28.2.3 关于原点对称的点的坐标（第1课时） 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“关于原点对称的点的坐标”核心知识，通过城市地图、围棋棋盘等生活情境导入，衔接上节课中心对称图形内容，搭建从几何对称到坐标变换的学习支架。 此设计以任务驱动（单点描点→多点归纳→图形作图）引导探究，结合对比表格区分三种对称坐标规律，渗透几何直观与数学运算素养，如任务2通过多点点坐标记录归纳规律，助力学生发展逻辑推理能力，为教师提供分层检测与难点突破策略，提升教学效率。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 28.2.3 关于原点对称的点的坐标（第1课时） 课 型 新授课 教学 目标 1.通过在平面直角坐标系中作图和观察，掌握关于原点对称的点的坐标变化规律：点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y)。 2.能熟练写出已知点关于原点对称的点的坐标，能在坐标系中作出一个图形关于原点对称的图形。 3.能根据对称点的坐标反求原图形顶点坐标，体会数形结合思想，发展几何直观和数学运算素养。 ★核心素养：数学运算（坐标变换计算）、几何直观（坐标系中图形对称）、逻辑推理（规律探究与应用） 重点 关于原点对称的点的坐标规律：P(x,y)→P′(-x,-y)，即横纵坐标都变为相反数。 ★关键：关于原点对称是中心对称在坐标系中的具体应用，对称中心为原点(0,0) 难点 正确理解"横纵坐标都变为相反数"并熟练应用，区分关于原点对称与关于x轴、y轴对称的坐标变化规律。 ★突破策略：①作图验证——在坐标系中实际描点验证规律；②对比记忆——列表对比三种对称的坐标变化；③数形结合——结合图形理解坐标变化的几何意义 教学 方法 坐标探究法、规律归纳法、数形结合法、对比辨析法 ★学法指导：在坐标系中描点→观察坐标变化→归纳规律→应用规律，结合图形理解记忆 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.生活情境： ①在城市地图中，以市中心为原点，你家的位置坐标是(3,2)，那么关于市中心对称的位置坐标是多少？ ②围棋棋盘上，以棋盘中心为原点，一颗棋子在(4,-3)，它关于中心对称的位置在哪里？ ③飞机雷达屏幕上，以雷达站为原点，一架飞机在(-2,5)，它关于雷达站对称的点坐标是多少？ 2.互动提问： ①上节课我们学习了中心对称图形，在平面直角坐标系中，如果以原点为对称中心，一个点的对称点在哪里？ ②点P(3,2)关于原点的对称点P′，你能在坐标系中找到它的位置吗？坐标是多少？ ③关于x轴对称的点坐标有什么规律？关于y轴呢？关于原点对称会不会也有类似规律？ 3.揭示课题：今天我们来探究在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标变化规律。 任务驱学 任务1：在平面直角坐标系中描出点P(3,2)，连接OP并延长到P′，使OP′=OP，读出P′的坐标，观察P与P′的坐标有什么关系。 任务2：再取几个点A(2,4)、B(-1,3)、C(4,-2)、D(-3,-1)，分别作出它们关于原点的对称点，读出坐标，记录在表格中，归纳坐标变化规律。 任务3：在坐标系中画出△ABC（顶点A(2,4)、B(1,1)、C(4,2)），作出它关于原点对称的△A′B′C′，写出各顶点坐标，验证规律。 【设计意图】通过从单个点到多个点再到图形的递进探究，让学生自主归纳关于原点对称的坐标变化规律，并通过作图验证加深理解。 二次备课 二、合作探究 探究1 关于原点对称的点的坐标规律 通过作图和观察，我们得到： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y)。 反过来，如果点P′(-x,-y)是点P(x,y)关于原点的对称点，那么P也是P′关于原点的对称点（对称性是相互的）。 ★深度剖析： ①关于原点对称的本质是中心对称（旋转180°），对称中心为原点(0,0)； ②坐标变化规律"横纵坐标都变为相反数"可以从几何意义理解：点P(x,y)绕原点旋转180°后，横坐标和纵坐标方向都反转； ③该规律与旋转90°的坐标变换不同：绕原点逆时针90°为(-y,x)，顺时针90°为(y,-x)，不要混淆。 探究2 关于原点对称的图形作图 在平面直角坐标系中作一个图形关于原点对称的图形： ①写出原图形各顶点的坐标； ②将每个顶点的横纵坐标都变为相反数，得到对称点坐标； ③在坐标系中描出各对称点； ④顺次连接各对称点，得到对称图形。 ★易错点提示： ①关于原点对称：(x,y)→(-x,-y)（横纵都变号）； ②关于x轴对称：(x,y)→(x,-y)（纵变号）； ③关于y轴对称：(x,y)→(-x,y)（横变号）； 三种对称的坐标变化规律容易混淆，一定要结合图形理解记忆，不要死记硬背。 ★数学思想渗透： 数形结合：坐标的代数变化与图形的几何对称相对应，体现数与形的统一； 转化思想：将图形的对称作图转化为顶点坐标的对称变换，化复杂为简单。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(2,4)、B(1,1)、C(4,2)。 （1）写出△ABC关于原点对称的△A′B′C′各顶点的坐标； （2）在坐标系中作出△A′B′C′。 解：（1）根据关于原点对称的坐标规律P(x,y)→P′(-x,-y)： A′(-2,-4)，B′(-1,-1)，C′(-4,-2)。 （2）在坐标系中描出A′(-2,-4)、B′(-1,-1)、C′(-4,-2)，顺次连接即得△A′B′C′，如图1所示。 【方法总结】关于原点对称的图形作图，只需将各顶点坐标横纵都变号，描点连接即可。作图后可验证：对应点连线经过原点且被原点平分。 图1 △ABC关于原点对称的△A′B′C′ 例2 如图2，点P(3,2)关于原点的对称点P′的坐标是____。 解：根据规律P(x,y)→P′(-x,-y)，P(3,2)→P′(-3,-2)。 答案：(-3,-2)。 【方法总结】直接应用规律：横纵坐标都变为相反数。注意符号不要写错，特别是当坐标本身为负数时，负负得正。 图2 点P(3,2)关于原点的对称点P′ 例3 已知点A(a,3)与点A′(2,b)关于原点对称，求a和b的值。 解：因为A与A′关于原点对称，所以横纵坐标都互为相反数： a=-2，3=-b，即b=-3。 所以a=-2，b=-3。 【方法总结】关于原点对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。利用这一性质列方程求解即可。注意"互为相反数"意味着a+2=0，3+b=0。 二次备课 展示交流，深化理解 1.学生活动：每组在坐标系中给出一个图形的顶点坐标，另一组快速说出关于原点对称的图形顶点坐标，并在坐标系中验证。 2.讨论问题： ①关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称的坐标变化有什么区别？完成下表： | 对称方式 | 坐标变化 | 几何意义 | |----------|----------|----------| | 关于x轴 | (x,y)→(x,-y) | 沿x轴翻折 | | 关于y轴 | (x,y)→(-x,y) | 沿y轴翻折 | | 关于原点 | (x,y)→(-x,-y) | 绕原点旋转180° | ②如果一个图形关于原点对称，那么它的对称中心在哪里？（原点） ③点(0,5)关于原点的对称点是什么？（(0,-5)，在y轴上） 3.教师强调： ①关于原点对称的坐标规律是"横纵坐标都变为相反数"，不要只变一个； ②三种对称的坐标变化规律要结合图形理解，不要混淆； ③作图后要验证：对应点连线经过原点，且原点是中点。 ★拓展思考：如果一个图形关于原点对称，且已知一半图形的顶点坐标，如何求另一半的顶点坐标？（直接横纵都变号即可） 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：点P(4,-3)关于原点的对称点是____。（(-4,3)） 2.填空：点A(-1,5)与点A′关于原点对称，则A′的坐标是____。（(1,-5)） 3.选择：下列各点中，关于原点对称的是（　） A.(2,3)和(2,-3) B.(2,3)和(-2,3) C.(2,3)和(-2,-3) D.(2,3)和(3,2) （答案：C） 4.解答：如图1，△ABC的顶点坐标为A(2,4)、B(1,1)、C(4,2)，写出关于原点对称的△A′B′C′各顶点坐标并作图。 （答案：A′(-2,-4)、B′(-1,-1)、C′(-4,-2)，作图略） 5.拓展：已知△ABC关于原点对称的△A′B′C′的顶点坐标为A′(-3,2)、B′(1,-4)、C′(-2,-1)，求原△ABC各顶点的坐标。 （答案：A(3,-2)、B(-1,4)、C(2,1)，利用对称性相互，横纵都变号还原） 【分层设计】1-3题为基础题，4题为中档题，5题为稍难题 二次备课 课 堂 小 结 1.坐标规律：点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y)，即横纵坐标都变为相反数。 2.图形作图：各顶点坐标横纵变号→描点→顺次连接。 3.三种对称坐标对比：关于x轴(x,y)→(x,-y)；关于y轴(x,y)→(-x,y)；关于原点(x,y)→(-x,-y)。 4.性质应用：关于原点对称的两点，横纵坐标分别互为相反数，可列方程求参数。 5.数学思想：数形结合、转化思想。 ★知识网络：中心对称→坐标系中应用→坐标规律(x,y)→(-x,-y)→图形作图→与轴对称坐标对比 课后 作业 1.必做：课本28.2.3练习第1、2题；习题28.2第4题。 2.选做： ①在坐标系中画出一个你喜欢的图形（如小房子、小鱼），写出顶点坐标，并画出它关于原点对称的图形； ②思考：如果一个图形既关于x轴对称又关于y轴对称，那么它是否关于原点对称？为什么？ 3.预习：阅读课本28.2综合应用部分，尝试用旋转和中心对称的性质解决一道几何证明题。 板 书 设 计 28.2.3 关于原点对称的点的坐标 一、坐标规律：P(x,y)→P′(-x,-y) 横纵坐标都变为相反数 二、图形作图：顶点变号→描点→连接 三、三种对称对比： 关于x轴：(x,y)→(x,-y) 关于y轴：(x,y)→(-x,y) 关于原点：(x,y)→(-x,-y) 四、应用：求对称点坐标、求参数、反求原坐标 五、数学思想：数形结合、转化 课 后 反 思 教学反思 1.通过坐标系中描点作图探究，学生能自主发现坐标变化规律，印象深刻。 2.三种对称（x轴、y轴、原点）的坐标对比是本节课的重点，通过表格对比帮助学生清晰区分。 3.部分学生在坐标为负数时容易出错（如(-2,3)→(2,-3)），需要加强符号训练。 4.例3的求参数题型学生掌握较好，能利用"互为相反数"列方程。 5.拓展题（反求原坐标）学生理解了对称性的相互性，能正确还原。 6.改进方向：可增加关于原点对称与旋转90°坐标变换的对比练习，防止后续学习中混淆。 学科网（北京）股份有限公司 $