山东济南市2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试题

绝密★启用并使用完毕前 2026-2027学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则的虚部为 A．1 B．3 C． D． 2．记为等差数列的前项和，若，，则 A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知向量，，若，则 A． B． C． D．5 4．已知表示，中的最小者，则函数的最大值为 A．0 B．1 C．3 D．4 5．以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为 A． B． C． D． 6．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为 A． B． C． D． 7．已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为 A． B． C． D． 8．在直角中，，是内一点，，则的面积为 A．6 B．8 C．10 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10.2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注．某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则 A． B．当时，残差为0.02万人 C．预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 D．表中数据的第80百分位数为1.7 11．已知函数，其导函数为，则 A．当时，有且只有1个零点 B．若，则 C．若恰有2个零点，，则 D．若恰有3个极值点，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则___________． 13．在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为___________． 14．已知数列满足，记为的前项积，若，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）若，求的最值及相应的取值． 16．（本小题满分15分） 2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务．已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为．各架无人机投送成功与否相互独立． （1）救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； （2）救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望． 17．（本小题满分15分） 已知函数，其导函数为． （1）当时， （ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）若函数，求的极值； （2）讨论零点的个数． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为． （1）求的方程； （2）设直线与交于，两点，为坐标原点． （ⅰ）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ⅱ）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 19．（本小题满分17分） 已知对于给定且，正整数可唯一表示为（且，其中，，，…，，），此表达式称为的进制表示．例如，此表达式称为2026的八进制表示．对的进制表示． （1）若，求的最大值（结果用表示）； （2）若互不相同，且，求的最大值（结果用表示）； （3）若且，是否存在最大值，若存在，求出的值及对应数组，若不存在，说明理由． 2026-2027学年高中三年级摸底考试 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C B D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）， 所以； 令，解得， 故单调递增区间为． （2），则， 当时，最大值；当时，最小值． 16．【解析】（1）设事件“至少1架投送成功”，则事件“2架投送全部失败”． ，所以． （2）由题意，， 即得的分布列为． 用表格表示的分布列，如下表所示． 0 1 2 3 17．【解析】（1）（i），所以切点为， 又，所以， 所以切线方程为，即． （ii）， 所以，令，解得， 当变化时，的变化情况，如下表所示． （0，1） 1 （1，+∞） + 0 - 单调递增 -1 单调递减 当时，有极大值，极大值为，无极小值． （2），所以， 令，解得． 当时，单调递减；当时，单调递增． 所以当时，取得最小值，最小值为； ①当，即时，恒成立，所以无零点； ②当，即时，，所以有1个零点； ③当，即时，；当时，；当时，， 所以在和上各有一个零点，即有2个零点． 综上：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点． 18．【解析】（1）由已知得，得，所以． （2）（i）由已知得， 联立得， ， 设点到的距离为， 因为，所以． （ii），设，则， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或． 19．【解析】（1）若，因为， 所以， 故此时的最大值为，当时，取等． （2）由知成等差数列， 又为互不相同的整数且，故其公差不为0，所以， 又因为， 要求最大值，所以，且， 故，① 令② ③ ③式一②式知， 所以，即，当且时取等． 学科网（北京）股份有限公司 $