6.1.1 立体图形与平面图形(二) 学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦立体图形与平面图形的三视图及展开图，通过“横看成岭侧成峰”诗句和建筑设计、零件加工等生活实例导入，引导学生从不同方向观察物体，建立空间与平面的联系，为后续空间几何学习搭建基础支架。 资料特色鲜明，情境导入贴近生活激发兴趣，合作探究含观察粉笔盒、剪开正方体纸盒等操作活动，培养空间观念与几何直观，典型例题结合中考真题，错误诊所针对性剖析易错点，助力学生发展推理意识和应用意识，高效掌握知识与方法。

6.1.1 立体图形与平面图形 ——三视图与展开图 一、学习目标 【知识技能】会画简单几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图； 能识别正方体的展开图，了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图。 【数学思考】经历从不同方向观察物体的活动过程，发展空间观念和几何直观。 【问题解决】能根据三视图描述基本几何体或实物原型， 能根据展开图判断和制作立体模型。 【核心素养】通过观察、操作、想象、交流等活动，培养空间想象能力和动手操作能力。 二、学习重难点 【重点】识别并画出简单几何体的三视图，识别正方体的展开图。 【难点】根据三视图判断几何体的形状，根据展开图想象立体图形。 三、情境导入 【生活情境】横看成岭侧成峰 「横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。」 ——苏轼《题西林壁》 为什么同一座庐山，诗人看到的却是「岭」和「峰」两种不同的景象呢？ 因为从不同的方向看同一个物体，看到的形状可能是不同的。 在生活中，我们也经常需要从不同角度观察物体。比如： • 建筑设计师需要画出建筑的三视图来展示设计方案； • 工人师傅根据零件的三视图来加工制作零件； • 快递打包时，我们需要知道盒子展开后的形状。 今天，我们就来学习如何从不同方向看立体图形，以及立体图形展开后的形状。 四、合作探究 探究点1：三视图 【活动1】观察讲台上的粉笔盒（长方体），分别从正面、左面、上面看， 你看到的分别是什么平面图形？ 图1：常见几何体的三视图 【概念】三视图 当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。 对一个物体（例如一个长方体）在三个投影面内进行正投影： • 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图； • 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图； • 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。 主视图、左视图和俯视图统称为三视图。 三视图的特点： • 主视图与俯视图：长对正（长度相等，且互相对正）； • 主视图与左视图：高平齐（高度相等，且互相平齐）； • 左视图与俯视图：宽相等（宽度相等）。 【归纳】常见几何体的三视图 • 正方体的三视图都是正方形； • 长方体的三视图都是长方形（特殊情况有两个是正方形）； • 圆柱的主视图和左视图是长方形，俯视图是圆； • 圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是圆（带圆心）； • 球的三视图都是圆； • 三棱柱的主视图和左视图是长方形，俯视图是三角形； • 四棱锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是四边形（带对角线）。 探究点2：正方体的展开图 【活动2】拿出准备好的正方体纸盒，沿着棱剪开，展开成一个平面图形。 想一想：同一个正方体有多少种不同的展开图？ 图2：正方体展开图的常见类型 【知识梳理】正方体展开图的类型 正方体的展开图共有11种，可分为四类： 1. 一四一型（6种）：中间4个面，上下各1个面，上下两个面位置可以变化。 2. 一三二型（3种）：中间3个面，上面1个面，下面2个面，错开排列。 3. 三三型（1种）：两行各3个面，中间错开一个。 4. 二二二型（1种）：三行各2个面，每层错开一个，呈阶梯状。 【重要提醒】不能折成正方体的展开图 以下几种情况的展开图不能折成正方体： 1. 「田」字形：四个小正方形组成田字形的，不行； 2. 「凹」字形：有凹进去的形状的，不行； 3. 「7」字形：呈L形且超过4个在同一直线的，不行； 4. 「一」字型：5个或6个排成一条直线的，不行。 记忆口诀： 「一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面」 探究点3：其他立体图形的展开图 【活动3】观察圆柱、圆锥的展开图，它们分别由哪些平面图形组成？ 【归纳】常见立体图形的展开图 1. 圆柱的展开图： 侧面展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面周长， 宽等于圆柱的高；两个底面是圆。 所以圆柱的展开图是：1个长方形 + 2个圆。 2. 圆锥的展开图： 侧面展开是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长； 底面是一个圆。 所以圆锥的展开图是：1个扇形 + 1个圆。 3. 三棱柱的展开图： 侧面展开是3个长方形，两个底面是三角形。 所以三棱柱的展开图是：3个长方形 + 2个三角形。 4. 四棱锥的展开图： 侧面展开是4个三角形，底面是四边形。 所以四棱锥的展开图是：4个三角形 + 1个四边形。 五、典型例题 题型一：画几何体的三视图 【例1】（2024·天津中考）下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形， 它的主视图是（　　） 图3：例1题图 【解析】从正面看，第一层有3个正方形，第二层有2个正方形（左、中）， 第三层有1个正方形（最左边）。形成左高右低的阶梯状。 【方法技巧】画三视图的步骤 1. 确定观察方向（正面、左面、上面）； 2. 数出每一列/每一行的层数； 3. 按「长对正、高平齐、宽相等」的原则画出图形； 4. 检查：看得见的棱用实线，看不见的棱用虚线。 题型二：判断正方体的展开图 【例2】（2024·江西中考）如图是4×3的正方形网格，选择一个空白小正方形 涂上阴影，使整个阴影部分能折成一个正方体，那么不同的选法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 图4：例2题图 【解析】根据正方体展开图的特征进行判断： • 一四一型：中间4个面，上下各1个面。 • 一三二型：中间3个面，上面1个，下面2个。 通过尝试，可以找到2种不同的选法，形成一四一型展开图。 答案：B 题型三：根据三视图判断小正方体个数 【例3】（2024·黑龙江绥化中考）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成， 下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 图5：例3题图 【解析】根据俯视图确定底层的分布，再结合主视图和左视图确定各位置的层数： ① 俯视图有4个正方形，说明底层有4个小正方体； ② 主视图左列有2层，说明左边一列至少有一个位置是2层； ③ 左视图左列有2层，说明前面一行至少有一个位置是2层； ④ 综合判断：左前位置是2层，其余都是1层。 总数 = 4（底层） + 1（上层） = 5个。 答案：A 题型四：展开图的相对面 【例4】（2024·江苏宿迁中考）将「科技、自立、自强」六个字分别写在 某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中， 与「强」字所在面相对面上的汉字是（　　） A．自 B．立 C．科 D．技 图6：例4题图 【解析】根据正方体展开图中相对面的规律： 「相间、Z端是对面」——同一行/列中，相隔一个面的两个面是对面； 呈Z字形两端的面也是对面。 在一四一型展开图中，中间四个面是相邻关系，上下两个面是对面。 「强」在上面一行，它的对面应该是下面那一行的面，即与「？」相对。 而中间四个面中，「科」与「自」相对（隔了一个「技」）， 「技」与「立」相对（隔了一个「自」）。 所以「强」的对面不在中间四个面中，应该是「？」位置的字。 （注：原题展开图中「强」的对面是「自」，答案选A） 六、错误诊所 【易错点1】画三视图时，忽略「看不见的棱用虚线」 病例：画一个空心圆柱的三视图。 错解：只画出了外轮廓的实线，里面的轮廓没有画。 诊断：三视图中，看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线。 空心圆柱的主视图和左视图中，内部的两条竖线是看不见的，应该用虚线表示。 正解：主视图和左视图都是长方形（外实内虚），俯视图是两个同心圆（都是实线）。 警示：看得见画实线，看不见画虚线，虚实分明才正确！ 【易错点2】判断正方体展开图时，忽略「一四一」型上下位置可动 病例：判断「中间4个面，上面1个面在左，下面1个面在右」的展开图是否正确。 错解：错误，因为上下两个面要对齐。 诊断：一四一型的展开图中，上下两个面的位置可以在中间四个面的任意上方和下方， 不一定非要对齐。只要不是「田」「凹」等禁忌形状，就可能是对的。 一四一型有6种变化，就是因为上下两个面的位置可以变化。 正解：正确。这是一四一型的一种。 警示：一四一型，上下可动，只要不在同一侧重叠即可！ 【易错点3】根据三视图数小正方体个数时漏数 病例：一个几何体的俯视图是3×2的6个正方形，主视图左列有3层， 问最少需要多少个小正方体？ 错解：6个（认为每列只有一层）。 诊断：俯视图只告诉我们底层的布局，不能知道层数。 主视图告诉我们左列最高有3层，但不代表所有位置都是3层。 最少情况：左列只有一个位置是3层，其余都是1层，总共6+2=8个。 正解：最少需要8个小正方体。 警示：求最少个数时，每列只要有一个达到最大层数即可，其他位置可以只有1层！ 【易错点4】圆柱展开图中，侧面长方形的长宽对应错误 病例：圆柱的底面半径是3，高是5，求侧面展开图的面积。 错解：3×5=15。 诊断：圆柱侧面展开是长方形，长方形的长等于底面周长，不是半径。 底面周长 = 2πr = 2π×3 = 6π，所以长方形的长是6π，宽是高5。 正解：侧面积 = 底面周长 × 高 = 6π × 5 = 30π。 警示：圆柱侧面展开图的长是底面周长，不是半径或直径！ 七、达标检测 A组 基础巩固 1. （2024·四川雅安）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　） （第1题图） 2. （2024·江苏宿迁）下列展开图中，是正方体展开图的是（　　） （第2题图） 3. 如图所示的几何体（圆柱立在长方体上），从上面看得到的平面图形是（　　） A. 长方形 B. 圆 C. 三角形 D. 长方形中间一个圆 （第3题图） 4. （2024·青海）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状， 它的侧面展开图是（　　） A. 长方形 B. 三角形 C. 扇形 D. 圆 5. 下列说法正确的是（　　） A. 正方体的三视图都是正方形 B. 圆柱的三视图都是长方形 C. 圆锥的三视图都是三角形 D. 球的三视图只有主视图是圆 6. （2024·四川遂宁）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与「我」字所在面相对的面上的汉字是（　　） A．大 B．美 C．遂 D．宁 B组 能力提升 7. 由若干个相同的小正方体搭成的几何体的三视图如图所示， 则组成这个几何体的小正方体的个数是（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 （第7题图） 8. 如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数 互为相反数，则x + y的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 （第8题图） 9. 把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，会得到的是（　　） （提示：可以实际动手折一折，或想象折叠过程） （第9题图） 10. （2024·江苏南通）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　） 主视图：长方形；左视图：长方形；俯视图：圆。 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 三棱柱 （第10题图） 11. 一个长方形的长为6 cm，宽为4 cm。若以长为轴旋转一周， 得到的立体图形是________，它的侧面积是________。 C组 拓展创新 12. 【探究题】用小正方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。 (1) 搭成这样的几何体，最少需要多少个小正方体？ (2) 最多需要多少个小正方体？ (3) 请画出两种不同的左视图。 （第12题图） 13. 【开放题】有一个正方体的六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6， 从三个不同方向观察得到的结果如下： 从正面看：上面是1，正面是2，右面是3； 从上面看：上面是4，正面是5，右面是1； 从右面看：上面是2，正面是3，右面是6。 请你判断：1的对面是____，2的对面是____，3的对面是____。 八、中考链接 【中考真题1】（2024·湖北武汉中考） 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（　　） 【解析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图 是解题的关键。从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方 形（靠左），答案选对应的选项。 【中考真题2】（2024·浙江金华中考） 如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬 到B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线， 正确的是（　　） 【解析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断。 ∵AB为底面直径， ∴将圆柱侧面沿AC剪开后，B点在长方形上面那条边的中间。 ∵两点之间线段最短， 故选对应选项。 （蚂蚁爬行最短路径问题） 【中考真题3】（2024·山东济南中考） 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为 「土与火的艺术，力与美的结晶」。如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯。 关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【解析】本题考查三视图，正确判别视图是解题的关键。 由图可知，主视图与左视图相同，都是轴对称的杯状图形； 俯视图是两个同心圆。故选A。 九、数学文化 【数学史话】三视图与投影的起源 投影法和三视图的发展有着悠久的历史。 1. 古代的投影思想 早在古代，人们就已经开始利用影子来判断时间和方向。 中国古代的日晷（guǐ）就是利用太阳投影来计时的仪器。 古希腊数学家欧几里得在《光学》中研究了透视问题。 2. 文艺复兴时期的发展 14—16世纪欧洲文艺复兴时期，艺术家们为了逼真地描绘景物， 深入研究了透视学。意大利建筑师布鲁内莱斯基和画家阿尔贝蒂 对透视学的发展做出了重要贡献。 达·芬奇的名画《最后的晚餐》就运用了透视原理。 3. 画法几何的建立 18世纪末，法国数学家蒙日（Gaspard Monge，1746—1818） 创立了「画法几何学」，系统地研究了用平面图形表示空间形体的方法， 奠定了工程制图的理论基础。三视图就是画法几何的核心内容之一。 4. 中国古代的成就 中国古代在建筑制图方面也有很高的成就。 宋代李诫编写的《营造法式》中就有丰富的建筑图样， 包括平面图、剖面图等，展现了中国古代高超的建筑制图水平。 如今，三视图广泛应用于建筑、机械、造船、航空航天等领域， 是工程技术人员必须掌握的基本技能。 十、小结与反思 【知识梳理】 • 三视图：主视图（正面看）、左视图（左面看）、俯视图（上面看）。 • 三视图的原则：长对正、高平齐、宽相等。 • 常见几何体的三视图：正方体（都是正方形）、圆柱（长方+长方+圆）、 圆锥（三角+三角+圆）、球（都是圆）。 • 正方体展开图：共11种，分四类（一四一、一三二、三三、二二二）。 • 展开图禁忌：田字形、凹字形、7字形、一线超过四。 • 相对面规律：相间是对面，Z端是对面。 • 其他展开图：圆柱（1长方+2圆）、圆锥（1扇形+1圆）、 三棱柱（3长方+2三角）。 【方法技巧】 • 画三视图：先看列数，再看层数，实线画可见，虚线画不可见。 • 判断展开图：排除法，记住「田凹应弃之，一线不过四」。 • 找相对面：「相间」「Z端」两个规律，快速定位对面。 • 数小正方体个数：俯视图定布局，主视图定层数，左视图验证。 • 最值问题：求最多时每列取最大，求最少时每列只有一个最大。 【易错警示】 1. 三视图中看不见的棱要用虚线表示，不能省略； 2. 圆柱的主视图是长方形，不是圆； 3. 圆锥的俯视图是圆 + 圆心（实心点），不是只有圆； 4. 正方体展开图有11种，不要记错类型； 5. 「相间是对面」只适用于同一行/列相隔一个面的情况； 6. 求小正方体个数时，要分清「最多」和「最少」的不同算法。 【学习反思】 □ 我能画出常见几何体的三视图 □ 我能识别正方体的展开图 □ 我能根据三视图判断几何体的形状 □ 我能找出正方体展开图中的相对面 □ 我能根据三视图计算小正方体的个数 我的困惑：________________________________________________ 我的收获：________________________________________________ 参考答案 一、学习目标 （略，见正文） 二、学习重难点 （略，见正文） 三、情境导入 （略，思考问题） 四、合作探究 （略，见正文归纳） 五、典型例题 例1：主视图左列3层、中列2层、右列1层 例2：B（2种选法） 例3：A（5个） 例4：A（与「自」相对） 六、错误诊所 （略，见正文解析） 七、达标检测 A组 基础巩固 1. C（圆锥的主视图是三角形） 2. C（选项C是一四一型正方体展开图） 3. D（长方形中间一个圆） 4. C（扇形） 5. A（正方体的三视图都是正方形） 6. B（「我」与「美」相对） B组 能力提升 7. C（底层4个，上层1个，共5个） 8. B（x=3，y=-2，x+y=1） 9. （根据实际展开图判断，答案略） 10. B（圆柱） 11. 圆柱，侧面积 = 2π×4×6 = 48π (cm²) C组 拓展创新 12. (1) 最少需要：底层6个 + 上层(2+1)=3个 = 9个 (2) 最多需要：左列2个位置各3层+中列2个位置各2层+右列2个位置各1层 = 6 + 4 + 2 = 12个 (3) 左视图有多种可能，例如：左3右2、左3右1、左2右1等。 13. 根据三个方向的观察，1相邻的有2、3、4、5，所以1的对面是6； 2相邻的有1、3、6、4，所以2的对面是5； 剩下3的对面是4。 答案：1对6，2对5，3对4。 八、中考链接 真题1：主视图为下大上小两个长方形（小长方形靠左） 真题2：最短路径为侧面展开图上的直线距离 真题3：A（主视图与左视图相同） 九、数学文化 （略，阅读了解） 十、小结与反思 （略，自行总结） 学科网（北京）股份有限公司 $