福建漳州市2027届高三毕业班教学质量检测数学试卷

2027届高三毕业班教学质量检测 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1,本解答给出了一种戎几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内 容比照评分标准制定相应的评分细则， 2.对计其题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的拾分，但不得超过该部分正确解答应伦分数的一半：如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.只给整数分数，选择题和填空题不拾中问分. 一、单项选择题：本大题共8小愿，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 n 3 4 5 6 0 A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AD BCD ABC 三、填空题：本愿共3小题，每小题5分，共15分。 12.16π 13.1013 14. 5 四、解答题：本大题共5小题，共7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】 (1)设{an}的公比为q(g>0),{b}的公差为d, 因为41=1，b=2,43+b=14,45+b=22, 1/8 ∫2+4d+g2=14. 所以 2+2d+g=22. …2分 0解得d=2,9=2,…5分 所以a.=2-，bn=2n: …7分 (2)由an=2,bn=21, 得所有乘积a,b,(i,j均为正整数，且1si≤j≤4)的和为 4么+(a+4）小b+(a+4+4）小6+(a+4+a3+a）b…9分 =1×2+(1+2)×4+(1+2+4)×6+(1+2+4+8)×8 =2+12+42+120 =176.… …13分 16.(15分) 【解析】 (1)设动圆圆心为M,半径为r, 因为动圆M过C,且与圆C2相内切，所以MC=r,MC=4-r, 所以有MC+MC2l=4>CC=2, …2分 所以动圆圆心M的轨迹「是以C(-l,0),C,(1,0)为左、右焦点的椭圆，3分 及国的方限为号+长=10>60 a 则2a=4,即a=2,所以b=Va2-12=√5， …5分 所以厂的方程： x2,y2 .…6分 43 (2)设直线I:y=x+m,则点P(0,m), y=x+m 联立 整理得：7x2+8r+41m2-12=0,…8分 4 3 因为！与厂有两个不同的交点， 所以△=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48(m2-7)>0,得-√万<m<√万， 设A(,片)，B(6,y2), 8 则+名=-气m0= 4m2-12.…②，10分 7 2/8 因为PB=7PA,得（化2,2-m）=7(,y-m）,所以为=7x…③，…11分 由0图解得x=二，七三一m,产 …12分 代入②得m_4m2-12 …l3分 7 7 解得m=±2， …4分 所以直线1的方程为y=x土2.… …15分 17.(15分) 【解析】 设H,:选中甲袋，H,:选中乙袋，则P(H,)=P(H,)=2 …1分 (1)X的所有可能值为0,1,2.… …2分 PX=0=r)PX=01)+P)PK=0I)-片+3器- …4分 P(X=)=PH,)P(X=1H,)+P(H,)P(x=1川H,)=5x3x2x2+片x2x3x2-3 25×4 25×4=5' …6分 P(X=2)=P(H,)P(X=21H,)+P(H,)P(X=2IH,)=2×5x4+2×5x45 1×3×2+1×2×1-1 …8分 所以X的分布列为 X 0 2 1-5 3-5 1-5 E0x)-0xg1g+2x写1. 5 …10分 (2)设事件A表示第一次摸到的球是红球，B表示第二次摸到的球是红球， 13121 则P(A=P(H,)P(AIH,)+P(H,)P(AIH,)=2×亏+2×亏5 …12分 又P(AB)=P(X=2= …14分 2 所以P(BIA)= P(AB) …15分 P(A) 2 18.(17分) 【解析】 由已知的定义城为Q)代)=2r+子-个+宁)20兰，1分， 3/8 (1)当a=1时，f'()=0,又f(0)=0,… …3分 所以曲线y=f()在点(1∫()处的切线方程是y=0.…4分 3 2-以，[4- …6分 设8()=2(x+4-a,则8()在@D上单词递减，在(+m)上单调递啪， 若g()≥0，即a≤8时，则x∈(0.+∞)，有g(x)≥0，∫'(x)≥0，则f(x)是增函数： …8分 若80<0.即a>8时，因为8日-8(o)-名+a+4>0. 则g(x)有两个零点，记为x,名，不妨假设x<名， 则x∈(：，x),有g(x)<0,∫”(x)s0,则f(x)在(：，七)上单调递减，不合题意： 所以a的取值范围是（一0,8]。… …10分 (3)当a≤8时，由(2)可知，f(x)是增函数，则f(x)在(0.+o)上至多一个零点： …11分 当a>8时，由(2)可知，f(x)在(0.x)上单调递增，在(：，x)上单调递减， 在(：+∞)上单调递增.又因为x<1<为，且f()=0, 所以f(x)>0,f(3)<0.… …13分 又因为s,f后1-(a-4加a<0,a>fa=- …16分 所以在日小(6)上各恰有一个零点， 所以∫(x)在区间(0,1)，(L,+∞)各恰有一个零点，所以a的取值范围是(8+o). …17分 19.(17分) 【解析】 解法一(I)取BC的中点D,连接AD、PD, 因为△ABC是等边三角形，所以BC⊥AD, 又因为BC⊥PA,AD∩PA=A且PA、ADC面PAD, 所以BC⊥平面PAD,… …2分 所以BC⊥PD, 4/8 又因为D为BC的中点，所以PB=PC… …3分 取AB的中点E,连接CE、PE,由己知条件同理可证PA=PB,…4分 所以PA=PB=PC.…5分 H D (2)(i)设AD与CE交于点M, 因为BC⊥平面PAD,PMC平面PAD, 所以PM⊥BC,同理PM⊥AB, 又BC∩AB=B,BCC平面ABC,ABC平面ABC 所以PM⊥平面ABC,…6分 设正三棱锥P一ABC底面边长为a,高为h, 因为A=5.所以+（号产=2，即=2- 3 以M为原点，MA,MP的方向分别为x轴，Z轴的正方向， 如图建立空间直角坐标系 则N万008-25号0.c-25 aa 2万-50)P(00.0.…7分 所以BC=(0.-a.0),BP= 设片=(：y,乙)是平面HAB的一个法向量， 则，4，=0 ax-3ay +23hz =0 取x=-23h,则y=0,乙=a,即元=(-23h,0,a) 因为点A在平面PBC内的正投影为点H, 5/8 所以AH⊥平面PBC,所以直线AH的一个方向向量为(-23h.0,a), …8分 又BA 设n=(x,y,z)是平面HAB的一个法向量， [-2√5hx+az=0 则 ax a y=0 22 取x=a,则y=√5a,z=2√3h,即n=(a.√5a,23h),…10分 又底面ABC的一个法向量m=(0,0,1), 因为二面角H一AB一C的正切值等于 2 ,m-6 所以cos<n,m>= 3，即 23h 6 Va2+3a2+12h2 又因为2-号解得a=5。h=25 所以三棱锥P一ABC是正四面体 … …11分 如图，将正四面体P一ABC补成一个正方体，使得正四面体的每条棱都是正方体 的面对角线，则正方体的棱长为l.所以正四面体P一ABC的外接球与该正方体的外 2 接球相同，而正方体的外接球的表面积是4π =3π.…12分 B B (2)(ii)以P为原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 则正四面体的六个棱的方向向量都表示为：=(1,1,0)，2=(，0，)， 6/8 =(0,1,1),4=(0,1,-1)，=(1,0,-1)，%=(1,-1,0).…13分 设任意平面a的单位法向量为n=(x,八，z),其中x2+y2+z2=1. 对于每条棱，其在平面α上正投影的长度的平方为-（矿m2=2-(心·， …15分 因此大条棱在平面a上正投影销长度的平方和为S=12-之C,=12xP-之心m3. 又(m2=(x+y)2,()2=(x+z)2，(n3=(y+z)2，(m)2=(y-z) (m)2=(x-z)2,(mgn)2=(x-y)2, 所u2gm=++++0+g+0-对+-+-时 =4(x2+y2+z2)+(2y-2y)+(2x-2.z)+(2z-2yz) =4(x2+y2+z2)=4, 代入得S=12-4=8, 故三棱锥P一ABC的各棱在平面Q上的正投影的长度的平方和是常数.…17分 M 解法二(1)过P作PM⊥平面ABC,垂足为M, 所以BC⊥PM, 连接AM并延长交BC于点D, 因为BC⊥PA,BC⊥PM,PA∩PM=P, PAC平面PAD,PMC平面PAD 所以BC⊥平面PAD,…2分 所以BC⊥AD, 连接CM并延长交AB于点E,同理AB⊥CE, 所以M是△ABC的垂心，又因为△ABC是正三角形，所以M是△ABC的中心， 所以MA=MB=MC,… …3分 7/8 又因为PA2=PM2+MA2,PB2=PM2+MB2,PC2=PM2+MC2,…4分 所以PA=PB=PC. …5分 (2)(i)设正三棱锥P-ABC底面边长为a,高为h, 因为A=5.所以+看°=2.即-2-号 3 因为点A在平面PBC内的正投影为点H, 所以AH⊥平面PBC,所以PC⊥AH, 又因为PC⊥AB,AH∩AB=A,所以PC⊥平面AHB,…9分 又因为PM⊥平面ABC, 所以∠MPC与二面角H一AB-C的大小相等，…10分 所以m∠MPC=5,即--V2 2 3h2 又=2-号解将a=5,有26 ,所以三棱锥P-ABC是正四面体 …11分 如图，将正四面体P一ABC补成一个正方体，使得正四面体的每条梭都是正方体的 面对角线，则正方体的棱长为1.所以正四面体P一ABC的外接球与该正方体的外接 球相同，而正方体的外接球的表面积是4(5？=3玩。 12分 2 (2)（ii)同解法一.… …17分 8/82027届高三毕业班教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真 核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致。 2.回答选泽题时，选出每小题答案后，用铅笔把苓题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答秦标号。回答非选择 题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z满足z=1-2i,则|z= A.1 B.3 C.2 D.5 2.已知向量a=(1,2),b=(-2,1),若(a+b)⊥(a+b),则A= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.设a是平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题正确的是 A.若m⊥ax,n∥a,则m⊥n B.若m∥a,na,则mn C.若m⊥n,n∥a,则m⊥a D.若m,n与a所成的角相等，则mn 4已知集合A={x2>1,B=3m,则“m心1”是4U8=B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知随机变量X服从正态分布N(6,1),若P(5≤X≤7)=a,P(3≤X≤9)=b, 则P(5≤X≤9)= A B.1-6 2 D 6.若函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=-f八x),f(x+3)是偶函数，且当 x∈[2,3]时，f(x)=-4x,则f八2026)= A.-8 B.8 C.-12 D.12 7.双曲线C:。=1(>0,b>0)的左、右焦点分别为R,B,过F且垂 直于直线m:bx+y=0的直线与m交于点A,与C的右支交于点B,若 |AB=2AF,,则双曲线C的离心率为 B.10 C.5 D.3 2 2 8.设函数f八x)= el+14 在区间[-1,3]上的最大值为M,最小值为m,则 M+m= A.1 B.2 J C. D.3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的 四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的 得部分分，有选错的得0分。 9.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打 环数 10 甲 靶的情况如图所示，则 A.甲、乙两人打靶的平均环数相等 B.甲的环数的中位数比乙的环数的中位数大 C.甲的环数的众数比乙的环数的众数小 D.乙打靶的成绩比甲打靶的成绩更稳定 0123456打形次效 10.已知函数fx)=sincox-V月cosx+5 A.x)在区间(0，万)上单调递增 B.f(x)的最大值是1 C.f八x)的一条对称轴为x=5π 12 D.f代x)的图象可由y=i2x的图象向左平移π个单位长度得到 11.已知△ABC的三个顶点都在抛物线x2=2py(p>0)上，且△ABC的重心为抛 物线的焦点，当点C的横坐标为2时，直线B的斜率等于-，则 A.p=2 B.IAF+|BF+|CF是定值 C.△ABC任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于2√2 D.△ABC可能是直角三角形 数学试题邹2页（共4页) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆锥的侧而积为20Tcm2,底面半径为4cm,则该圆锥的体积是 cm 13. 已知数列{a,)与吗均为等差数列，且4，=1，则a2s= 14.在某海岛上一观察哨A处，中午12时测得一轮船在海岛北偏东60°的B 处，12时15分时测得该轮船在海岛北偏西60°的C处，12时20分该轮船 到达位于海岛正西方且距海岛4海里的D港口，如果轮船始终匀速直线前 进，则船速是 海里/分， 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证阴过程或 演算步骤。 15.设{a,)是各项都为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=1,b,=2, a3+b5=14,a5+b1=22 (1)求{a,},{b}的通项公式： (2)若i,j均为正整数，且1≤i≤j≤4，求所有乘积a:·b,的和. 16.已知动圆过点C,(-1,0),且与圆C2:（-1)2+y=16相内切，记动圆圆 心的轨迹为曲线T (1)求Γ的方程： (2)设斜率为1的直线1与T的交点为A,B,与y轴的交点为P,若 PB=7PA,求直线1的方程 17.已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质 地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋 子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的 个数 (1)求X的分布列和数学期望E(X): (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率 处李试题第3页（共4页）》 18已知数x)=六-ak-)+(2a-4h,aeR (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)在定义城内为增函数，求a的取值范围； (3)若f(x)在区间(0,1)，(1，+∞)各恰有一个零点，求a的取值 范围 19.已知三棱锥P-ABC的底面是等边三角形，且PA⊥BC,PC⊥AB (I)证明：PA=PB=PC: (2)设点A在平面PBC内的正投影为点H、若PA=√2，且二面角H-AB-C 的正切值等于务 (i)求三棱锥P-ABC外接球的表面积： (ii)设a是空间中的一个平面，证明：三棱锥P-ABC的各棱在平面α上 正投影的长度的平方和是常数