上册 第5章 二次函数&第6章 概率的进一步认识(考点梳理对点练)-【千里马·单元测试卷】2026-2027学年九年级全一册数学(北师大版·新教材)

单元测试卷·九年级数学·北师版·全一册 第五章 二次函数 考点13二次函数的概念及其图象 ⊙建议用时：30分钟答案P34 考点梳理 1.二次函数的相关概念T1,T8 2.二次函数的图象T6 3.二次函数的性质T2,T3,T9 4.二次函数图象与系数a,b,c的关系T4,T7, B T11 7.已知二次函数y=ax2+bx 5.二次函数的平移T5 +c(a≠0)的图象如图所 6二次函数的图象与性质的综合T10,T12 示，现给出下列结论： 1.下列函数中，是二次函数的是 ①abc>0;②9a+3b+c= 0;③b2-4ac<0;④2a+ A.y=3x-1 B.y=3x3-x2 b<0.其中正确结论的个 7题图 Cg=1-x-2 D.y=x2+1 数是 2.由二次函数y=3(x-2)2+1可知 A.1 B.2 C.3 D.4 ( A.其图象的开口向下 8.二次函数y=3x- ?的二次项系数是 B.其图象的对称轴为直线x=-2 ,一次项系数是 ,常数项是 C.其最大值为1 D.当x<2时，y的值随着x值的增大而减小 9.抛物线y=-2x2-4x的开口向 ,对 3.已知点A(3,y1),B(5,y2),C(-4,y3)均在抛 称轴是 顶点坐标是 ;当x 物线y=3x2-6x+m上，下列排序正确的是 时，y的值随着x值的增大而增大；当 时，y的值随着x值的增大而减小， A.y3>y1>y2 B.y3>y2>y1 10.已知二次函数的表达式是y=x2-2x-3. C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 (1)与y轴的交点坐标是 ,顶点坐标 4.抛物线y=ax2+bx+c的图象 是 如图所示，则a,b,c的符号为 (2)在平面直角坐标系中利用描点法画出此 () 抛物线； A.a<0,b>0,c<0 B.a<0,b<0,c>0 4题图 C.a<0,b<0,c=0 D.a<0,b>0,c=0 T --5 5.将抛物线y=(x+2)2-3先向右平移1个单 位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物 -3 -2 线的表达式为 ( A.y=(x+3)2-5 B.y=(x+3)2-1 -5-4=3-2-10 12345x C.y=(x+1)2-1 D.y=(x+1)2-5 ----2 ! 6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-x+ 2与二次函数y=x2+k的图象可能是（) 10题图 -14 第五章二次函数补 (3)结合图象回答：当-2<x<2时，函数值y 12.已知函数y=- 12 的取值范围是 2+x+2 11.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 1)将y=一7+x+ 的对称轴为直线x=1. ?用配方法化为y= (1)a与b的数量关系是 a(x-h)2+k的形式； (2)a 0,b 0,c (2)求该函数图象与两坐标轴交点的坐标； 0,abc 0(填“>”“<”或 (3)如图，画出该函数的图象 “=”); (3)抛物线与x轴有 个交点，b2 > 4ac 0(填“>”“<”或“=”)； (4)当x=-1时，y % 0,a-b+c 0,3a+c 0(填“>” “<”或“=”)； 234 -2 (5)当x=2时，y 0,4a+2b+c 0(填“>”“<”或“=”)； (6)y的最小值为 (用含a,b,c的式 5 子表示).若m为任意实数，则a+b 12题图 m(am+b)(填“≥”“≤”“>” 或“<”)； ()若(-7%小，C(分)为函数图象上 的两点，则y1y2(填“>”“<” 或“=”)； (8)若该抛物线经过点(-3，n),求关于x的 一元二次方程ax2+bx+c-n=0的另 一根 11题图 -15 单元测试卷·九年级数学·北师版·全一册 考点14 二次函数的应用 ⊙建议用时：50分钟答案P35 考点梳理 5.已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场 1.二次函数表达式的确定T1,T3,T8 调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与售 2.面积问题T2,T11 价x(元/千克)有如下关系：y=-2x+80.设 3.抛物线形问题T4,T6,T9 这种产品每天的销售利润为w(元)，则0与x 4.销售利润问题5,7，T10,T12 之间的函数表达式为 1.一个二次函数的图象的顶点坐标是(-2,4)， A.0=(x-30)(-2x+80) 且过另一点(0，-4)，则这个二次函数的表达 B.w=x(-2x+80) 式为 () C.w=30(-2x+80) A.y=-2(x+2)2+4B.y=-2(x-2)2+4 D.w=x(-2x+50) C.y=2(x+2)2-4D.y=2(x-2)2-4 6.如图，某公司的大门是一 2.一个直角三角形的两条直角边长的和为 抛物线形建筑物，大门的 20cm,其中一直角边长为xcm,面积为ycm2, m 地面宽度和大门最高点 则y与x的函数关系式是 离地面的高度都是8m, 1 Ay=2×20x B.y=x(20-x) 公司想在大门两侧距地 8 m 面6m处各安装一盏壁 6题图 C.y=2x(20-x) D.y=x(10-x) 灯，则两盏壁灯之间的距离为 3.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函 7.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段 数的表达式为 () 时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整 A.y=x2-2x+3 B.y=x2-2x-3 数)出售，可卖出(30-x)件，若使利润最大， C.y=x2+2x-3 D.y=x2+2x+3 则每件商品的售价应为 元 y 8.如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐 标原点，与x轴交于点A(-4,0) (1)求此二次函数的表达式； 3 x (2)在抛物线上存在点P,满足SAAOP=8,请求 出点P的坐标， 3题图 4题图 4.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种 喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷水的最 大高度为3米，此时喷水水平距离为2米，在 8题图 如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函 数关系式是 y=-(-°+3By=32+1 9.如图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两 Cy=-8x-2)广+3Dy=-8x+)+3 端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为 -16 第五章二次函数 10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两 (1)写出S与x的函数关系式； 侧内拱壁上各有一盏距离水面4m的景观灯. (2)若要围成192平方米的场地，则AD的长 (1)建立如图的平面直角坐标系，求抛物线的 是 表达式； (3)当x取何值时，S有最大值？并求出最 (2)求两盏景观灯之间的水平距离. 大值 10m m 0- 11题图 9题图 12.第34届乒乓球亚洲杯的举行带动了相关产 品的销售.某店因此采购一批成本为30元的 10.某商店经营一种小商品，进价为每件20元， 乒乓球拍，经市场调查发现：该乒乓球拍的月 据市场分析，在一个月内，售价定为25元时， 销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的 可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖 关系如图所示 5件 (1)求y关于x的函数表达式（不要求写出x (1)当售价定为30元时，一个月可获利多 的取值范围)； 少元？ (2)由于某种原因，该乒乓球拍进价提高了α (2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利 元/件（α>0），物价部门规定售价不得超 最大？最大利润是多少元？ 过40元/件，该乒乓球拍在进价调整后， 月销售量与销售单价仍然满足(1)中的 函数关系，若该乒乓球拍的月销售最大利 润是2400元，求a的值 +/件 300 200 4050x/元/件) 12题图 11.如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围 成一个矩形自行车场地ABCD,在AB和BC 边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小 明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD 长为x米，矩形的面积为S平方米 -17 单元测试卷·九年级数学·北师版·全一册 考点15 二次函数与一元二次方程 ⊙建议用时：25分钟答案P35 考点梳理 (3)当x满足 时，y1<0. 1.判断一元二次方程的根的情况T1,T5 2.求交点个数T2 3 3.求一元二次方程的根（近似根）T3,T4 4.与方程、不等式结合T6,T口 4-3419 123 1.若二次函数y=3x2+x-2m的图象与x轴有 两个交点，则关于x的一元二次方程3x2+x= 6题图 2m的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 B.有两个相等的实数根 所示. C.没有实数根 (1)当x<1时，y的值随着x值的增大而 D.不能确定 ； 2.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的 (2)写出方程ax2+bx+c=0的解： 个数为 ( ) (3)写出不等式ax2+bx+c<0的解集； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (4)若方程ax2+bx+c+k=1没有实数根，直 3.若抛物线y=x2+bx的对称轴是经过点(3,0) 接写出k的取值范围； 的直线，则关于x的方程x2+bx=-8的解为 (5)已知抛物线y=（m-1)x2-2mx+m+1 () (m≠1) ①求证：该抛物线与x轴有两个交点； A.x1=0,x2=6 B.x1=2,x2=4 ②求出抛物线与x轴的两个交点坐标（用 C.x1=2,x2=-4 D.x1=-2,x2=-4 含m的式子表示) 4.下表给出了二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的 自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程 5 ax2+x+c=0的一个根的近似值可能是 3 ( 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.50.04 0.621.23 … 5-4-3-2-0十245 A.1.08 B.1.2 C.1.28 D.1.38 5.若关于x的二次函数y=x2-2x+k的图象与 x轴只有一个交点，则一元二次方程x2-2x+ -5 k=0有两个 的实数根，从而根据判 7题图 别式可得k 6.如图，二次函数y1=x2+2x与一次函数y2= x+2的图象相交于两点，观察图象回答下列 问题： (1)当x满足 时，y1=Y2; (2)当x满足」 时，y1<y2 -18 第六章概率的进一步认识 第六章 概率的进一步认识 考点16 概率的进一步认识 ⊙建议用时：25分钟答案P35 考点梳理 5.如图，现有4张卡片，正面书写不同类型的变 1.用树状图或表格求概率T1,T3,T5,T6 化，除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝 2.用频率估计概率T2,T4 上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片呈 1.学校要举办一场运动会，小文和小锋报名参加 现的变化都是物理变化的概率是 跳远比赛，预赛分A,B,C三组进行，则小文和 糖块融化 盐酸除锈 石块粉碎 火柴燃烧 小锋恰好分到同一个组的概率是 ( 物理变化 化学变化 物理变化 化学变化 A B.3 c号 D.5 5题图 6.某校的学生除了体育课要进行体育锻炼外，寒 2.一个不透明的盒子里装有20个黑色棋子和若 署假期间还要自己抽时间进行体育锻炼，为了 干个白色棋子，这些棋子除颜色外都相同，搅 了解同学们假期体育锻炼的情况，开学时体育 匀后从盒子中随机摸出一个棋子，记下颜色后 老师随机抽取了部分同学进行调查，按锻炼的 放回盒子中.通过大量重复的试验后发现，摸 时间x(分)分为以下四类：A类(0≤x≤15)，B 到黑色棋子的频率稳定在0.8，则盒子中白色 类(15<x≤30)，C类(30<x≤45)，D类(x> 棋子的数量约为 ( 45),对调查结果进行整理并绘制了如图所示 A.1个 B.3个 C.5个 D.6个 的不完整的折线统计图和扇形统计图，请结合 3.如图是一次数 图中的信息解答下列各题： 学活动课上制 (1)扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角 作的两个转盘， 度数为 并补全折线统计图； 甲转盘被均分 甲转盘 人数折线统计图 为三部分，上面 乙转盘 ↑人数 分别写着9,8,5 3题图 A 三个数字，乙转盘被均分为四部分，上面分别写 40% 着1,6,9,8四个数字.同时转动两个转盘，转盘 24 D 5% 停止后指针所指的数字（若指针指向分界线，则 6 重转)恰好都能被3整除的概率是 ABCD类型 A君 B司 c 2 6题图 4.下表是某篮球运动员一段时间内在罚球线上 (2)现从A类中选出两名男同学和三名女同 训练投篮的结果记录： 学，从以上五名同学中随机抽取两名同学 罚球总数 400 1000 1600 2000 3000 进行采访，请利用画树状图或列表的方法 命中次数 348 893 1432 1812 2703 求出抽到的学生恰好是一男一女的概率。 罚球命 0.870 0.893 0.895 0.906 0.901 中率 根据以上数据可以估计，该球员在罚球线上投 篮一次，投中的概率为 (结果精确到 0.1) -19解单元测试卷·九年级数学·北师版·全一 8.解：(1)如答图，△01A1B,即为所求. y B -4-3-2 023 R- 3 6 B 8题答图 (2)如答图，△OAB,即为所求 A2(-2,4),B2(-6,2). (3)如答图，△OA3B,和△OA4B4即为所求 考点11相似三角形的实际应用 1.B2.C3.A4.65.32 6.解：设NB的长为x米，则BM=x+1.1+2.8-1.5=(x +2.4)米. 由题意，得∠CND=∠ANB,∠CDN=∠ABN=90°， △cD△ANB90-0 同理△EMF△AMB器微 EF=CD=1.6米， 器2 xx+2.4 解得x=6.6. 880…866AB=96米 答：大树AB的高度为9.6米。 7.解：如答图，过点E作EG⊥BC于点G -------------- 。。▣=。。==， ”====” ==“““”一”“。” -一=”“一””” ”””””“”””””” BG/C D 7题答图 DE∥BC,.△ABC△ADE, AC BC 80 4 ·AE=0E=140=7, .AF⊥BC,EG⊥BC .∠CFA=∠CGE=90°. 又：∠ECG=∠ACF,.△ACF△ECG, 2-即5=专4=10米， .桥AF的长度为100米 第四章投影与视图 考点12投影与视图 1.A2.B3.B4.中心投影5.866.240 -3 丹 7.解：(1)如答图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小 亮在灯光下形成的影子. E O 、G CA D FH 7题答图 (2)由题意，可得AB∥D0,∴.△ABC∽△DOC, …8品 即6=1.4 D0=1.4+2.1' 解得D0=4,.D0-AB=4-1.6=2.4(m). 答：灯泡的高度比小明高2.4m. 8.解：(1)圆柱 (2)120÷2=60(mm), 120×T×200+2×π×60×60=31200m(mm2), ∴.制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为31200mmm2 第五章二次函数 考点13二次函数的概念及其图象 1.C2.D3.B4.C5.D6A7.C8.-230 9.下直线x=-1（-1,2) <-1>-1 10.解：(1)(0，-3)(1，-4)(2)列表： -1 0 1 2 y… 0-3 -4-3 0 抛物线图象如答图所示 yt 「-r----1-1-6 --t--1-5 x2站3 3 -2 -1 -5-4-3-2=0 1245x L--1--1--1--46----1- 10题答图 (3)-4≤y<5 11.解：(1)b=-2a(2)><<> (3)2>(4)>>> (5)<<(6)a+b+c≤(7)> (8):抛物线经过点(-3，n),,点(-3，n)关于直线 x=1对称的点(5，n)也在该抛物线上，∴.关于x的一 元二次方程a2+bx+c-n=0的另一根为x=5. 2解：(1y=-(x-1P+2 (2)当x=0时y=-2++是=2 33 则抛物线与y轴的交点坐标为(0，) 当y=0时，-之(x-1)2+2=0,解得名=3，=-1， 则抛物线与x轴的交点坐标为(3,0)，(-1,0) (3)如答图， -3 12 -4-3-2+10 12 12题答图 考点14二次函数的应用 1.A2.C3.B4.C5.A 6.4m7.25 8.解：(1)把(0,0)，（-4,0)分别代入y=ax2-4x+c, 得c=0, 16a+16+c=0,解得01 1c=0, ∴此二次函数的表达式为y=-x2-4x (2):S0p=8,即7·4y=8,p=±4 当y=4时，4=-x2-4x,解得x1=x2=-2, ∴.P(（-2,4)； 当y=-4时，-4=-x2-4x,解得x=-2±22， ∴.P2(-2-22,-4),P3(-2+22,-4). 综上所述，点P的坐标为P1（-2,4),P2（-2-2√2， -4),P3(-2+2√2，-4). 9.解：(1)依题意，得抛物线的顶点坐标为(5,5)且过点 (0,1), 设抛物线的表达式为y=a(x-5)2+5(a≠0)， 则a(0-5)2+5=1,即a=-25, 4 4 则抛物线的表达式为y=-25(x-5)2+5(0≤x≤10). (2)由已知得两盏景观灯的纵坐标都是4， 所以-若(x-5)2+5=4,即(x-5)2- 4 解得名=号=各Ξ各-9=5（米）。 15 故两盏景观灯之间的水平距离为5米. 10.解：(1)(30-20)×[105-5×(30-25)]=800（元）， 故当售价定为30元时，一个月可获利800元. (2)设售价定为每件x元时，一个月获利y元，则y= (x-20)[105-5(x-25)]=-5x+330x-4600= -5(x-33)2+845, 故当售价定为每件33元时，一个月的获利最大，最大 利润为845元. 11.解：(1).'AD+BC-2+AB-2=40,AD=BC=x, .AB=-2x+44, .S=AB·AD=（-2x+44)·x=-2x2+44x. (2)6米或16米 (3).S=-2x2+44x=-2(x-11)2+242, ∴.当x取11米时，S有最大值，最大值为242平方米 12.解：(1)观察题图，可设y关于x的函数表达式为y=x —3 参考答案及解析 +b(k≠0)， 将(40,300)，（50,200)分别代入y=x+b中，得 010三3洲解得信700 150k+b=200, .y关于x的函数表达式为y=-10x+700, (2)设月销售利润为w元，由题意，得0=(x-30- a)(-10x+700)=-10x2+(1000+10a)x-21000- 700a. :-10<0,对称轴为直线x=100+0 2 六当x≤10，+时，0的值随着值的增大而增大， 2 :物价部门规定该乒乓球拍售价不得超过40元/件， .x≤40. a>0,100+0>50>40, 2 ∴.w的值随着x值的增大而增大， ∴.当x=40时，w有最大值2400， .∴.-10×402+(1000+10a)×40-21000-700a= 2400,解得a=2, ∴.a的值为2. 考点15二次函数与一元二次方程 1.A2.B3.B4.B 5.相等1 6.(1)x=-2或x=1(2)-2<x<1(3)-2<x<0 7.(1)解：减小 (2)解：方程ax2+bx+c=0的解为x=-1或x=3. (3)解：不等式ax2+bx+c<0的解集为-1<x<3. (4)解：k>5. [解析]：方程ax2+bx+c+k=1没有实数根，∴.方程 aax2+bx+c=1-k没有实数根，∴.二次函数y=ax2+bx +c的图象与直线y=1-k没有交点，.1-k<-4,.k 的取值范围为k>5. (5)①证明：△=（-2m)2-4(m-1)(m+1)=4m2- 4m2+4=4>0,.方程(m-1)x2-2mx+m+1=0有两 个不相等的实数根，·该抛物线与x轴有两个交点. ②解：令y=0,则(m-1)x2-2mx+m+1=0,解得x1= 1,x2=m+1 m-1心该抛物线与x轴的两个交点坐标分别为 1,0.( 第六章概率的进一步认识 考点16概率的进一步计算 1.B2.C3.A 4.0.9[解析]由表格可知，随着投篮次数越来越大，频 率逐渐稳定到常数0.90附近，且精确到0.1，∴.这名球 员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9. 5石[解析]起4张卡片从左向右分别记为AB,C,D, 画树状图如答图。 开始 第一张 B 第二张BCDACDABD ABC 5题答图 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片 解单元测试卷·九年级数学·北师版·全一开 呈现的变化都是物理变化的结果有2种，即AC,CA, P(两张卡片星现的变化海是物理变化)=员=石 6.解：(1)18 B类人数为48÷40%-(48+24+6)=42. 补全折线统计图如答图①. 人数折线统计图 ↑人数 24 0ABCD类型 6题答图① (2)用M表示女生，N表示男生，画树状图如答图②， 开始 N MMNN MMNN MMNNMMMN MMMN 6题答图② 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女 的结果有12种，故抽到的学生恰好是一男一女的概率 九年级下册 第一章直角三角形的边角关系 考点1锐角三角函数 1.A2.C3.C4.C $② 2 6解：()原式=2×9-5+乃+7×1=1 (2)原式=4×分-2×竖-5×写+2×9=2-1 1+5=√5 (3)原式=5-1+1-7-2x1×9=-2 7.解：设BC=x,在Rt△ABC中，∠C=90°， 根据正弦定义 sin A=BC=5 AB 5' 则AB=BC=兰=5x sin A5 5 由勾股定理，得AC2+BC2=AB2, 代入AC=4,BC=x,AB=5x, 得42+x2=(5x)2, .16+x2=5x2, ∴.16=4x, ∴.x2=4,∴.x=2(负值已舍去)，BC=2. 8.解：(1)在Rt△ACD中，'AC=6,osA=40=5 AC=3, AD=AC:mA=6×9=25, -3 丹 .BD=AB-AD=35-2√5=√5 (2)在Rt△ACD中，CD=√AC2-AD2= √62-(25)2=4. 在Rt△BCD中，BC=√BD2+CD2= √(5)2+42=√2I, ∴sinB=C2-4=42I B0-ī21 考点2解直角三角形与三角函数的应用 1.C2.B3.B4.C5.C 6.457.√108.94.8 9解：BC=5V34 31 10.解：由题意，得∠BAD=45°，∠DAC=61°. 在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m, .'BD =AD =10 m. 在Rt△ACD中，∠DAC=61°， m61801.80, 解得CD≈18，.BC=BD+CD=10+18=28(m), ∴.烈士塔的高度约为28m. 11.解：如答图，作PD⊥AB于点D. E北 160459 D AB D东 11题答图 设BD=x米，则AD=(x+200)米 ∠EAP=60°，∴.∠PAB=90°-60°=30° .·∠FBP=45°， ∴.∠PBD=∠BPD=45°，∴.PD=BD=x米 在Rt△APD中，∠PAB=30°，.PD=tan30°·AD, 即x=(x+20， 解得x≈273，PD≈273米. 答：凉亭P到公路1的距离约为273米. 12.解：过点A作AG⊥BC于点G,作AF⊥CE于点F, G-- 16°℃-A 45 D 12题答图 ∴.四边形AGCF是矩形，∴.AG=CF,GC=AF. .:AB=5m,BC=4m,∠BAG=16° .AG=AB·co8∠GAB=5×cos16°≈5×0.96=4.8(m), BG=AB·sin∠GAB=5×sin16°≈5×0.28=1.4(m), .CF=4.8m,CG=4-1.4=2.6(m), .AF=2.6m. ∠ADF=45°，∴.AF=DF=2.6(m), .∴.CD=CF-DF=4.8-2.6=2.2(m). 答：阴影CD的长为2.2m