专题1.4 充分条件与必要条件讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，从命题的概念与结构切入，系统讲解充分条件、必要条件的定义及判断方法（定义法、集合法、等价法、传递法），进而延伸至充要条件的定义、集合角度理解及探求证明，构建完整知识支架。 资料特色在于知识点与题型深度融合，“即学即练”环节选用多地阶段检测题，通过参数求解、充要条件证明等题型，培养学生逻辑推理（数学思维）、集合直观（数学眼光）及规范表达（数学语言）能力。课中辅助教师授课，课后助力学生回顾强化，有效查漏补缺。

专题1.4 充分条件与必要条件-重难点题型精讲 知识点01：充分条件与必要条件 1.命题的概念与结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件,q是p的必要条件 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 注意：一般来说，对给定的结论q，使q成立的条件p不唯一。给定条件p，由p可以推出的结论q不唯一。 【注意】(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件““q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q“这四种表述形式等价． 3.判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 【即学即练】 1．（25-26高一上·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接判断和的真假，即可确定是的何种条件. 【详解】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 故选：B. 知识点02：充要条件 1.充要条件 1．充要条件的定义:一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2.判断充分条件与必要条件时，要与原命题和其逆命题的关系结合起来，具体判断方法如下： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，但pq p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且qp p是q的既不充分也不必要条件 注：注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同． 2.从集合的角度看充要条件 设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件，q是p的充要条件． (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (5)若B⫋A，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件． (6)若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件，q是p的既不充分也不必要条件． 注：抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 【即学即练】 1．（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举反例可得A错误，D正确；由集合间的关系可得B错误；当时可得C错误； 【详解】对于A，若，则，但不成立，故A错误； 对于B，“”是“”的充要条件； 对于C，时，所以不能推出，故C错误； 对于D，当时满足，但不满足，充分性不成立； 当时，满足，但不满足，必要性不成立，故D正确. 故选：D. 知识点03：充要条件的探求与证明 证明p是的充要条件，分两步： （1）充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件推出q； （2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件推出p．综上可得，p是q的充要条件． 充要条件的证明充分性的证明和必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①若p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性． ②若p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 题型01 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则“”是“”的　________　条件． 【答案】充分不必要 【详解】，充分性成立； 或，必要性不成立； 从而可知“”是“”的充分不必要条件． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）已知p：a＝b，q：|a|＝|b|，则下列说法正确的是（　　） A．q是p的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．q的必要不充分条件是p D．p的必要不充分条件是q 【答案】BD 【分析】本题考查充分条件、必要条件的概念，若且，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 【详解】若，则，所以， 若，则不一定推出，比如，满足，但，所以， 所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件， 所以BD正确. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)，； (2)，； (3)是方程的两个实数根，； (4)，. 【答案】(1)p不是q的充要条件 (2)p不是q的充要条件 (3)p不是q的充要条件 (4)p是q的充要条件． 【详解】（1）由推不出， 如时，， 所以，则p不是q的充要条件． （2）由推不出， 如时，满足，而， 所以，则p不是q的充要条件． （3）由推不出是方程的两个实数根， 如时，满足， 而不是方程的两根， 所以，则p不是q的充要条件． （4）由，得； 反过来，由，得. 因此p是q的充要条件． 4．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 题型02 利用充分不必要条件求参数 5．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，且两个等号不同时成立，得， 故实数m的取值范围是. 6．（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）转化为，再分和讨论即可. 【详解】（1）当时，， . 或，. （2）由题意得， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或． 7．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知集合或. (1)若，求及； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2)或 【分析】（1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解. （2）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系，按是否为实数集分类求解. 【详解】（1）当时，或，由，得或， 所以或，或. （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集， 当时，，解得，满足是的真子集，因此； 当时，或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 8．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案. 【详解】由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 9．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合． (1)若，求和； (2)若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或，； (2). 【分析】（1）把代入，利用补集、并集的定义求解. （2）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求出范围. 【详解】（1）当时，，而， 所以或，. （2）由集合，是的充分不必要条件，得非空集合是的真子集， 因此或， 解得或，则， 所以实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意得，分，两种情况讨论，可得答案． 【详解】若是的充分不必要条件，则． 集合，， 当时，，则，符合题意； 当时，， ∵，∴即或，解得或， 综上，的值可以是：． 故选：ACD． 题型03 利用必要不充分条件求参数 11．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求出集合，再根据交集的定义即可计算； （2）依题意可得为的真子集，分与两种情况讨论，即可求解的取值范围． 【详解】（1）当时，， 因此． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为． 12．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 13．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设，. (1)若，求；（直接写出结果，不必说明理由） (2)若，求实数的取值范围；（直接写出结果，不必说明理由） (3)若，设，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由并集的定义运算； （2）根据集合并集运算结果得到两集合端点间的关系求解； （3）将必要不充分关系转化为集合关系，列出不等关系求解. 【详解】（1）当时，，所以； （2）若，则，解得， 所以实数的取值范围； （3）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集. 因为，故，因为是的真子集 所以或，解得， 实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知集合， (1)若集合为空集，求的取值范围； (2)对于非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合为空集列不等式求解； （2）根据必要不充分条件得出是的真子集，再列式计算求参数. 【详解】（1）， ，解得：， 的取值范围为：； （2），，解得：， 由题意“”是“”的必要不充分条件得是的真子集， ， 解得：，符合，且不相等， 又， 的取值范围为： 15．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知条件，若是的必要不充分条件，求实数的值. 【答案】 【分析】根据是的必要不充分条件得出根的情况，由韦达定理求解. 【详解】由可得或， 由是的必要不充分条件可知， 方程有相等实根或， 即或， 解得， 故实数的值为. 16．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合A、B，，. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，； 当时，； (2) 【分析】（1）根据集合中元素个数，对参数进行讨论，结合一元二次方程判别式，求出参数值； （2）根据题意，判断出集合之间的包含关系，分情况讨论，求出参数范围. 【详解】（1）当时，，符合条件； 当时，中只有一个元素，即只有一个解， 可得，解得，此时， 综上所述：当时，； 当时，； （2）由题意得，解得或，即， 当命题是命题的必要不充分条件时，则或或， 当时，即且，解得， 当时，，解得， 此时，不符合题意； 当时，，解得， 此时，不符合题意； 所以的取值范围为. 17．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用必要不充分条件的判断方法得，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 则，所以，解得， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意，所以， 故选：A. 18．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为是的真子集．再分当和时，进行讨论求解． 【详解】若是的必要不充分条件，则是的真子集． 当时，，所以； 当时，，又（等号不能同时取得），所以． 综上，． 故选：A 题型04 利用充要条件求参数 19．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下： 因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）不存在，理由略． 20．（25-26高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数______． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 22．（25-26高一上·贵州黔西南·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 23．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1) 若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）略 （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 24．（25-26高一上·湖北·阶段检测）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？ 【答案】 选择条件①：实数的取值范围是. 选择条件②：实数的取值范围是. 选择条件③：不存在实数，使得是的充要条件. 【分析】选择条件①，根据是的真子集列不等式求解；选择条件②：根据是的真子集列不等式求解；选择条件③：根据列方程组求解. 【详解】因为集合非空，所以， 选择条件①： 因为是的充分而不必要条件，所以是的真子集， 所以（两个等号不同时取到）， 解得， 故实数的取值范围是. 选择条件②： 因为是的必要而不充分条件，所以是的真子集，     所以有且（两个等号不同时取到）， 解得. 综上，实数的取值范围是. 选择条件③： 因为是的充要条件，所以有且， 即，此方程组无解， 则不存在实数，使得是的充要条件. 题型05 充要条件的证明 25．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【答案】(1) 若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； (2) (3)或； 【分析】（1）根据已知条件结合充要条件定义即可证明； （2）根据韦达定理得出，再代入计算求解； （3）先根据已知条件得出，再结合，得出进而分类讨论计算求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 26．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【答案】(1) 必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. (2) 当时，为奇数， 当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数， 所以同为奇数或同为偶数， 假设有整数根，则， 1.当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 2.当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数， 又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾； 若为奇数，则为奇数，为奇数， 又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾； 综上，假设不成立，所以方程无整数根. 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义证明. （2）利用反证法，由题意得同为奇数或同为偶数，为奇数，假设有整数根，分同为奇数，同为偶数，结合的奇偶性可证结论. 【详解】（1）略 （2）略 27．（2026·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】 证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】略 28．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明: 先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】略. 1．（26-27高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角形确定的性质及判定定理逐项判断即可. 【详解】对于选项A：面积相等的两个三角形形状、边长不一定完全相同， 比如同底等高的锐角三角形和钝角三角形面积相等但不全等， 因此“面积相等”只是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项B：对应角相等只能说明两个三角形相似，边长可以成任意相同比例， 比如大小不同的两个等边三角形对应角相等但不全等， 因此“对应角相等”是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项C：根据三角形全等的判定公理，三角形的三边长度完全确定后， 三角形的形状和大小就被唯一确定，对应边相等的两个三角形必然全等； 反过来，全等三角形的对应边必然全部相等，因此“对应边相等”是两个三角形全等的充要条件. 对于选项D：三角形的对应外角相等等价于对应内角相等，和选项B性质一致，只能推出两三角形相似， 无法保证全等，属于必要不充分条件. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得；由，得， 所以“”是“”的充要条件. 3．（26-27高三上·浙江·开学考试）若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 则由题意得，所以，解得． 4．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 5．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【详解】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 6．（26-27高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 7．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系判断即可. 【详解】由可知，选项A、B、C均等价于，故错误， 选项D，等价于，故正确， 故选：D 8．（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，成立，不成立，故， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 9．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列各题中，是的充要条件的有（   ） A．：关于的方程有唯一解 B．：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例 C．； D．是一元二次方程的一个根； 【答案】ABD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：当时，方程无解，当时，方程有唯一解， 故是的充分必要条件；故A正确； 对于B：两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导， 故是的充要条件；故B正确； 对于C：，则或，故不是的充要条件.故C错误； 对于D：将1代入方程，可得， 反之，若，则， 代入方程，可得， 解得或，所以是一元二次方程的一个根， 故是的充要条件.故D正确. 10．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则方程有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D．若为无理数，则m，n均为无理数 【答案】AB 【分析】由必要条件的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，所以A符合题意； 对于B，若方程有实根，则需满足，即，可推出，故B符合题意； 对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意； 对于D，若，则为有理数，故D不符合题意. 故选：AB. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合选项即可逐一求解. 【详解】当时，，充分性成立；当时，或，必要性不成立，A正确； 当，时，，此时，充分性不成立；当时，，必要性成立，B正确； 当时，，充分性成立；当时，则或，必要性不成立，C错误； 当时，，不是无理数，充分性不成立；当，时，是无理数，但0不是无理数，必要性不成立，D正确． 故选：ABD 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）用充分条件、必要条件填空： （1）“”是“且”的______； （2）“”是“”的______. 【答案】 必要条件 充分条件 【详解】（1）设,且， 分析：若成立，不一定能推出且， 例如，，满足，但不满足. 分析:若且，两个负数相加一定是负数，则成立. 所以根据定义“”是“且”的必要条件. （2）设,， 先解方程得或， 分析，将代入q命题的方程，等式成立，因此， 分析，若方程成立，x可以是5，不一定是2，因此q不能推出p， 所以根据定义 “”是“”的充分条件. 13．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分 【分析】由命题得或，进而根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】解：因为命题：方程有实数根， 所以，，即或， 因为命题：， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 15．（26-27高一上·全国·课后作业）已知关于的方程，求使方程有两个大于1的实根的充要条件． 【答案】 【分析】要使一元二次方程两根都大于 1，需同时满足方程有实根，两根与 1 的差之和为正、差之积为正，结合韦达定理列不等式组求解. 【详解】 设方程的两根分别为，， 根据韦达定理：，. 由题意知， 整理得：， 解各不等式得：或，，. 三者取交集解得：. 检验充分性：当时，，，均成立，故两根均大于 1. 所以方程有两个大于 1 的实根的充要条件是. 16．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对集合是否为空集进行分类讨论，再根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围； （2）根据充分不必要条件可得是集合的真子集，得出相应不等式可求出结果. 【详解】（1）若，即，解得，此时满足题意； 若，即，解得； 又，所以或，即可得； 所以可得； 因此实数的取值范围为. （2）若是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集； 所以需满足，且两个不等式中的等号不同时成立， 解得， 因此实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 充分条件与必要条件-重难点题型精讲 知识点01：充分条件与必要条件 1.命题的概念与结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件,q是p的必要条件 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 注意：一般来说，对给定的结论q，使q成立的条件p不唯一。给定条件p，由p可以推出的结论q不唯一。 【注意】(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件““q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q“这四种表述形式等价． 3.判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 【即学即练】 1．（25-26高一上·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02：充要条件 1.充要条件 1．充要条件的定义:一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2.判断充分条件与必要条件时，要与原命题和其逆命题的关系结合起来，具体判断方法如下： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，但pq p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且qp p是q的既不充分也不必要条件 注：注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同． 2.从集合的角度看充要条件 设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件，q是p的充要条件． (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (5)若B⫋A，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件． (6)若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件，q是p的既不充分也不必要条件． 注：抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 【即学即练】 1．（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 知识点03：充要条件的探求与证明 证明p是的充要条件，分两步： （1）充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件推出q； （2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件推出p．综上可得，p是q的充要条件． 充要条件的证明充分性的证明和必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①若p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性． ②若p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 题型01 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则“”是“”的　________　条件． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）已知p：a＝b，q：|a|＝|b|，则下列说法正确的是（　　） A．q是p的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．q的必要不充分条件是p D．p的必要不充分条件是q 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)，； (2)，； (3)是方程的两个实数根，； (4)，. 4．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 题型02 利用充分不必要条件求参数 5．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 6．（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 7．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知集合或. (1)若，求及； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 8．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合． (1)若，求和； (2)若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 10．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 题型03 利用必要不充分条件求参数 11．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 12．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 13．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设，. (1)若，求；（直接写出结果，不必说明理由） (2)若，求实数的取值范围；（直接写出结果，不必说明理由） (3)若，设，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.（直接写出结果，不必说明理由） 14．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知集合， (1)若集合为空集，求的取值范围； (2)对于非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； 15．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知条件，若是的必要不充分条件，求实数的值. 16．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合A、B，，. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型04 利用充要条件求参数 19．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 20．（25-26高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数______． 22．（25-26高一上·贵州黔西南·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 23．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 24．（25-26高一上·湖北·阶段检测）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？ 题型05 充要条件的证明 25．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 26．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 27．（2026·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 28．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 1．（26-27高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高三上·浙江·开学考试）若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 7．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列各题中，是的充要条件的有（   ） A．：关于的方程有唯一解 B．：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例 C．； D．是一元二次方程的一个根； 10．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则方程有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D．若为无理数，则m，n均为无理数 11．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）用充分条件、必要条件填空： （1）“”是“且”的______； （2）“”是“”的______. 13．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 15．（26-27高一上·全国·课后作业）已知关于的方程，求使方程有两个大于1的实根的充要条件． 16．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $