29.2.3 圆周角（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦圆周角定理推论（直径所对圆周角是直角及逆命题），通过生活情境（直角三角板检查工件、测量圆形零件直径）导入，衔接上节课圆周角定理，从一般到特殊构建知识脉络。 以任务驱动（测量、逆向证明）引导学生自主探究，融合逻辑推理（推论证明）、几何直观（构造直角三角形）、数学运算（例1角度与线段计算），分层训练兼顾差异，助力教师突破难点，提升学生解决综合问题能力与数学思维。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 29.2.3 圆周角（第2课时）——直径所对的圆周角 课 型 新授课 教学 目标 1.掌握圆周角定理的两个推论：推论1（同弧或等弧所对的圆周角相等）；推论2（直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径）。 2.能运用推论解决角度计算、线段计算和证明问题，学会构造"直径对直角"的辅助线。 3.在探究推论的过程中，体会从一般到特殊的数学思想和逆向思维方法。 ★核心素养：逻辑推理（推论证明与应用）、几何直观（构造直角三角形）、数学运算（直角三角形计算） 重点 推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 ★关键：看到直径想直角，看到直角想直径——构造直角三角形是常用技巧 难点 灵活运用"直径所对圆周角是直角"构造直角三角形解决综合问题，以及推论的逆向应用（90°圆周角→直径）。 ★突破策略：①牢记"见直径连圆周上点得直角"；②逆向思维：见直角三角形考虑外接圆直径为斜边；③结合勾股定理计算 教学 方法 推论推导法、逆向思维法、构造辅助线法、应用训练法 ★学法指导：一般→特殊（直径情形），正向→逆向（直角→直径），构造直角三角形解题 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.生活情境： ①用直角三角板检查一个工件的凹面是否为半圆形：将直角顶点放在圆弧上，如果两边与圆弧的交点连线恰好通过圆心，说明是半圆。为什么？ ②小明想用直角尺测量一个圆形零件的直径：将直角尺的顶点放在圆周上，两边与圆交于A、B两点，量出AB的长度就是直径。这是什么原理？ ③建筑工人用"三弧法"找圆心：在圆上取三点，作两个直角，直角边的交点就是圆心。 2.互动提问： ①上节课学了圆周角定理，如果圆周角所对的弧是半圆（即弦是直径），这个圆周角是多少度？ ②反过来，如果一个圆周角是90°，它所对的弦是什么？ 3.揭示课题：今天我们学习圆周角定理的推论——直径所对的圆周角。 任务驱学 任务1：在⊙O中作直径AB，在圆上任取一点C（不与A、B重合），连接AC、BC，用量角器测量∠ACB的度数。 任务2：改变点C的位置，多次测量∠ACB，发现始终等于90°，归纳：直径所对的圆周角是直角。 任务3：逆向思考：如果∠ACB=90°，连接OC，利用直角三角形斜边中线性质，证明AB是直径。 【设计意图】通过测量和逆向证明，让学生自主发现两个推论，培养探究能力和逆向思维。 二次备课 二、合作探究 探究1 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等。 （由圆周角定理直接推出：同弧所对圆周角都等于圆心角的一半，所以相等） 探究2 推论2——直径所对的圆周角是直角 已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点。 求证：∠ACB=90°。 证明：∵AB是直径，∴弧AB是半圆，弧AB的度数为180°， ∴弧AB所对的圆心角∠AOB=180°（平角）。 由圆周角定理：∠ACB=∠AOB=×180°=90°。 探究3 推论2的逆命题——90°的圆周角所对的弦是直径 已知：在⊙O中，∠ACB=90°。 求证：AB是⊙O的直径。 证明：连接OC。 ∵∠ACB=90°，OA=OB=OC（同圆半径相等）， ∴OC是Rt△ACB斜边AB上的中线， ∴OC=AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， 又∵OC是半径r，∴AB=2r，即AB是直径。 ★深度剖析： ①推论2是圆周角定理的特殊情形（圆心角=180°时，圆周角=90°）； ②"直径对直角"和"直角对直径"是互逆的，都成立； ③推论2的应用：看到直径，连接直径端点与圆上一点，构造直角三角形；看到直角三角形，考虑其外接圆直径为斜边。 ★易错点提示： ①直径所对的圆周角是直角，但不是所有圆周角都是直角（只有所对弦为直径时才是）； ②逆向应用时，必须确认角的顶点在圆上，否则不能推出弦是直径； ③构造辅助线时，要连接的是直径的两个端点与圆上的点，不是任意两点。 ★数学思想渗透： 从一般到特殊：由一般圆周角定理推出直径的特殊情形； 逆向思维：正向（直径→直角）和逆向（直角→直径）双向应用； 构造思想：通过作辅助线构造直角三角形解决问题。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，AB=8，求∠ABC的度数和BC的长。 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。 在Rt△ABC中，∠ABC=180°-90°-30°=60°。 ∵∠BAC=30°，∴BC=AB=×8=4（直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半）。 答：∠ABC=60°，BC=4。 【方法总结】看到直径，立即想到直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形后利用三角形内角和及特殊角性质计算。 例2 如图2，已知AB是⊙O的直径，求证：∠ACB=90°。 证明：连接OC。 ∵OA=OC（同圆半径相等），∴△OAC是等腰三角形，∠A=∠ACO。 ∵OB=OC，∴△OBC是等腰三角形，∠B=∠BCO。 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， 即∠A+∠B+(∠ACO+∠BCO)=180°， 2∠ACO+2∠BCO=180°， ∴∠ACO+∠BCO=90°，即∠ACB=90°。 【方法总结】证明直径对直角，可通过连接半径，利用等腰三角形性质和三角形内角和证明。 例3 已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，求△ABC外接圆的半径。 解：∵∠ACB=90°，∴AB是△ABC外接圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。 ∴外接圆半径=AB=×10=5。 【方法总结】直角三角形的外接圆直径就是斜边，半径=斜边的一半。这是推论2逆向应用的典型。 二次备课 展示交流，深化理解 1.学生板演例1的计算过程，小组互评是否正确构造了直角三角形。 2.讨论问题： ①在圆中，看到直径应该想到什么？（直径所对圆周角是直角，构造直角三角形） ②在直角三角形中，斜边与外接圆有什么关系？（斜边是外接圆直径） ③如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，这个三角形是什么三角形？（直角三角形，与推论2互证） 3.教师强调： ①"见直径想直角"是圆中最重要的辅助线技巧之一； ②"见直角想直径"是逆向应用，常用于确定圆心或求外接圆半径； ③推论2常与勾股定理、特殊直角三角形结合使用。 ★拓展思考：如果AB是直径，C、D是圆上两点，∠ACB和∠ADB有什么关系？（都是90°，所以A、B、C、D四点共圆且AB为直径） 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：直径所对的圆周角是____；90°的圆周角所对的弦是____。 （答案：直角；直径） 2.填空：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，则其外接圆半径为____。 （答案：6） 3.选择：AB是⊙O的直径，C在圆上，∠A=40°，则∠B=（　） A.40° B.50° C.60° D.70° （答案：B，∠ACB=90°，∠B=50°） 4.解答：如图1，AB是直径，AB=10，AC=6，求BC的长。 （答案：∠ACB=90°，BC=√(10²-6²)=8） 5.拓展：在⊙O中，AB是直径，C是圆上一点，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，求CD的长。 （答案：AB=10，面积法：CD===4.8） 【分层设计】1-3题为基础题，4题为中档题，5题为稍难题 二次备课 课 堂 小 结 1.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 2.推论2：直径所对的圆周角是直角（∠ACB=90°）。 3.推论2逆命题：90°的圆周角所对的弦是直径。 4.常用辅助线：见直径→连圆上点→构造直角三角形；见直角→斜边为外接圆直径。 5.直角三角形外接圆：直径=斜边，半径=斜边。 ★知识网络：圆周角定理→（特殊化）→直径对直角→（逆向）→直角对直径→构造Rt△ 课后 作业 1.必做：课本29.2.3练习第2题；习题29.2第7、8题。 2.选做： ①用直角尺测量一个圆形物体的直径，写出测量方案和原理； ②思考：如何利用"直径对直角"在圆中作一个直角三角形？ 3.预习：阅读课本29.2.4，了解圆内接四边形的性质。 板 书 设 计 29.2.3 直径所对的圆周角 一、推论1：同弧或等弧所对圆周角相等 二、推论2：直径所对圆周角=90° AB为直径 → ∠ACB=90° 三、逆命题：90°圆周角所对弦是直径 ∠ACB=90° → AB为直径 四、辅助线技巧 见直径 → 连圆上点 → Rt△ 见直角 → 斜边为外接圆直径 五、Rt△外接圆：r=斜边 课 后 反 思 教学反思 1.从生活中的测量情境引入，学生能感受到推论的实际应用价值，学习动机较强。 2."见直径想直角"的辅助线技巧是本节课核心，通过例1的训练学生基本掌握，但在复杂图形中仍需提醒。 3.例2的证明（连接半径利用等腰三角形）帮助学生从另一个角度理解推论，效果较好。 4.逆向应用（直角→直径）是学生的薄弱环节，部分学生想不到直角三角形的外接圆直径就是斜边，需要加强。 5.拓展题（面积法求高）综合性较强，涉及垂径定理和推论2，对学有余力的学生有较好的提升作用。 6.改进方向：可增加更多综合题训练，将推论2与勾股定理、面积法、垂径定理结合；可利用几何画板动态演示直径所对圆周角恒为90°，增强直观性。 学科网（北京）股份有限公司 $