专题2.1 等式性质与不等式性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，先通过文字与符号语言转换、作差法比较大小等内容，引导学生用不等式(组)表示不等关系，再系统梳理等式与不等式的性质（如对称性、传递性、可加性等），最后介绍作差法、综合法等证明方法，构建从表示到性质再到证明的递进学习支架。 该资料特色在于结合矿山运输、药剂配制等生活实例，引导学生用数学眼光发现现实中的不等关系，通过作差法比较大小、性质判断正误等题型培养数学思维中的推理能力，以不等式组表示和证明过程提升数学语言表达。课中例题助教师突破重难点，课后作业供学生巩固，有效查漏补缺。

专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精讲 知识点01：用不等式(组)表示不等关系 用不等式(组)表示不等关系 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题． 【注意】常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高 于，超过 小于，低 于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0⇔a＞b 如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0⇔a＝b 如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0⇔a＜b 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 【注意】利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 知识点02：等式的性质与不等式的性质 1.等式的性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么． 2.不等式的性质 1.常见的文字语言与符号语言之间的转化 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 2.比较两个实数大小的方法 ⑴作差法：对于两个实数，，通过比较与的大小关系，从而得到实数，的大小关系，具体方法如下：；；． ⑵作商法：对于任意两个正数，，通过比较与的大小关系，从而得到正数，的大小关系，具体方法如下：当，时，；；． 3.不等式的性质 性质 具体名称 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 ， 3 可加性 4 可乘性 的符号 5 同向可加性 6 同向同正可乘性 7 可乘方性 （，） 同正 8 可开方性 （，） 注：(1)同向不等式可以相加，不能相减； (2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变． 4.倒数性质(1)a>b，ab>0⇒<；(2)a<0<b⇒<；(3)a>b>0，d>c>0⇒>. 5.分数性质若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0)；(2)假分数性质：>；<(b－m>0)． 【即学即练】 1．（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）给出下列不等式，其中错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 知识点03：不等式的证明方法 1．作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小． 2．综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． 3．反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 4．分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 题型01 用不等式表示不等关系 1．（26-27高一上·全国·课后作业）在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 2．（26-27高一上·全国·课后作业）配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）某蔬菜收购点租用车辆，将100 t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆大卡车载重8 t，运费960元，每辆农用车载重t，运费360元，运输成本之和不能超过10 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系？请列出来． 题型02 利用不等式的性质判断正误 5．（26-27高一上·浙江·开学考试）（多选）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）（多选）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   7．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 8．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）（多选）已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型03 利用作差法比较大小 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试比较的大小. 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 11．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 12．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 题型04 利用作商法比较大小 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较与（且，且）的大小． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 15．（25-26高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 16．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 题型05 利用不等式的性质证明不等式 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 18．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若，证明：. （2）已知，，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1. 20．（25-26高一上·全国·课后作业）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 题型06 利用不等式的性质求取值范围 21．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·辽宁·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知实数满足，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 24．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）（1）已知，，试判断的大小关系，并给出证明； （2）已知，，求的取值范围. 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知x，y满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（26-27高一上·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）(多选)下列命题正确的有(　　) A．若，则 B．若，则 C．对任意实数，都有 D．若，则 8．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·重庆渝中·期中）（多选）已知，则使得成立的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）（多选）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若实数满足，则的取值范围是_________． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 13．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，则p与的大小为　________　． 14．（26-27高一上·山西运城·开学考试）下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 15．（26-27高一上·全国·课后作业）比较大小. 16．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）（1）已知实数，满足，求和的取值范围 （2）已知满足，求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精讲 知识点01：用不等式(组)表示不等关系 用不等式(组)表示不等关系 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题． 【注意】常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高 于，超过 小于，低 于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0⇔a＞b 如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0⇔a＝b 如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0⇔a＜b 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 【注意】利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【答案】 【详解】根据题意得，需要满足如下不等关系：①， ，化简为②， 又③，④,且；⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组，即. 知识点02：等式的性质与不等式的性质 1.等式的性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么． 2.不等式的性质 1.常见的文字语言与符号语言之间的转化 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 2.比较两个实数大小的方法 ⑴作差法：对于两个实数，，通过比较与的大小关系，从而得到实数，的大小关系，具体方法如下：；；． ⑵作商法：对于任意两个正数，，通过比较与的大小关系，从而得到正数，的大小关系，具体方法如下：当，时，；；． 3.不等式的性质 性质 具体名称 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 ， 3 可加性 4 可乘性 的符号 5 同向可加性 6 同向同正可乘性 7 可乘方性 （，） 同正 8 可开方性 （，） 注：(1)同向不等式可以相加，不能相减； (2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变． 4.倒数性质(1)a>b，ab>0⇒<；(2)a<0<b⇒<；(3)a>b>0，d>c>0⇒>. 5.分数性质若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0)；(2)假分数性质：>；<(b－m>0)． 【即学即练】 1．（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）给出下列不等式，其中错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ACD 【详解】选项A：取反例：令 ，，此时 ，满足 ，但  ，与结论矛盾，因此该不等式错误. 选项B：根据不等式的基本性质可得 ，该结论恒成立，因此该不等式正确. 选项C：当 时，；当 时， ，因此该不等式错误.. 选项D：取反例：令 ，，，，满足 的条件， 但 ，，此时 ，与结论矛盾，因此该不等式错误. 知识点03：不等式的证明方法 1．作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小． 2．综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． 3．反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 4．分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】（1），理由如下： 因为 故：当且时，； 当或时，. （2），理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 【分析】（1）利用作差法，即可求解； （2）通过不等式的性质，即可求解. 【详解】（1），理由略； （2），理由略. 题型01 用不等式表示不等关系 1．（26-27高一上·全国·课后作业）在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【分析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数，将题干条件转化为不等式组：，，，代入特殊值验证，可以判断选项A、B、D；由可得，进而可得，可以判断C. 【详解】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数 选项A：若，满足所有题干条件，此时，不满足“多于三倍”，故A错误； 对选项B：若，，不满足“多于两倍”，故B错误； 对选项C：由可得，又，因此， 即恒成立，故C正确； 对选项D：若，满足，此时， 不满足“多于三倍”，故D错误. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 【答案】 【详解】设两种药分别配剂，则. 即. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 【答案】 【详解】由该班共有人，这笔开学费用共元，根据题意得. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）某蔬菜收购点租用车辆，将100 t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆大卡车载重8 t，运费960元，每辆农用车载重t，运费360元，运输成本之和不能超过10 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系？请列出来． 【答案】 【详解】设租用大卡车x辆，农用车y辆， 根据题意，应满足如下的不等关系： ①两种车辆的总载重量应该不少于100 t； ②运输成本之和不超过10 000元； ③大卡车不能超过10辆； ④农用车不能超过20辆； ⑤，. 要同时满足以上不等关系，可以用下面的不等式组来表示： ，即 题型02 利用不等式的性质判断正误 5．（26-27高一上·浙江·开学考试）（多选）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 6．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）（多选）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   【答案】ACD 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 7．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 【答案】①③④ 【详解】因为，，所以，，所以，故①成立； 取，，，，代入②，可知②不成立； 因为，由不等式的可加性知，所以③成立； 由知，，由不等式的可加性知，所以④成立． 8．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）（多选）已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，因为，所以. 选项B，若，，满足，但不满足. 选项C，因为，所以，则，所以. 选项D，若，，不满足. 题型03 利用作差法比较大小 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试比较的大小. 【答案】 【详解】因为， 所以. 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 【答案】 ≤ <1 【详解】，当且仅当 时等号成立， 所以 ，所以 11．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以 ， 所以. 故选：B. 12．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 > > 【分析】利用作差法得到结论. 【详解】， ∴， ， ∴， 故答案为：>，>. 题型04 利用作商法比较大小 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较与（且，且）的大小． 【答案】（当且仅当时等号成立） 【分析】由且，且，得，；通过作商法比较与的大小. 【详解】且，且，，. . 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 综上所述，（当且仅当时等号成立）. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 15．（25-26高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 16．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 题型05 利用不等式的性质证明不等式 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 【答案】（1）； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）略 18．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）； （2）证明：因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若，证明：. （2）已知，，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1. 【答案】 （1）要证， 只需证， 只需证,即， 即证. 因为，所以， 即成立， 所以原不等式成立． （2）假设a，b，c均小于1，即，则有， 而， 这与矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1. 【分析】（1）利用分析法进行证明； （2）利用反证法进行证明，先假设a，b，c均小于1，推出，矛盾，假设不成立，从而得到证明. 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26高一上·全国·课后作业）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 【答案】证明:取， 因为，所以，即. 所以 又因为，故， 所以. 【分析】由作差法证明，再由证明. 【详解】略. 题型06 利用不等式的性质求取值范围 21．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为, 所以, 因为, 所以, 所以, 所以. 22．（25-26高一上·辽宁·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由即可求解. 【详解】设， 所以解得，所以. 因为， 所以， 即的取值范围是. 故选：D. 23．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知实数满足，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A和B，根据条件，利用不等式的性质，即可求解；对C，利用，再结合条件，即可求解；对D，利用，再结合条件，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，，两式相加得， 得到，所以A正确， 对于选项B，因为，则，又， 两式相加得，即，所以B正确， 对于选项C，因为，又，， 所以，，则，故C错误， 对于选项D，因为，又，， 所以，，则，所以D正确， 故选：ABD. 24．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）（1）已知，，试判断的大小关系，并给出证明； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1），证明如下： 因为， 所以； （2） 【分析】（1）利用作差法比较的大小. （2）利用不等式的基本性质求的取值范围. 【详解】（1），证明略； （2）因为，所以； 由. 所以， 即. 所以的取值范围为. 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【详解】由条件，又，故， 所以． 故选：B 2．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知x，y满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定目标式与已知代数式的线性关系，再应用不等式性质确定范围即可. 【详解】令， 则， 由，， 所以，即. 故选：B 3．（26-27高一上·全国·课后作业）下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】A.根据等式的性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； B.根据等式性质，可得如果，那么，正确，不符合题意； C.根据等式性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； D.根据不等式的性质，如果，那么，所以，故此选项错误，符合题意. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 5．（25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 6．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法比较大小，即可求解. 【详解】当时，若，则，这是真命题，但是当时，显然，故A错误； 由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误； 由， 因为，所以，即，故C正确； 若，则，这里，不妨取， 则，与相矛盾，故D错误； 故选：C. 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）(多选)下列命题正确的有(　　) A．若，则 B．若，则 C．对任意实数，都有 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法与取反例逐一判断选项即得. 【详解】对于A，由两边同除以，即得，即，故A正确； 对于B，当时，若取满足条件，但，故B错误； 对于C，因，当时，有，即，故C错误； 对于D，由可得，将不等式两边同除以，可得，故D正确. 8．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，由同正可乘方可知，所以选项A正确； 因为，，由不等式的可加性可知，所以选项B正确； 因为，，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项C错误； 因为，由不等式的可乘性（乘以正数）可知， 又因为，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项D正确. 9．（25-26高一上·重庆渝中·期中）（多选）已知，则使得成立的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用充分条件的定义结合不等式的性质求解即可. 【详解】由，可得， 由，得，即， 则，即，即，故A，D正确；B，C错误. 故选：AD. 10．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）（多选）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若实数满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】设，求得的值，再运用不等式的性质可得出代数式的取值范围. 【详解】设，得， 则，解得， 所以， 因为， 所以，， 所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 12．（26-27高一上·全国·课后作业）若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1），分母正负无法确定，故错误； （2）若，故错误； （3）若，故错误. 13．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【详解】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 14．（26-27高一上·山西运城·开学考试）下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 【答案】 ②③ 【分析】由作差法，不等式性质结合题设可得答案. 【详解】对于①，因，则，当且仅当时取等号； 所以，故①不成立； 对于②，因，则；故②成立； 对于③，因，则，又， 则；故③成立； 对于④，，因为，所以， 则，故④不成立. 15．（26-27高一上·全国·课后作业）比较大小. 【答案】 【详解】由于，则. 16．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）（1）已知实数，满足，求和的取值范围 （2）已知满足，求的取值范围 【答案】（1），； （2）. 【分析】（1）先由题得到，再由不等式性质即可得解； （2）由结合不等式性质即可求解. 【详解】（1）因为实数，满足， 所以， 所以，； （2）因为，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $