江苏南通通州、兴化、泗洪2027届高三第一次质量监测数学试卷

2027届高三第一次质量监测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．某同学纪录了我市2026年8月中旬连续6天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：31，29，32，35，35，34，则这6个数据的中位数为 A．31 B．32 C．33 D．34 3．已知，则 A．2 B．4 C．12 D．16 4．“”是“”的 A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若函数（且）的值域为，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知随机变量，，若，，则 A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.1 7．某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为 A． B． C． D． 8．已知定义在上的可导函数满足，且当时，．若，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两个线性相关变量，的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是 1 2 4 5 8 11 15 25 45 A．当时，的估计值为20 B． C．这组数据的样本中心为 D．样本相关系数 10．已知正实数，满足，则下列结论正确的是 A． B．的最小值为2 C．的最小值为4 D．的最小值为2 11．已知直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． A． B．平面 C．点到平面的距离为 D．若平面将棱柱分成两部分的体积分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，的系数为 ▲ ． 13．甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮两次，则甲比乙进球数多1个的概率为 ▲ ． 14．已知函数，若，则的单调增区间是 ▲ ；若有两个零点，则的取值范围是 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知三次函数，． （1）若在处取得极值，求，； （2）若，的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． 16．（15分） 已知函数． （1）判断并证明的单调性； （2）若，，求的取值范围． 17．（15分） 已知集合，．从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合． （1）求从中取出的两个元素之和为偶数的概率； （2）设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与数学期望； （3）若集合中恰有3个元素，求从中取出的两个元素之和为奇数的概率． 18．（17分） 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点． （1）求证：． （2）若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 19．（17分） 对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． （1）若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； （2）设，，，求证：是的“从属函数”； （3）设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三第一次质量监测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 2 3 6 > 8 答案 Q c D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 AC ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.16 13.号 4.(传引 (1,+o) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)f'(x)=32+2bx+1. 由题意，f'1)=3a+2b+1=0,f0)=a+b+1=-1, …4分 解得a=3,b=-5. 此时f'(x)=9x2-10x+1=(x-10(9x-1), 则f)在(0，和Q,+0)上单调递增，在（兮，）上单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极小值，符合题意 所以a=3,b=-5. …7分 （2)当b=-2时，f'(x)=30ax2-4x+1, 所以g(ex)=3ae2x-4ex+1. 令t=ex>0,则问题等价于 方程3at2-4t+1=0在t>0上有两个不同的实根t1,t, 所以a学0,4=16-12a>0,4+5=表>0,46=7>0. …11分 解得0<a< 3 …13分 高三数学参考答案第1页（共7页） 16.(15分) 【解】(1)由生-1>0，解得0<x<4, …2分 所以f(x)在(0,4)上单调递减. 证明如下： 因为f(x)=ln(4-x)-nx+2, 所以f=1-1-2=4-2 x-4 x x2x(x-4)x2' …5分 因为0<<4，所以xG雨<0，子>0， 4 所以∫'(x)<0,所以得证 …7分 (2)由题意，x∈(0,1]，f(x)>f(e), 0<kex<4, 结合单调性得， …10分 [x<kex. 由0<ex<4,得0<k<4 , 因为xe(0.小所以y专的最小值为所以0<k<告 …12分 由x<e,得k> ex· 设8=言，则g)=≥0， er 所以8)在(0,1]上单调递增，[g()】=8①=是 所以>8 综上，k的取值范国是仁，)。 …15分 17.(15分) 【解】(1)从A={1,2,3,4}中取2个，共有C=6种. 若2个元素之和为偶数，则同奇数或同偶数，共2种， 所以取出的2个元素之和为偶数的概率为P-名号 …3分 (2)X的可能取值为2,3,4. 从两个集合中各随机取出2个元素，共有CC=18种可能 …5分 高三数学参考答案第2页（共7页） 当X=2时，只可能A取1,2}且B取{1,2}，共1种， 所以PK=2)点 …6分 当X=3时， 则A取1,2}且B取1,5}或{2,5}：A取1,3}且B取1,2}或1,5}： A取{1,4且B取{1,2}或1,5}：A取{2,3}且B取{1,2}或{2,5}： A取{2,4}且B取1,2}或{2,5}，共10种， 所以PX=)8-多 …8分 当X=4时，PX=用=1-PX=2》-Px=)=18高8 所以X的分布列为： X 3 3 4 1 5 18 18 所以X的数学明望g幻=2×点+3×号+4×8-号. …11分 (3)设事件M=“从A中取出的2个元素之和为奇数”， 事件N=“集合C中恰有3个元素”， 由(2)知，PM=PX=3)=哥 而通过(2)中枚举可知，事件N共有6种， 所以Pa)总-} 所gnMM=器-号=房 …15分 18.(17分) 【解】(1)过点A作AH⊥PC,垂足为H. 因为平面PAC⊥平面PBC, 平面PAC∩平面PBC=PC,AHC平面PAC, 所以AH⊥平面PBC. …2分 因为BCc平面PBC, 所以AH⊥BC. …3分 高三数学参考答案第3页（共7页） 因为PA⊥底面ABC,BCC平面PAB, 所以PA⊥BC. 因为PA,AHc平面PAC,PA∩AH=A, 所以BC⊥平面PAC, 因为ACc平面PAC, 所以AC⊥BC. …6分 (2)(方法一)由PA=2,AC=,BC=n, 所以4超=乙AM-m++4. Vm2+4 因为AM与平面PBC所成角为30°， 连结MH,由(1)知，MH为AM在平面PBC上的射影， 所以∠AMH=30°， 所以摄-n30-号，即m+4m+r+4-咖. …9分 ①当m=2时，得V8V8+n=16,解得n=26, 所以n-Aec2A=传2x262-+5 …12分 ②由Vm2+4.Nm2+n2+4=8,得n'=64m-m-4. 2+4 令1=m+4,则m2=64-+2, 因为1+26≥225-32， 当1=16时，心=64-t+2)取得最大值32. 此时m=25,n=4W2. …14分 分别取AB,AC中点O,Q,连结MO,OQ,MQ, 所以MO∥PA,OQ∥BC. 因为PA⊥底面ABC,所以MO⊥底面ABC, 因为AC⊥BC,所以OQ⊥AC, 所以MQ⊥AC, 即∠MQO是二面角M-AC-B的平面角. 高三数学参考答案第4页（共7页） 在直角三角形MOQ中，MO=1,OQ=2√2， 所以MQ=3, 所以sin∠M00=MQ=1 …17分 (2)(方法二)以C为坐标原点，建立如图所示 的空间直角坐标系， 由PA=2,AC=Im,BC=n, 得A(0,,0),B(,0,0),P(0,,2), 所以M吗罗，)，A=号-受D. 设平面PBC的法向量n=(x,y,z), 由 nLc西，即nc5=w=0, 取n=(0,2,-m n⊥CP，,n.Cp=y+2z=0, 设AM与平面PBC所成角为为6， 则9=ks<n双水网 n-A☑ 2n 2 √m2+44 2+1 4 化简为Vm2+4√m2+n2+4=8.(下同) …9分 19.(17分) 【解】(1)因为f(x)是R上的偶函数，所以f(-x)=f(x), 因为g(x)是f(x)的“从属函数”， 所以0=f(-x)-f(x)≥lg(-x)-8(x), 所以8(x)-8(x)=0,即8(-x)=8(x), 所以g(x)也是偶函数 …3分 (2)(方法一)因为f(x)=x2, 所以f)-f=-x=+x-: 因为x1,x2∈1,2]，且x≠x,所以2<+x<4, 所以f(x)-f(x2)>21-x. 高三数学参考答案第5页（共7页） 因为g)=2W2+1,, 以ww斗司 2=2- 1+x3 所以f(x)-f(x>lg(:)-g(x,符合题意， 所以g(x)是f(x)的“从属函数”. …9分 (方法二)显然f(x),g(x)在[1,2]上都是增函数. 不妨设x,x∈[1,2]，且x>x, 则f(G)-f-lg()-8, =[fx)-fx)]-[gx)-g(x)]=[fx)-g(x】-[fx)-gx】. 设t(x)=f(x)-g(x),x∈[1,2]， 即tw)=x2-2x2+1,x∈[1,2]， m-高 因为x∈[1,2]，所以t'(x)>0, 即t(x)在1,2]上单调递增， 所以t(x)>t(x2),即f()-8()>f(x)-8(x), 所以fx)-f(x,>g(出)-gx,符合题意， 所以g(x)是f(x)的“从属函数”. …9分 (3)由函数f(x)在区间(0，+0)上存在两个零点，，x2, 所以f(x)=f(x). 又g)=是+2血x-3是)的“从属函数”， 所以0=f(x)-f(x,≥lg)-8(x: 高三数学参考答案第6页（共7页） 所以g(x1)=8(x3), 即宁+2血k-3+2n3. …11分 令X=5,=5,即上+nt-3=+nt,-3, t 记0)=子+lnt-3,即)=ht,). 因为0=片}分， 当t<1时，t)<0:当t>1时，H()>0, 所以)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增. 要证x2+x号>2，即证t1+t2>2, 不妨设0<t<1<t,,即证t2>2-(>1, 只需证ht)>h(2-t),即证h(G)>h(2-) …14分 设H0=0-A2-,即H0-片+n-2n(2-少小， 肉为0-号石0女都牙s0 所以H()在(0，+o)是减函数，且H①)=0. 又0<t<1,则H(G)>H)=0, 即t)-h(2-)>0,则h()>h(2-)得证. 所以x+x>2. …17分 高三数学参考答案第7页（共7页）