第5讲：全称量词与存在量词讲义【八大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，系统梳理量词概念、命题形式及否定规则，构建从概念辨析到命题判断、改写，再到真假判断、参数求解及综合应用的递进式学习支架。 资料以八类题型为框架，例题与变式结合，通过具体问题培养学生抽象能力（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）和符号表达（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，有效弥补知识盲点。

第5讲：全称量词与存在量词 题型一、全称量词命题与存在量词命题判断 1 题型二：用全称量词或存在量词改写命题 3 题型三：命题真假的判断 4 题型四、由全称量词命题的真假求参数 6 题型五：由存在量词命题的真假求参数 7 题型六：含有一个量词的命题的否定 8 题型七：含有一个量词的命题的否定的应用 9 题型八、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 10 知识点一　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点二　含量词的命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一、全称量词命题与存在量词命题判断 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【详解】全称量词命题的特征是含有全称量词（如“任何一个”“任意一个”“每一个”等），表述对指定范围内所有对象都成立的判断： 选项A：含全称量词“任何一个”，是全称量词命题； 选项B：含全称量词“任意一个”，是全称量词命题； 选项C：含全称量词“每一个”，是全称量词命题； 选项D：中的“存在”是存在量词，该命题是存在量词命题，不属于全称量词命题. 【变式1】．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 【变式2】．（23-24高一上·广东深圳·阶段检测）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念，以及真假判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题； B中，该命题是存在量词命题且是真命题； C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题； D中，该命题是存在量词命题且是假命题. 故选：C. 题型二：用全称量词或存在量词改写命题 【例2】．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可. 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. 【变式1】．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的意义，改写命题. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 题型三：命题真假的判断 【例3】．（25-26高一上·湖南·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 【答案】(1)存在量词命题，该命题是真命题； (2)全称量词命题，该命题是假命题； (3)存在量词命题．该命题是真命题； (4)全称量词命题，该命题是真命题. 【详解】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题， 比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题； 对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题. 比如，是实数，但没有算术平方根，所以该命题是假命题； 对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题． 比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题； 对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量 词命题. 因反比例函数的解析式形如，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列命题的真假： (1)； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点P. 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)真命题 【详解】（1）因为－1∈Z，且(－1)3＝－11，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． （2）存在一个四边形不是平行四边形是真命题，如梯形． （3）在平面直角坐标系中，有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知， 任意有序实数对都对应一点P是真命题． 【变式2】．（2025高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】利用全称，存在量词命题的定义进行判断，并判断命题的真假. 【详解】（1）（3）是全称量词命题，（2）（4）是存在量词命题． （1）菱形对角线所在直线为其对称轴，所以该命题是真命题． （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． （3）存在，但，所以该命题是假命题． （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是假命题． 题型四、由全称量词命题的真假求参数 【例4】．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而可求得的取值范围. 【详解】由命题 “”为真命题，即不等式在上恒成立， 所以，当，可得，所以. 故选：D. 【变式1】．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 【变式2】．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【详解】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 题型五：由存在量词命题的真假求参数 【例5】．（2025·陕西汉中·一模）若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解出即可求解. 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 【变式1】．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中两个命题的真假求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系可得结论. 【详解】当时，；当时，. 若“，”为真命题，则； 若“，”为假命题，即命题“，”为真命题，所以，， 所以，，由题意可知，且， 故符合条件集合可为. 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·天津和平·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可知方程无实数根，讨论与0的关系即可列出不等式求解. 【详解】命题“，”为假命题， 则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A. 题型六：含有一个量词的命题的否定 【例6】．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据原命题为假，则否命题为真，写出否命题，由题意列不等式求解即可. 【详解】命题“”为假命题， 则其否定为：“”真命题， 所以，解得. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·浙江宁波·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题的否定的定义直接得解. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C 【变式2】．（25-26高一上·安徽·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可． 【详解】由命题否定的定义可知，命题“”的否定是 “”． 故选：D． 题型七：含有一个量词的命题的否定的应用 【例7】．（25-26高一上·浙江·期中）命题“，”的否定形式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定的定义，分析即可得答案. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：B 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 【变式2】．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因为，所以， 又命题“，”为假命题， 即，即． 【变式3】．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知命题，命题有实数根，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【详解】由命题为真命题可得，，故； 由命题有实数根为真命题可得，，即. 而为假命题，则为真命题，即.若为真命题，为假命题只需：，解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型八、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 【例8】．（2025高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 【变式1】．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知，命题恒成立；命题存在，使得． (1)若p为真命题，求m的取值范围； (2)若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）∵∴，解得，故实数m的取值范围是， ∴m的最大值为3； （2）当q为真命题时，则，解得，∵p，q有且只有一个真命题， 当p真q假时，，解得；当p假q真时，，解得； ∴或． 【变式2】．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)R. 【详解】（1）因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 （2）若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R. 一、单选题 1．（26-27高三上·辽宁·开学考试）命题:，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可. 【详解】由题意得命题的否定是，. 2．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知命题：；命题：，则（ ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于含全称量词的命题和含存在性量词的命题的真假性的判断，可以利用特殊值检验，找是否有一个条件让全称量词命题不成立或者存在量词命题成立可以判断真假性. 【详解】已知命题：， 当时，，所以是假命题，则是真命题； 命题：， 当时，，所以是真命题，则是假命题. 3．（26-27高一上·北京石景山·开学考试）下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】A选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确； B选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，该菱形有一个角为直角，则为正方形，正确； D选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，错误. 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 5．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 6．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）已知命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析可得命题为真命题，命题为真命题，再由逻辑联结词“且”可得，两个命题同为真时，复合命题才能为真. 【详解】由题可知若，解得，即当时，，， 故命题为真命题，为假命题； 对于，，故，， 故命题为真命题，为假命题； 再根据逻辑联结词且联结的两个命题同真为真，有假则假，故为真命题. 故选：A. 二、多选题 7．（25-26高二下·江西上饶·期末）以下四个命题中，是真命题的有（    ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，” C． D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【详解】选项A：对两边同乘负数，可得；对 两边同乘负数，可得 ； 因此正确的大小关系为，因此A为假命题； 选项B：原命题“”的否定应为“”， B错误改变了的范围，因此B是假命题； 选项C：对配方得， 因为，所以对任意恒成立，因此C是真命题； 选项D：必要性：若 成立，则一定满足 ，必要性成立； 充分性：若成立，无法推出一定满足，充分性不成立. 则“”是“”的必要不充分条件，因此D为真命题. 8．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．设，，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要而不充分条件 【答案】ABD 【分析】对于ACD，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误． 【详解】对于A，由可得：或， 因为可以推出或，或推不出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确． 对于B，命题“，”的否定是“，”，故B正确． 对于C，当且时，有， 取，满足，但且不成立， 故“且”是“”的充分而不必要条件，故C错误． 对于D，取，，此时，故不成立， 当时，必有， 故“”是“”的必要而不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 9．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）下列说法中正确的有（    ） A．已知为全集，、均为其子集，若，则 B．“”是“”的必要条件 C．若命题“，”是真命题，则的取值范围为 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据补集的性质判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B，参变分离，即可判断C，利用韦达定理即可判断D. 【详解】对于A，已知为全集，、均为其子集，因为，根据补集的性质可知，故A正确； 对于B，不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，，即， 即，故的取值范围为，故C正确； 对于D，关于的方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】，，∴， 所以实数的取值范围是. 11．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 12．（2026·北京·三模）能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 【答案】2，2，3（也可取3，4，5，答案不唯一） 【分析】选取满足且的正实数即可. 【详解】若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题； 若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题. 四、解答题 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)； (2)所有的正方形都是矩形； (3)对任意，的个位数字不等于3； (4)正数的绝对值是它本身． 【答案】(1)，假命题. (2)至少存在一个正方形不是矩形，假命题. (3)至少存在一个，的个位数等于3，假命题. (4)有的正数的绝对值不是它本身，假命题. 【详解】（1）命题“”的否定是“”， 由于，则，所以原命题的否定是假命题. （2）命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“至少存在一个正方形不是矩形”， 由于所有的正方形都是矩形，所以原命题的否定是假命题. （3）命题“对任意，的个位数字不等于3”的否定是“至少存在一个，的个位数等于3”， 由于整数平方的个位数字只能是，不可能为，所以原命题的否定是假命题. （4）命题“正数的绝对值是它本身”的否定是“有的正数的绝对值不是它本身”， 由于所有正数的绝对值都等于它本身，所以原命题的否定是假命题. 14．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式， 则，即且. 综上所述，实数的取值集合 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集， ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得. 综上，可得， 即实数的取值范围是. 15．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 16．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在实数使得， 因为集合，集合， 所以，解得，显然无解， 所以不存在实数使得 （2）存在，；（3）；（4） 【详解】解：（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲：全称量词与存在量词 题型一、全称量词命题与存在量词命题判断 2 题型二：用全称量词或存在量词改写命题 2 题型三：命题真假的判断 3 题型四、由全称量词命题的真假求参数 3 题型五：由存在量词命题的真假求参数 4 题型六：含有一个量词的命题的否定 4 题型七：含有一个量词的命题的否定的应用 5 题型八、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 5 知识点一　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点二　含量词的命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一、全称量词命题与存在量词命题判断 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【变式1】．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【变式2】．（23-24高一上·广东深圳·阶段检测）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 题型二：用全称量词或存在量词改写命题 【例2】．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【变式1】．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 题型三：命题真假的判断 【例3】．（25-26高一上·湖南·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列命题的真假： (1)； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点P. 【变式2】．（2025高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 题型四、由全称量词命题的真假求参数 【例4】．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五：由存在量词命题的真假求参数 【例5】．（2025·陕西汉中·一模）若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·天津和平·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六：含有一个量词的命题的否定 【例6】．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·浙江宁波·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·安徽·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 题型七：含有一个量词的命题的否定的应用 【例7】．（25-26高一上·浙江·期中）命题“，”的否定形式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【变式2】．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【变式3】．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知命题，命题有实数根，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________. 题型八、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 【例8】．（2025高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【变式1】．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知，命题恒成立；命题存在，使得． (1)若p为真命题，求m的取值范围； (2)若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 【变式2】．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（26-27高三上·辽宁·开学考试）命题:，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知命题：；命题：，则（ ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．（26-27高一上·北京石景山·开学考试）下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）已知命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二下·江西上饶·期末）以下四个命题中，是真命题的有（    ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，” C． D．“”是“”的必要不充分条件 8．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．设，，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要而不充分条件 9．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）下列说法中正确的有（    ） A．已知为全集，、均为其子集，若，则 B．“”是“”的必要条件 C．若命题“，”是真命题，则的取值范围为 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 三、填空题 10．（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 11．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 12．（2026·北京·三模）能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 四、解答题 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)； (2)所有的正方形都是矩形； (3)对任意，的个位数字不等于3； (4)正数的绝对值是它本身． 14．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 15．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 16．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $