4.4.2对数函数的图象和性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数的图象和性质，通过类比指数函数研究方法，先回顾概念，引导学生完成表格描点绘制log₂x图像，对比log₂x与log₀.₅x的取值发现对称关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以探究活动为主线，让学生用数学眼光观察图像特征，通过对比表格抽象对称性质，用数学思维推理单调性（如中间值比较、复合函数“同增异减”），结合例题和方法总结培养严谨表达。学生能提升探究与推理能力，教师可借助分层练习和系统总结提高教学效率。

第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 课时2 对数函数的图象和性质 1 对数函数的概念： 一般地，函数y = logax ，(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞） 研究函数的一般方法： 背景 概念 图像与性质 应用 与研究指数函数一样，我们首先画出其图像，然后借助图像研究其性质．请完成下列表格，并用描图法画出y = log2x的图像． x y = log2x 1/4 1/2 1 2 4 8 -2 -1 0 1 2 3 探究1 对数函数的图像 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？ x y o 1 学习新知 完成下列表格，对比两个函数的取值列表，并用描图法画出y = log0.5x的图像，能否看出两个函数的图像有什么关系？ x y = log2x y = log0.5x 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 2 1 0 -1 -2 -3 学习新知 选取底数a (a>0，且a≠1) 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数y=logax ，(a>0，且a≠1) 的值域和性质吗？ 探究 学习新知 a>1 0<a<1 图 象 定义域 值 域 过定点 性质 单 调 性 取值分布 奇 偶 性 (0,+∞) R (1,0) 在(0,+∞)上是增函数 既不是奇函数也不是偶函数 当x>1时y>0；当0<x<1时y<0. 当x>1时y<0；当0<x<1时y>0. 在(0,+∞)上是减函数 对数函数的图象及性质 例1（1） 函数,且与 的图象可能是( ) . C A. B. C. D. （2） 函数,且 的图象过定点_______. 10 （3） 已知,且满足,试画出函数 的图象. 11 （3） 已知,且满足,试画出函数 的图象. [解析] 因为,所以,解得 , 故 所以函数 的图象如图所示. 12 方法总结 画函数的图象很少单纯地依靠描点,大多是以常见的函数图象为“原料”进行加工,所 以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论,另一方面要关注定义域、值域、单调性、 关键点. 13 巩固训练 画出函数 的图象. 14 探究2 函数单调性的应用 问题1: 对数函数,且 图象的“上升”或“下降”与什么有关？ [答案] 底数与1的关系决定了对数函数图象的升降.当 时,对数函数的图象“上升”; 当 时,对数函数的图象“下降”. 问题2: 如果不能直接运用函数的单调性比较两个数的大小,我们可以采用哪种方法来 比较两个数的大小呢？ [答案] 采用中间值进行比较两个数的大小,例如中间值0,1等. 15 一、比较大小 例2 比较下列各组数的大小. （1）与;（2）与;（3）与 . 16 方法总结 比较对数值大小时常用的四种方法 （1）同底数的利用对数函数的单调性. （2）同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. （3）底数和真数都不同,找中间量. （4）若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 17 复合函数单调性的解题技巧 求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成 , ,通过和的单调性,利用“同增异减”的原则,求出 的单调性. “同增异减”原则：若与 的单调性相同（同增或同减）,则 为增函数；若与 的单调性相反（一增一减）,则 为减函数. 18 二、对数型函数的单调性 例3（1） 已知函数，则 的单调递减区间为( ) . C A. B. C. D. 19 （2） （多选题）已知函数在上单调递减，则实数 的值可能为 ( ) . BC A. B. C. D.2 20 （2） （多选题）已知函数在上单调递减，则实数 的值可能为 ( ) . BC A. B. C. D.2 [解析] 因为函数在 上单调递增， 所以依题意可得函数在 上单调递减， 则解得 ， 所以B,C正确，A,D错误.故选 . 21 方法总结 判断形如,且 的函数的单调性 首先要确保 . 当时,的单调性在的前提下与 的单调性一致; 当时,的单调性在的前提下与 的单调性相反. 特别提醒:研究对数型复合函数的单调性时,一定要注意先研究函数的定义域,也就 是要坚持“定义域优先”的原则. 22 巩固训练1 已知,, ，则( ) . A A. B. C. D. 23 巩固训练2 函数在区间上单调递增，则 的取值范围是 ( ) . B A. B. C. D. 24 1.当时,在同一平面直角坐标系中,函数与 的大致图象为( ) . C A. B. C. D. 25 2.已知,, ,则( ) . B A. B. C. D. 3.已知函数,且的图象恒过点,则点 的坐标是________. 26 4.已知，若，则实数 的取值范围为________________. ， [解析] 作出函数的图象，如图所示，由于 ，故结合图象可知 或 . 27 （限时:30分钟） 1.若,则函数 的图象不经过( ) . A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 的图象经过定点且单调递减, 该函数的图象不经过 第一象限.故选A. 28 2.已知，，则“”是“ ”的( ) . B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 取,，满足，但推不出 ， 在上单调递减，在 上单调递增， 由可得，则 ， 故“”是“ ”的必要不充分条件. 29 3.（多选题）已知且，则函数与 的大致图象可能 是( ) . BD A. B. C. D. [解析] 若，则函数单调递减且其图象过点 ， 函数单调递减且其图象过点 ； 若，则函数单调递增且其图象过点 ， 而函数单调递增且其图象过点 . 只有B，D的图象符合.故选 . 30 4.设 ,, ，则( ) . D A. B. C. D. [解析] ， ， ， 因为 ， 所以 ， 所以 . 31 5.（多选题）已知 ,则下列结论正确的有( ) . AC A. B. C. D. [解析] 根据题意,作出函数, 的图象,如图所示, 故当时,或或 . 32 6.（原创）已知函数在上单调递减，则 的最大 值是( ) . B A.3 B.4 C.5 D.8 [解析] 对于函数，令解得 ，所以 函数的定义域为 . 又，且函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 函数在 上单调递增， 所以函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以，所以 的最大值为4. 33 7.（原创）已知函数,且的图象过点, .若 ，则实数 的取值范围为________. [解析] 依题意知，解得 . 因为是 上的增函数， 又，所以，解得 . 故实数的取值范围是 . 34 8.（多选题）下列说法正确的是( ) . ABD A.函数与函数 是同一个函数 B.函数，且的图象过定点 C.函数的单调递增区间为 D.已知在上是增函数，则实数 的取值范围是 35 [解析] 对于A，在函数中,令，解得 ，故函数 的定义域为 ， 在函数中,令解得 ，故函数 的定义域为 ， 又 ，故A正确； 对于B，令，得， ， 故函数，且的图象过定点 ，故B正确； 对于C，令，解得或，令 , 36 函数在上单调递增，在 上单调递减， 又函数在 上单调递增， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为 ，故C错 误； 对于D，在 上是增函数， 需满足解得 ， 则实数的取值范围是，故D正确.故选 . 37 9.（改编）已知实数，，满足:，，.则 ， ， 从小到大的顺序为__________. [解析] 如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数 ，， , 的图象，其中是函数 与 图象交点的横坐标，是函数 与 图象交点的横坐标，是函数 与 图象交点的横坐标，观察图象得 . 38 10.已知函数是偶函数,当时,,且的图象过点 . （1）求实数 的值; （2）求函数 的解析式; （3）求不等式 的解集. 39 [解析] （1） 当时,的图象过点 , ,解得 . （2）设,则 , 当时, , , 又 为偶函数, . 综上所述, 40 （3）（法一） , 或解得或 . 故不等式的解集为 . （法二）为偶函数, , 又 , 41 ,即 , 又 当时, , 在 上单调递减, ,解得或 . 故不等式的解集为 . 42 11.已知函数 为奇函数. （1）求常数 的值; （2）当时,判断函数 的单调性; （3）若函数,且在上不等于0,求实数 的取值范围. 43 [解析] （1）由,得 , 所以,故,解得 , 当时,，显然不成立，经验证, 符合题意， 所以 . 44 （2）函数在 上单调递增.理由如下: 由（1）知,对于任意的,,且 , 则 , 又,即 , 所以,故函数在 上单调递增. 45 （3） , 令,则 , 由（2）知在 上单调递增. 设 , 因为函数在 上单调递减, 所以函数在上单调递减,则, . 又在上无解,所以 ,, . 46 $