是正方体的表面展开图． (1)写出图1中对应立体图形的名称：① ；② ． (2)将图2的展开图还原成正方体，若相对两个面上的数互为相反数，求的值． 【答案】(1)三棱柱，圆柱 (2) 【分析】本题考查了立体图形的展开图，相反数等知识． （1）根据两个展开图即可得出第一个立方体为三棱柱，第二个立方体为圆柱； （2）根据正方体表面展开图得到x和12互为相反数，y和互为相反数，求出，，代入即可求解． 【详解】（1）解：图1中对应立体图形的名称：①三棱柱；②圆柱． 故答案为：三棱柱，圆柱； （2）解：由图可得，， 所以． 【基础题型七 含图案的正方体的展开图】 【例1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如果有一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图中的（不考虑数字方向）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．利用带有数的面的特点及位置解答是解题的关键 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有，，的数字的三个面一定相交于一点，选项C符合；而选项A、B、D中，经过折叠后与含有，，的数字的三个面一定相交于一点不符． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是________． 【答案】7 【分析】观察图形的特点，动手折一折会更准确，知带数字1，2，4的面交于立方体的一个顶点，且和是最小的为7． 【详解】解：观察图形的特点，动手折一折会更准确，知带数字1，2，4的面交于立方体的一个顶点，且和是最小的为7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，解题的关键在于能够准确观察出数字1，2，4的面交于立方体的一个顶点． 1．（2026·河北沧州·一模）如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是________，最小是________． 【答案】 51 26 【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值； 要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值． 【详解】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51， 最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26， 故答案为：51，26． 故答案为：51，26． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力． 3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）正方体（图①）的表面展开图如图②所示，根据图①，在图②中标出点，的所在位置． 【答案】见解析 【分析】根据点，在同一个正方形边上和在两个正方形边上两种情况，标出点，的位置即可． 【详解】解：点，的所在位置如图所示： 【基础题型八 补一个面使图形围成正方体】 【例1】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键． 【例2】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有_____种． 【答案】3 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可得共有3种， 如图： 【点睛】此题主要考查了正方体的平面展开图，应灵活掌握，不能死记硬背． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上 (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (3)在你帮忙设计成功的图中，把，8，10，，6，这些数字分别填入六个小正方形（直接在图中填上） 【答案】(1)4； (2) 由（1）知，任选一种，如下； (3) 如图． 【分析】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键． （1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法； （2）利用（1）的分析画出图形即可； （3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一． 【详解】（1）可在图形下面一行的四个正方形任一个的下面补上， ∴共有四种弥补方法； 故答案为：4； （2）略 （3）略 【基础题型九 截一个几何体】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：长方体是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，用一个平面去截长方体，其截面边缘是由直线段组成的，因此截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故A不符合题意； 选项B：该几何体是由两个三角形底面和三个长方形侧面围成的立体图形，用一个平面去截三棱柱，其截面边缘也是由直线段组成的，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形），不可能是圆形，故B不符合题意； 选项C：圆锥是由一个扇形侧面和一个圆形底面围成的立体图形，当用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥时，截面是一个圆，故C符合题意； 选项D：正方体是由六个正方形围成的立体图形，用一个平面去截正方体，其截面边缘由直线段组成，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故D不符合题意． 【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用一个平行于正五棱锥底面的平面截正五棱锥，截面的形状是__． 【答案】正五边形 【分析】本题考查了截一个几何体．根据题干用一个平行于正五棱锥底面的平面截正五棱锥，故得截面的形状是五边形即可作答． 【详解】解：用一个平行于正五棱锥底面的平面截正五棱锥，截面的形状是正五边形， 故答案为：正五边形． 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，圆柱形桶中装一半的水，将桶水平放置，此时桶中水面的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了截几何体，较好的空间想象能力是解答本题的关键．由题意可得水面的形状是平面，用平行于底面的这个平面截这个圆柱体，所得到的截面的形状即为所求． 【详解】解：桶内水面的形状，就是用平行于底面的平面截这个圆柱体所得到的截面的形状， 而圆柱体用平行于底面的平面去截可得到长方形的截面． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有________个． 【答案】 【分析】本题考查几何体的截面，根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 本题考查了几何体的截面，熟练掌握几何体的截面形状是解题的关键． 【详解】解：圆锥不可能得到长方形截面， ∴能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有3个， 故答案为：3． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)该圆柱的截面有以下4种不同的形状 (2)能，截得的最大的长方形的面积为 【分析】本题考查了几何体的截面，圆柱的特点，熟练掌握截面性质是解题的关键． （1）根据截几何体的方法解答即可； （2）以直径为宽，高为长截一个长方形即可． 【详解】（1）解：该圆柱的截面有以下4种不同的形状，如图①所示． （2）解：能．过两底面圆的直径的长方形截面的面积最大，如图②所示． 此时长方形的面积为， 故截得的最大的长方形的面积为． 【基础题型十 平面图形形状的识别】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是交通禁止驶入标识，组成这个标识的平面图形有（    ） A．圆、长方形 B．圆、直线 C．球、长方形 D．球、线段 【答案】A 【分析】根据圆的定义及长方形的定义即可求解． 【详解】解：由图可得： 组成这个标识的平面图形有：圆、长方形， 故选A． 【点睛】本题考查了平面图形的认识，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 【例2】（2026七年级上·全国·专题练习）如图是由一副七巧板组成的花样滑冰图形，图中含有的平面图形有________． 【答案】正方形、三角形和平行四边形 【分析】本题考查平面图形的认识，关键是掌握四边形、三角形的概念．由三角形是由三条线段首尾相接组成的图形可找出图中的三角形； 由四边形是四条线段首尾相接组成的图形可找出图中的四边形． 【详解】解：观察可知图形中的平面图形有三角形、正方形、平行四边形， 故答案为：三角形、正方形、平行四边形． 1．（2026七年级上·全国·专题练习】七年级数学（华东师大版））如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 【答案】A 【分析】本题可据数的奇偶性进行分析，如图从点到点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，点为6，是偶数，所以点处于水中，同理点B处于水中． 【详解】解：如图，由于点P处于岸上且为1，所以奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．同理点B处于水中． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的分析判断能力，通过数的奇偶性判断位置，能读懂题，分析题目是解题的关键． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）把图中的一个直角三角形和一个直角梯形拼在一起，可以拼成几种不同的常见平面图形？画出你所拼出的图形． 【答案】见解析 【分析】本题要求将一个直角三角形和一个直角梯形通过相等的边拼接在一起，形成不同的平面图形，需要理解直角三角形和直角梯形的边长关系，并通过不同的拼接方式形成多种平面图形，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：直角三角形的较短直角边与直角梯形的上底拼接，形成一个直角三角形，如图： ； 直角三角形的较长直角边与直角梯形的高拼接，形成一个等腰梯形，如图： ； 直角三角形的较长直角边与直角梯形的高拼接，形成一个平行四边形，如图： 直角三角形的斜边与直角梯形的腰拼接，形成一个正方形，如图： ， 直角三角形的斜边与直角梯形的腰拼接，如图： ， 直角三角形的较长直角边与直角梯形的下底拼接，如图： ， 直角三角形的较长直角边与直角梯形的下底拼接，如图： ． 【基础题型十一 用七巧板拼图形】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，用一张边长为的正方形纸片剪成七巧板，并将七巧板拼成了一柄宝剑，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 【例2】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）如图是用一副七巧板拼成的正方形，边长是10cm．图中小正方形（涂色部分）的面积是_____． 【答案】12.5 【分析】如图，将正方形分成4个大三角形，再将右面的三角形分成4个小三角形，阴影部分占2个小三角形，所以占右下大三角形的一半，它的面积就用正方形的面积除以4再除以2求得． 【详解】解：正方形的面积为10×10=100（） ∴100÷4÷2=12.5（） ∴涂色正方形的面积是12.5． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查了七巧板，利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质．解答本题的关键是把阴影部分的面积转化为正方形面积的几分之几． 1．（2026·江西赣州·三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据7块薄板的边长间的关系，结合面积公式逐项分析即可． 【详解】解：由题图可知，2与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于2的直角边， ∴， ∵5的边长等于2的直角边的一半， ∴，，A正确； ∵3相邻的两边分别与4的直角边和斜边相等，且3中的锐角为 ∴3与4同底等高，， ∵4与6是两个全等的三角形，∴， ∴，B正确； ∵1与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于1的直角边， ∴，C错误； ∵6也是等腰直角三角形，且6的斜边等于7的直角边， ∴， ∵， ∴，D正确． 故选C． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，认准分成的各块塑料板的形状与大小是解题的关键，另外本题渗透利用了七巧板的思想，熟练掌握七巧板也很关键． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是由一副面积为100平方厘米的七巧板（图②）拼成，那么长方形的面积是 平方厘米?（要求计算过程） 【答案】 【分析】本题考查割补法求面积，熟练掌握割补法求面积是解题的关键； 根据题意利用割补法求面积即可求解； 【详解】解：从七巧板知正方形面积等于平方厘米， 按下图分割可知，长方形等于个正方形的面积， 平方厘米 故答案为： 3．（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键． （1）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的面积为2，由此可得到剪拼方法； （2）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】（1）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线剪刀，再将剪下的①②部分拼到如图①②的位置，得到一个正方形； （2）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线各剪刀，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形． 【提高题型一 几何体展开图计算表面积、体积】 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·期末）某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图分别求出每种纸盒的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为：， ∵乙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， ∴乙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵丙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， 丙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵， ∴从小到大排列顺序为乙甲丙， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）某长方体纸盒的表面展开图如图所示，根据图中数据可得该长方体纸盒的体积为__________．    【答案】 【分析】本题主要考查长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．根据展开图得出长方体的长、宽、高，然后计算容积即可． 【详解】根据展开图可得，长+宽，2宽+长，高+宽， 可得，宽为2，长为4，高为8， 该长方体纸盒的体积为 故答案为：． 1．（26-27七年级上·江苏常州·期中）某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 【答案】(1)52米 (2)84平方米 (3)42立方米 【分析】（1）计算长方体棱长的和即可； （2）利用长方体表面积计算公式计算即可； （3）利用长方体体积公式计算其体积，再减去30即可． 【详解】（1）解： ， （米）， 答：至少需要金属条52米； （2）解：， ， ， ， （平方米）， 答：至少需要幕布84平方米； （3）解：， ， ， （立方米）， 答：展示箱内剩余空间的体积是42立方米． 2．（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒      项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 【答案】任务1：长方体包装盒的容积为；任务2：容积变大；任务3：红红的方案节省材料 【分析】本题考查了长方体的体积，圆柱的体积． 任务1：根据长方体的体积公式求解； 任务2：先求出圆柱的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式求解； 任务3：计算纸板材料阴影部分的面积，比较大小，即可求解． 【详解】解：任务1，长方体包装盒的容积为， 任务2，容积变大； 理由：设半径为， ∴， ∴， ∴直径为， ∴高为， ∴圆柱形包装盒的容积为：， ∵， ∴容积变大． 任务3，图1中的阴影部分面积为， 则包装盒的表面积为：， 图2中的阴影部分面积为， 包装盒的表面积为：， ， ∴红红的方案节省材料． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 【答案】(1)18 (2) (3)101.25元 【分析】（1）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为6分米，得到，根据题意，得展开图中的长度为，代入解答即可； （2）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为分米，得到，解得，继而得到，宽，高，计算体积即可； （3）根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为，结合的长度为45分米，得到，确定长，宽，高，根据表面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：根据，不妨设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为6分米， ∴， 解得， 根据题意，得展开图中的长度为， 故（分米）， 故答案为：18． （2）解：根据，设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为分米， ∴ ， 解得， ∴宽为，高为， ∴长方体的体积为：（立方分米）． （3）解：根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为， ∵的长度为45分米， ∴， 解得， ∴ 长为，宽为，高为， 故长方体的表面积为： （平分分米）， 故整个包装盒外表面涂色的费用是：（元）． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，表面积，生活应用，熟练掌握几何体的展开，计算是解题的关键． 1．（24-25七年级上·全国·单元复习）变式，用大小相同的小正方体搭一个几何体，从正面看和从上面看所得的图形如图所示，这样的几何体最少需要小正方体的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力、空间想象能力，灵活运用三视图的能力和空间想象能力是解答本题的关键． 从上面可以看出最底层小正方形的个数及形状，从正面可以看出第列和第列都有个小正方体，从而可以算出最少需要小正方体的个数． 【详解】解：由从上面看到的形状可得最底层有个小正方体， 由从正面看到的形状可得第列和第列都有个小正方体， 那么最少需要个小正方体， 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，则水平面形状不可能是（    ）． A．三角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体，掌握正方体的截面形状是解题的关键．正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形． 故选：D． 3．（25-26七年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的侧面积是多少平方厘米？正确的列式是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的高和底面的直径都等于正方形的棱长，根据圆柱的侧面积=底面周长×高，代入数据求解即可． 【详解】解：把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体， 圆柱的高和底面的直径都等于正方形的棱长， 侧面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆柱的侧面积、正方体的性质，熟记圆柱侧面积公式，根据题意得出最大的圆柱体的高和底面的直径都等于正方形的棱长是解答的关键． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算 ，根据图形得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故选：C． 5．（2025七年级上·浙江·学业考试）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据正方体的展开图有11种情况：1−4−1型共6种，1−3−2型共3种，2−2−2型一种，3−3型一种，由此判定找出答案即可． 【详解】解：根据题意可得： 补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨， 共6个， 故选：D． 【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口诀“凹、田应弃之”． 6．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 【答案】三棱柱 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，该几何体的侧面是长方形，则该几何体是柱体，上下底面是三角形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：该几何体的侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，故该几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 9．（25-26七年级上·全国·周测）图①为一个长方体，其内部是一个形状规则的空心几何体，用一个平行于底面的截面自下而上截这个长方体依次得到如图②所示的截面图，则这个长方体内空心部分的几何体可能为___________． 【答案】圆锥 【分析】本题考查截面的知识，熟练掌握截一个几何体并灵活运用是解决本题的关键；知识点为截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫截面，由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程， 要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．通过观察可发现：在长方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、点；根据圆的变化规律即可想象出该几何体的形状． 【详解】解：观察截面图特征：从图②中可以看到，平行于底面的截面是圆形，并且随着截面自下而上移动，圆形的面积逐渐变小，最后变成一个点； 当平面从圆锥底面逐渐向上移动时，由于圆锥的形状是从底面逐渐收缩到顶点，所以截面圆的半径会逐渐减小，其面积也随之逐渐变小，当平面经过圆锥顶点时，截面就变成一个点，这与图②所呈现的截面变化情况是相符的； 故答案为：圆锥． 10．（25-26七年级上·辽宁营口·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积的最大值为_____． 【答案】400 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为 ， ∴容积为， ， 长方体无盖的容积最大值为， 故答案为：400． 11．（25-26七年级上·江西赣州·期末）如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面． 【答案】 解：如图，添加一个正方形，折叠后才能围成一个正方体， 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】略 【点睛】本题考查展开图折叠成几何体的知识，注意掌握只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 12．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，下列立体图形的表面中都包含哪些平面图形？写出这些平面图形在立体图形中的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了立体图形和平面图形，根据立体图形的展开图可找出立体图形包含的平面图形，根据平面到立体可找到平面图形的位置即可，熟练掌握平面图形和立体图形的概念和区别是解题的关键． 【详解】解：（）包含的平面图形有三角形和长方形，其中三角形位于三棱柱的上、下底面，长方形位于三棱柱的侧面； （）包含的平面图形有圆，圆位于圆柱的上、下底面； （）包含的平面图形有六边形和长方形，其中六边形位于六棱柱的上、下底面，长方形位于六棱柱的侧面； （）包含的平面图形有五边形和三角形，其中五边形位于五棱锥的底面，三角形位于五棱锥的侧面． 13．（2026七年级上·江苏·专题练习）如图，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形? 试一试，画出拼成的图形． 【答案】见解析 【分析】分别将两个直角三角形纸片的斜边、两条直角边重合，即可求解． 【详解】解：可以拼成如图的6种不同形状的图形． 【点睛】本题考查平面图形的相关知识点．将两个直角三角形的斜边、两条直角边分别重合是解题关键． 14．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）看图解答下列各题： (1)一个正方体共有______种平面展开图； (2)在图中网格中画出两种不同的正方体的展开图． 【答案】(1)11 (2)见解析 【详解】（1）解：一个正方体共有种平面展开图； （2）解：如图： 15．（24-25七年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情境】 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是 字． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． ①四角应各剪去边长为 的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． (4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)C (2)卫 (3)①；② (4)这个长方体的体积为． 【分析】（1）根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”进行判断即可； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得答案； （3）①高就是小正方形的边长；②确定长方体纸盒的长、宽、高，由体积计算公式进行计算即可； （4）根据棱柱的展开与折叠，求出长方体的长、宽、高，再根据体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为的小正方形， 故答案为：； ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 所以体积为（）； （4）由裁剪、折叠可知，所折叠的长方体的长为，宽为，高为（）， 所以长方体的体积为（）， 答：这个长方体的体积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 从立体图形到平面图形重难点题型专训（2个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、从不同方向看几何体 1 题型二、几何体展开图的认识 2 题型三、由展开图计算几何体的表面积 3 题型四、由展开图计算几何体的体积 4 题型五、正方体几种展开图的识别 5 题型六、正方体相对两面上的字 6 题型七、含图案的正方体的展开图 7 题型八、补一个面使图形围成正方体 8 题型九、截一个几何体 9 题型十、平面图形形状的识别 10 题型十一、用七巧板拼图形 11 第二部分·练提高题型 题型一、几何体展开图计算表面积、体积 1 第三部分・自我检测 知识点01 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）用五个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，从正面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·周测）由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示．若最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则___________． 知识点02 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·天津河西·期末）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东济南·期末）把如图折叠成一个正方体的盒子，折叠后与“拓”相对的字是___． 【基础题型一 从不同方向看几何体】 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）下列几何体中，从正面看到的图形为三角形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）添一个小正方体，要使图中从左面看到的形状不变，有______种不同的摆法． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面几何体（   ）符合要求． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，桌面上的模型由个棱长为的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为_____．    3．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． 【基础题型二 几何体展开图的认识】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 【例2】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）下面是几个立体图形的表面展开图，请依次写出这些立体图形的名字____． （1）；（2）；（3）；（4）； 1．（2025·江苏南京·二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为________； 3．（25-26七年级上·山西长治·期末）项目学习 项目背景： 元旦期间，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体礼物盒．设计组设计了如图1的一款有双层上盖的正方体礼物盒（上盖纸板总面积刚好等于底面面积的2倍），如图2是对应的展开图（不考虑接缝）设计稿． 驱动任务： 任务一：制作一个该正方体礼物盒至少需要______的纸板．（不考虑损耗） 任务二：材料组准备如图3类型的卡纸，规格：．该卡纸最多可以剪出______个如图2的礼物盒的展开图，请你在图3的卡纸上画出裁剪方案（只画展开图外轮廓即可）． 【基础题型三 由展开图计算几何体的表面积】 【例1】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的（　　） A．体积 B．表面积 C．侧面积 D．容积 【例2】 （25-26七年级上·江西南昌·期末）如图是一个长方体的表面展开图，则这个长方体的表面积是______．    1．（2026七年级·全国·模拟预测）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是，，，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为_____．    3．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． (2)如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【基础题型四 由展开图计算几何体的体积】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）一个正方体棱长是1米，最多能锯成（    ）个棱长为1分米的小正方体 A．10 B．100 C．1000 D．10000 【例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）阿基米德在_____上也有着极为光辉灿烂的成就，比如：他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍，又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，这个定理就刻在他的墓碑上． 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 2．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图，用高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为______．    3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）小明在学习了立体图形的展开图后，尝试用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明共剪开了________条棱； (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全； (3)经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为10的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【基础题型五 正方体几种展开图的识别】 【例1】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【例2】（25-26七年级上·江西九江·期中）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列图中的______．（填所有符合题意的序号） 1．（2026·北京·模拟预测）图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是______． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）如图1，从大正方体中挖去一个小正方体之后，可以得到如图2所示的几何体．    (1)设原大正方体的表面积为，图2中几何体的表面积为，那么与的大小关系是______． A．        B．        C．    D．无法判断 (2)如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请画出正确图形． 【基础题型六 正方体相对两面上的字】 【例1】（2026·陕西西安·三模）如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“力”相对的面上的汉字是（    ） A．点 B．燃 C．梦 D．想 【例2】（25-26七年级上·甘肃定西·期末）诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”．如图，这是正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“学”字所在的面相对的面上的汉字是____． 1．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小新在玩掷骰子游戏，骰子六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的三种角度，如果记3的对面数字为a，4的对面数字为b，那么的值为____． 3．（25-26七年级上·四川广安·期末）如图1是两个立体图形的表面展开图，如图2是正方体的表面展开图． (1)写出图1中对应立体图形的名称：① ；② ． (2)将图2的展开图还原成正方体，若相对两个面上的数互为相反数，求的值． 【基础题型七 含图案的正方体的展开图】 【例1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如果有一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图中的（不考虑数字方向）（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是________． 1．（2026·河北沧州·一模）如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是________，最小是________． 3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）正方体（图①）的表面展开图如图②所示，根据图①，在图②中标出点，的所在位置． 【基础题型八 补一个面使图形围成正方体】 【例1】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有_____种． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上 (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (3)在你帮忙设计成功的图中，把，8，10，，6，这些数字分别填入六个小正方形（直接在图中填上） 【基础题型九 截一个几何体】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用一个平行于正五棱锥底面的平面截正五棱锥，截面的形状是__． 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，圆柱形桶中装一半的水，将桶水平放置，此时桶中水面的形状是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有________个． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 【基础题型十 平面图形形状的识别】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是交通禁止驶入标识，组成这个标识的平面图形有（    ） A．圆、长方形 B．圆、直线 C．球、长方形 D．球、线段 【例2】（2026七年级上·全国·专题练习）如图是由一副七巧板组成的花样滑冰图形，图中含有的平面图形有________． 1．（2026七年级上·全国·专题练习】七年级数学（华东师大版））如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）把图中的一个直角三角形和一个直角梯形拼在一起，可以拼成几种不同的常见平面图形？画出你所拼出的图形． 【基础题型十一 用七巧板拼图形】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，用一张边长为的正方形纸片剪成七巧板，并将七巧板拼成了一柄宝剑，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）如图是用一副七巧板拼成的正方形，边长是10cm．图中小正方形（涂色部分）的面积是_____． 1．（2026·江西赣州·三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（       ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是由一副面积为100平方厘米的七巧板（图②）拼成，那么长方形的面积是 平方厘米?（要求计算过程） 3．（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 【提高题型一 几何体展开图计算表面积、体积】 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·期末）某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）某长方体纸盒的表面展开图如图所示，根据图中数据可得该长方体纸盒的体积为__________．    1．（26-27七年级上·江苏常州·期中）某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 2．（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒      项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 1．（24-25七年级上·全国·单元复习）变式，用大小相同的小正方体搭一个几何体，从正面看和从上面看所得的图形如图所示，这样的几何体最少需要小正方体的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，则水平面形状不可能是（    ）． A．三角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 3．（25-26七年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的侧面积是多少平方厘米？正确的列式是　　 A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025七年级上·浙江·学业考试）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 9．（25-26七年级上·全国·周测）图①为一个长方体，其内部是一个形状规则的空心几何体，用一个平行于底面的截面自下而上截这个长方体依次得到如图②所示的截面图，则这个长方体内空心部分的几何体可能为___________． 10．（25-26七年级上·辽宁营口·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积的最大值为_____． 11．（25-26七年级上·江西赣州·期末）如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面． 12．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，下列立体图形的表面中都包含哪些平面图形？写出这些平面图形在立体图形中的位置． 13．（2026七年级上·江苏·专题练习）如图，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形? 试一试，画出拼成的图形． 14．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）看图解答下列各题： (1)一个正方体共有______种平面展开图； (2)在图中网格中画出两种不同的正方体的展开图． 15．（24-25七年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情境】 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是 字． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． ①四角应各剪去边长为 的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． (4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $