2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础巩固、情境应用、综合创新三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|根与系数关系直接应用|单选题1、3，填空题8、9，解答题13(1)，考查两根和差、构造方程，强化概念理解| |中档层|结合判别式、几何情境|单选题2、5，填空题11，解答题14，融入比例中项、菱形面积，发展应用意识| |提高层|新定义与综合探究|单选题7，填空题12，解答题15-17，通过“邻根方程”“偏向方程”及材料阅读，提升推理能力与创新意识|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 2．若是和的比例中项，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．关于x的一元二次方程的两个根为和，且，，则这个一元二次方程可以是（    ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为（   ） A．6 B． C．10 D． 6．甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项，得根和，乙看错了常数项，得根和，则原方程为（    ） A． B． C． D． 7．方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是______． 9．写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 10．已知满足，则正数的最小值是__________． 11．若菱形的两条对角线的长是方程－8x＋6＝0的两根，则菱形的面积是______． 12．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 三、解答题 13．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 14．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的两根为菱形相邻两边长，求的值 (2)是否存在满足条件的常数，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)方程_______________（选填“是”或“不是”）“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程是常数，且是“邻根方程”，令，试求的最大值． 16．【综合与实践】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则___________； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得___________； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出的值． 17．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B D A A B D 1．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 2．【答案】B 【知识点】 比例的基本性质、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据题意可得，再根据一元二次方程根的判别式可得，代入计算即可求解． 【详解】解：∵是和的比例中项， ∴， ∵关于的一元二次方程中，， ∴， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个相等的实根， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握比例中项的概念，根的判别式判断一元二次方程根的情况的知识是解题的关键． 3．【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A. 中，，，故选项A不符合题意； B. 中，，，故选项B不符合题意； C. 中，，，故选项C不符合题意； D. 中，，，故选项D符合题意； 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】判断点所在的象限、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a、b的值，再根据a、b的符号可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b， ∴， ∴点，即点在平面直角坐标系中位于第一象限． 5．【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求面积、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了菱形的面积公式及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握菱形的两个面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，或菱形的面积等于底乘以高．根据菱形的面积公式以及一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设菱形的两条对角线长度为， ∴ ∵菱形的两条对角线长是方程的两个根， ∴ ∴． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程，根据根与系数的关系即可求出答案，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系. 【详解】解：由于甲看错了一次项，得根和， ∴ 由于乙看错了常数项，得根和， ∴ ∴ ∴该方程为： 故选：. 7．【答案】D 【知识点】一元二次方程的解、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据  一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得，据此可判断③；解方程 ，解方程可判断④． 【详解】解：①若，则方程中，则方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则，则方程的根的判断式，则方程必定也有两个不相等的实数根，故②正确； ③如果5是方程P的一个根，那么， 方程两边同时除以25，得 ，即， ∴是方程Q的一个根，故③正确； ④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么 ， 解得：，则，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：D． 8．【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，通过两根之积求另一个根即可． 【详解】解：设另一个根为，根据根与系数的关系，有， 解得． 故答案为4． 9．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、化成一元二次方程的一般式 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出一次项系数和常数项，即可得到所求方程． 【详解】 解： 设所求一元二次方程为 由题意得，二次项系数为，两根分别为和 ∴， 计算得， 因此所求一元二次方程为． 10．【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式；由已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，可把a、b看作方程的两根，再利用判别式的意义得到，然后解此不等式即可． 【详解】解：， ， 是方程的解， ， 是正数， ， 正数的最小值是4． 故答案为：． 11．【答案】3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、利用菱形的性质求面积 【分析】根据根与系数的关系得出菱形的两对角线的乘积为6，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设方程－8x＋6＝0的两个根为a，b， 由根与系数的关系得：ab＝6， ∵菱形的两条对角线的长是方程－8x＋6＝0的两根， ∴菱形的对角线的乘积为6， ∴菱形的面积是×6＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，菱形的面积，根据根与系数的关系求出菱形的两条对角线的乘积是解此题的关键． 12．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 13．【答案】(1)， (2)，方程的另一个根为， 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，用公式法解一元二次方程． （1）将代入方程，利用公式法求一元二次方程的解； （2）根据根与系数的关系求出方程的另一个根以及的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ， 解得，； （2）解：设方程的另一个解为， 由根与系数的关系可知：， 解得， ，解得， ∴，方程的另一个根为． 14．【答案】(1) (2) 不存在，理由如下： ∵该方程的两解是菱形的两对角线长，设菱形的两对角线长，． ∴，， ∵菱形的两对角线互相垂直平分， ∴由勾股定理得，， 则， 即， ∴， 那么， 得， 解得， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴不存在满足条件的常数． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得，求出k； （2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k． 【详解】（1）解：∵方程的两根为菱形相邻两边长， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 则， 那么， 得， 即； （2）略 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意这个知识点． 15．【答案】(1)不是 (2)或 (3)当时，有最大值，最大值为16 【知识点】绝对值方程、配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． （1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出最大值； 【详解】（1）解：∵， ， 解得：， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ， ， ∴或； （3）解：∵关于的方程是常数是邻根方程， 设两个根分别为， ， 由韦达定理：， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为16， 答：的最大值为16． 16．【答案】（1）；（2）；（3），2 【知识点】配方法的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查配方法的应用、根与系数的关系，正确理解题意，并熟知根与系数的关系是解题关键． （1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （3）根据题意所给的方法对方程进行配方即可，以此可写出是对哪个一元二次方程进行配方，再将方程变形为的形式，根据根与系数的关系得到，，因此可得到关于a的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴（如图⑥）， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由图⑦可得：， ∴， ∴， ∴这是对一元二次方程进行配方，方程可变形为， ∵，为方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴． 17．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解： ， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $