4.2.1　第1课时　等差数列的概念课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、通项公式、等差中项及与一次函数的关系，通过生活实例导入，结合“填一填”“练一练”等自主学习环节，搭建从数列概念到等差数列的学习支架，帮助学生逐步抽象数学对象。 其亮点在于分层设计与核心素养融合，自主学习中“概念提醒”培养数学眼光的抽象能力，互动探究中证明题（如构造新数列）发展数学思维的推理意识，高效课时作业结合高考真题提升数学语言的应用能力。既助学生构建知识体系，又为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

第四章　数列 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 2 差 同一个常数 公差 d 自主学习通道 自主学习通道 A a＋b a1＋(n－1)d k＋b k 自主学习通道 √ × × √ 自主学习通道 ABD A 自主学习通道 46 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 D 2 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 C C an＝5n－3 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 10 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 ABC 巩固提升通道 A 巩固提升通道 B 巩固提升通道 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AB 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 等边三角形 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 n－1(答案不唯一) 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念及通项公式的意义.2.体会等差数列与一次函数的关系． 填一填 1．等差数列的概念 条件 从第 eq \o(□,\s\up3(1)) 项起，每一项与它的前一项的 eq \o(□,\s\up3(2)) 都等于 eq \o(□,\s\up3(3)) 结论 这个数列就叫做等差数列 有关 概念 这个常数叫做等差数列的 eq \o(□,\s\up3(4)) ，通常用字母 eq \o(□,\s\up3(5)) 表示 【提醒】　对等差数列概念的理解 (1)“从第2项起”是因为第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合； (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序，②这两项必须相邻； (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 2．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时， eq \o(□,\s\up3(6)) 叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝ eq \o(□,\s\up3(7)) ． 3．等差数列的通项公式 (1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝ eq \o(□,\s\up3(8)) ． (2)等差数列与一次函数的关系： ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上． ②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，…构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为 eq \o(□,\s\up3(9)) ，公差为 eq \o(□,\s\up3(10)) ． 练一练 1．判断正误 (1)数列4，4，4，…是等差数列．(　　) (2)若数列{an}的通项公式为an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,n＋1，n≥2，))则{an}是等差数列．(　　) (3)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (4)若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定是等差数列．(　　) 2．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　 　) A．2，5，8，11 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 解析　A、B、D项满足等差数列的定义，是等差数列；C项，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．故选ABD. 3．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝3n－1 B．an＝2n＋1 C．an＝2n＋3 D．an＝3n＋2 解析　an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.故选A. 4．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是 ． 解析　公差d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46. 类型一　等差中项及其应用　　　　　　　　　自主探究 1．如果3是2a与a－6的等差中项，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 解析　由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4. 2．一个等差数列的前4项是1，x，a，2x，则x＝ . 解析　由已知得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＝1＋a，,2a＝3x，))可得2x＝1＋ eq \f(3x,2)，解得x＝2. 3．已知a＝ eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝ eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a与b的等差中项是 ． eq \r(3) 解析　因为a＝ eq \f(1,\r(3)＋\r(2))＝ eq \r(3)－ eq \r(2)，b＝ eq \f(1,\r(3)－\r(2))＝ eq \r(3)＋ eq \r(2)，所以 eq \f(a＋b,2)＝ eq \r(3). 等差中项的应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，根据等差中项的定义得A＝ eq \f(x＋y,2). (2)证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 类型二　等差数列的通项公式及其应用 【例1】　(1)(2023·广州联考)已知数列{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列，若an＝2 022，则n＝(　　) A．504 B．505 C．506 D．507 (2)在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是(　　) A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项 (3)在等差数列{an}中，若a3＝12，a6＝27，则其通项公式为 ． [解析]　(1)根据题意，数列{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝4n－2，若an＝2 022，则有4n－2＝2 022，解得n＝506. (2)等差数列的首项a1＝40，公差d＝－3，所以an＝40－3(n－1)＝43－3n.令an＝43－3n＜0，解得n＞ eq \f(43,3). 因为n∈N*，所以满足条件的最小的正整数n为15，即第一个负数项是第15项． (3)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝12，,a1＋5d＝27，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝5，)) 故an＝2＋5(n－1)＝5n－3. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个基本量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． (3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，可把an看作自变量为n的一次函数． [跟踪训练1]　在等差数列{an}中，求解下列各题： (1)已知公差d＝－ eq \f(1,3)，a7＝8，则a1＝ ； (2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝ ； (3)若a1＝ eq \f(1,25)，公差d＞0，且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列的公差d的取值范围是 ． － eq \f(1,2) eq \f(8,75)＜d≤ eq \f(3,25) 解析　(1)由题意，得a1＋6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝8，解得a1＝10. (2)依题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝0，,(a1＋6d)－2(a1＋3d)＝－1，)) 解得d＝－ eq \f(1,2). (3)依题意应有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a10＞1，,a9≤1，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d＞1，,\f(1,25)＋8d≤1，)) 解得 eq \f(8,75)＜d≤ eq \f(3,25). 类型三　等差数列的判定与证明 【例2】　(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列． (2)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n+1，证明 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))为等差数列，并求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：因为数列{an}是等差数列，所以可设其公差为d，则an＋1－an＝d.由bn＝2an＋3，得bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，所以数列{bn}是等差数列． (2)由于an＋1＝2an＋2n+1，所以 eq \f(an＋1,2n+1)－ eq \f(an,2n)＝ eq \f(2an＋2n+1,2n+1)－ eq \f(an,2n)＝1，又 eq \f(a1,2)＝1，所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是以1为首项，1为公差的等差数列．所以 eq \f(an,2n)＝1＋(n－1)×1＝n.所以an＝n·2n. 1．证明一个数列是等差数列的方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． 2．若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可． [跟踪训练2]　已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(p，q∈R). (1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？ (2)求证：数列{an＋1－an}是等差数列． 解　(1)若{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，又2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，所以2p＝0，即p＝0.所以p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列． (2)证明：因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，所以(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p是一个与n无关的常数，所以数列{an＋1－an}是等差数列． 1．知识清单 (1)等差数列的有关概念． (2)等差数列的通项公式及其应用． (3)等差数列的判定与证明． (4)等差数列的通项公式与函数的关系． 2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法． 3．常见误区：易忽略等差数列通项公式与函数关系中公差d＝0的情况． 1．(多选)下列数列是等差数列的是(　 　) A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C． eq \f(1,3)， eq \f(2,3)，1， eq \f(4,3)， eq \f(5,3) D．－3，－2，－1，1，2 解析　由等差数列的定义得，对于A，公差d＝0，是等差数列；对于B，公差d＝3，是等差数列；对于C，公差d＝ eq \f(1,3)，是等差数列；对于D，每一项与前一项的差不是同一个常数，不是等差数列． 2．若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为3的等差数列 C．是公差为5的等差数列 D．不是等差数列 解析　an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列． 3．(2024·青岛二中月考)在等差数列{an}中，若a1＝2，a2＝4，则a4＝(　　) A．6　　 B．8 C．16　　 D．32 解析　因为在等差数列{an}中，a1＝2，a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，则a4＝a1＋3d＝2＋3×2＝8. 4．(2023·湖南长沙期中)已知数列{an}是等差数列，a1与a3的等差中项为 eq \f(1,2)，a2与a4的等差中项为1，则公差d＝ ． eq \f(1,2) 解析　由题意知a2＝ eq \f(1,2)，a3＝1，则d＝a3－a2＝ eq \f(1,2). 基础巩固 1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于(　　) A．45 B．41 C．39 D．37 解析　设数列{an}的公差为d，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝5，,a6＝a1＋5d＝17，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝3，))所以a14＝a1＋13d＝2＋13×3＝41. 2．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列 解析　由题意知an＝2n＋1，则an＋1－an＝2.故选A. 3．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为(　　) A． eq \f(3,4) B．－ eq \f(3,4) C．－ eq \f(6,7) D．－1 解析　设原等差数列的公差为d，则新等差数列的公差为 eq \f(d,2).由题意知8＋4d＝2，解得d＝－ eq \f(3,2)，因此新等差数列的公差为－ eq \f(3,4). 4．(多选)若a，b，c成等差数列，则(　　) A．3a，3b，3c成等差数列 B．log3a，log3b，log3c成等差数列 C．a－1，b－1，c－1成等差数列 D．3a，3b，3c成等差数列 解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c. A项中2×3b＝3a＋3c，故A正确；B项中2log3b＝log3b2≠log3a＋log3c＝log3(ac)，故B不正确；C项中2(b－1)＝a－1＋c－1，故C正确；D项中2×3b≠3a＋3c，故D不正确． 5．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a与b的关系可以为(　　) A．a＝－b B．a＝3b C．a＝b D．a＝－3b 解析　由等差中项的定义知x＝ eq \f(a＋b,2)，x2＝ eq \f(a2－b2,2)，所以 eq \f(a2－b2,2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up32(2)，即2(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)2，所以(a＋b)(a－3b)＝0，故a＝－b或a＝3b. 6．(多选)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d可能是(　 　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　由题可设an＝3＋(n－1)d，令2 019＝3＋(n－1)d，则n＝ eq \f(2 016,d)＋1.因为2 019是该数列的一项，且d∈N*，所以d是2 016的约数，选项当中2，3，4均为2 016的约数，只有5不是2 016的约数，故选ABC. 7．已知数列{an}满足a eq \o\al(2,n＋1)＝a eq \o\al(2,n)＋4，且a1＝1，an>0，则an＝ ． eq \r(4n－3) 解析　由a eq \o\al(2,n＋1)－a eq \o\al(2,n)＝4，知数列{a eq \o\al(2,n)}成等差数列，且a eq \o\al(2,1)＝1，∴a eq \o\al(2,n)＝1＋(n－1)×4＝4n－3.又∵an>0，∴an＝ eq \r(4n－3). 8．已知△ABC中三边长a，b，c成等差数列， eq \r(a)， eq \r(b)， eq \r(c)也成等差数列，则△ABC的形状为 ． 解析　因为a，b，c成等差数列， eq \r(a)， eq \r(b)， eq \r(c)也成等差数列，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,,2\r(b)＝\r(a)＋\r(c)，))则2(a＋c)＝( eq \r(a)＋ eq \r(c))2，即a＋c＝2 eq \r(ac)，所以( eq \r(a)－ eq \r(c))2＝0，故a＝c＝b，所以△ABC为等边三角形． 9．已知等差数列{an}：3，7，11，15，…. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)135，4b＋19(b∈N*)是数列{an}中的项吗？若是，是第几项？ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d. 依题意，得a1＝3，d＝7－3＝4， 故an＝3＋4(n－1)＝4n－1. (2)令an＝4n－1＝135，解得n＝34， 故135是数列{an}的第34项． ∵4b＋19＝4(b＋5)－1，且b∈N*， ∴4b＋19是数列{an}的第(b＋5)项． 10．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*). (1)记bn＝log2(an＋1)，判断{bn}是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列{an}的通项公式． 解　(1){bn}是等差数列，理由如下： 因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，所以an>0. b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1， 当n≥2时，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)＝log2 eq \f(an＋1,an－1＋1)＝log2 eq \f(2an－1＋1＋1,an－1＋1)＝log2 eq \f(2an－1＋2,an－1＋1)＝log22＝1， 所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得bn＝1＋(n－1)×1＝n， 所以an＋1＝2bn＝2n，所以an＝2n－1. 能力提升 11．(多选)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则(　 　) A．a3a6＞a4a5 B．a3a6＜a4a5 C．a3＋a6＝a4＋a5 D．a3a6＝a4a5 解析　因为a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，所以a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a eq \o\al(2,1)＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a eq \o\al(2,1)＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2＜0，故a3＋a6＝a4＋a5，a3a6＜a4a5.故选BC. 12．(2023·舟山期末)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　) A．24 B．23 C．22 D．21 解析　由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－ eq \f(2,3)，所以数列{an}是首项a1＝15，公差d＝－ eq \f(2,3)的等差数列，所以an＝15－ eq \f(2,3)(n－1)＝－ eq \f(2,3)n＋ eq \f(47,3)，所以{an}为递减数列．由ak·ak＋1<0，得ak>0，ak＋1<0.令an＝－ eq \f(2,3)n＋ eq \f(47,3)＝0，得n＝ eq \f(47,2)，所以a23>0，a24<0，所以k＝23.故选B. 13．(2024·无锡期末)写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝ ． ①{an}是递增的等差数列； ②a1－a3＋2a4＝4. 解析　设等差数列{an}的公差为d，由①可知d>0，取d＝1，由a1－a3＋2a4＝4，得a1－a1－2d＋2a1＋6d＝4，所以a1＋2d＝2，则a1＝0，所以数列{an}的一个通项公式为an＝0＋1×(n－1)＝n－1. 多元数学 14． eq \a\vs4\al(（逻辑推理）)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*). (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由． 解　(1)∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)，∴a2＝(λ－3)a1＋2，又a1＝2，a2＝－1， ∴λ＝ eq \f(3,2).∴a3＝－ eq \f(3,2)a2＋22＝ eq \f(11,2). (2)不存在．∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13＝－3<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在实数λ使数列{an}为等差数列． $