精品解析：天津市河西区海河博爱学校2026-2027学年度第一学期 九年级作业反馈1 数学科

2026-2027学年度第一学期九年级作业反馈1 数学学科 答题时间：90min 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D. 整体看，该地区2月的空气质量好于3月 6. 二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 如图，在中，，，小田同学利用尺规按以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，交边于点D．则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 9. 某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 13. 直线l1：y=kx+b与直线l2：y=-3x在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为____. 14. 已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可） 15. 如图，是反比例函数的图像上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于，则的值为________． 16. 如图， 正方形的边长为，作以为底的等腰三角形， (1)的面积为___________； (2)若，分别为，的中点，为的中点，射线，相交于点， 则的长为_________． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，用适当的方法解方程． 18. 如图，在中，为边上的中线，延长至E，使，连接． （1）试判断四边形的形状； （2）当满足________时四边形是矩形． 19. 为了解某校七年级学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），随机调查了该校七年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加体育锻炼时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加体育锻炼的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校七年级学生共有600人，估计该校七年级学生每周参加体育锻炼的时间是的人数约为多少？ 20. 如图，在四边形ABCD中，，，，，如果，求CD的长． 21. 已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km．张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张强离开宿舍的时间/min 10 20 35 70 张强离宿舍的距离/km 0.6 ②填空：张强从超市到体育场的速度为　　km/min； ③当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min 到达体育场．李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 22. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，，；等边的顶点，点是的中点． （1）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点，，的对应点分别为、、，设，等边与矩形重叠部分面积记为． 如图②，当边与相交于点，边与相交于点，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围． 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级作业反馈1 数学学科 答题时间：90min 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 3. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得． 4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质， 根据中，双曲线位于第一，三象限，每一个象限内函数值y随着x的值的增大而减小，再比较可得答案． 【详解】解：∵中， ∴双曲线位于第一，三象限，每一个象限内函数值y随着x的值的增大而减小， 点在第一象限，点在第三象限， ∴． 故选：D． 5. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D. 整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，熟练掌握箱线图的特征以及值与空气质量的关系是解题的关键， 通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染， ∴该地区年月有重度污染天气，故选项正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区年月的值不如月集中，故选项错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区年月的值中位数大于月值的中位数，故选项正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项正确． 故选：． 6. 二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，   对称轴在  轴右侧，   ，    抛物线与轴交点在轴下方，  抛物线与轴有两个不同的交点， 一元二次方程  有两个不相等的实数根， 综上所述，，，． 7. 如图，在中，，，小田同学利用尺规按以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，交边于点D．则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，理解尺规作图作垂直平分线的步骤成为解题的关键． 由作图可得垂直平分，即；然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接 由作法得垂直平分， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解； 【详解】解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴， ， ； ， 将点代入函数解析式，可得； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 9. 某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由一个主干长出个支干且每个支干又长出同样数目的小分支，可得出共长出个小分支，再结合主干、支干和小分支的总数是111，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：一个主干长出个支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 10. 四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】当时，点M在上，求出，，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；先将代入的面积表达式求出结果，再由可推断点M在上，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：当时，， ∵点M的运动轨迹是，以的速度运动，， ∴点M在上的运动时间为， 当时，点M在上， ∴， ∴，故①错误； 当时，，，， ∴， 当时，的面积取得最大值，故②错误； 当时，， 当时，， 而点M此时在上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 13. 直线l1：y=kx+b与直线l2：y=-3x在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为____. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据交点的横坐标求得交点的纵坐标,然后知交点坐标就是方程组的解. 【详解】∵l1：y=kx+b与直线l2：y=-3x的交点的横坐标为-1, ∴y=-3×(-1)=3， ∴两直线的交点坐标为（-1,3）, ∴关于x,y的方程组的解为. 故答案为:. 【点睛】本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系,解题的关键是了解两直线的交点坐标就是方程组的解. 14. 已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而减小， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） 15. 如图，是反比例函数的图像上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数的性质．利用反比例函数的几何意义得，然后根据反比例函数所在的象限确定的值． 【详解】解：的面积等于， ， 解得：或， 反比例函数图像过第二象限， ， ， 故答案为：． 16. 如图， 正方形的边长为，作以为底的等腰三角形， (1)的面积为___________； (2)若，分别为，的中点，为的中点，射线，相交于点， 则的长为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理； （1）过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）连接，由为的中点，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，由（1）知，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）过作于， ， ， ， 的面积为， 故答案为：； （2）连接， 为的中点， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， 由（1）知，， ， 为的中点， ， ， ， ； 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，用适当的方法解方程． 【答案】（1）且． （2），． 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程二次项系数不为0及根的判别式大于0列不等式求解； （2）代入，用配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵   ， ∴  ， 解得， 综上所述，的取值范围是且； 【小问2详解】 当时，原方程为，  ∴ ，  ，  ，  ， ∴ ，． 18. 如图，在中，为边上的中线，延长至E，使，连接． （1）试判断四边形的形状； （2）当满足________时四边形是矩形． 【答案】（1） 四边形是平行四边形； 证明：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的判定等知识． （1）证明四边形的对角线互相平分，即可得到结论； （2）当时，根据矩形的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，平行四边形是矩形． 故答案为： 19. 为了解某校七年级学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），随机调查了该校七年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加体育锻炼时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加体育锻炼的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校七年级学生共有600人，估计该校七年级学生每周参加体育锻炼的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1）50，32，8，8 （2）这组数据的平均数是 （3）估计该校七年级学生每周参加体育锻炼的时间是的学生人数约为168 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以所占的比例求出，用1减去其它的百分数，求出的值，利用中位数和众数的确定方法求出中位数和众数即可； （2）利用平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：，， ∴， 由图可知，位于中间的两个数均为8，出现次数最多的也是8， ∴中位数和众数均为8； 故答案为：50，32，8，8； 【小问2详解】 ， ∴这组数据的平均数为； 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生占， ∴根据样本数据，估计该校七年级600名学生中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生人数为，． ∴估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为168． 20. 如图，在四边形ABCD中，，，，，如果，求CD的长． 【答案】. 【解析】 【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD、BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，利用△CDE是等腰直角三角形，即可求出CD的长． 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于E， ∵AB＝AD，∠A＝90°，AB＝， ∴AD＝AB＝， ∴由勾股定理可得BD＝， ∵∠CBD＝30°， ∴DE＝BD＝×2＝1， 又∵Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∠C＝45°， ∴DE=EC=1 ∴由勾股定理可得CD＝． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，把△BCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 21. 已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km．张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张强离开宿舍的时间/min 10 20 35 70 张强离宿舍的距离/km 0.6 ②填空：张强从超市到体育场的速度为　　km/min； ③当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min 到达体育场．李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 【答案】（1）①0.3，0.9，1.2；②0.06；③ （2）0.3km 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可； ③分为，，三种情况，利用路程、速度、时间的关系列函数关系式即可； （2）先求出李明步行的解析式，然后判断追上的时间不超过20分钟，可得方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：①，由图填表： 由于， ∴张强离宿舍的距离为； 由于， ∴距离为； 当时间为时，距离宿舍； 故答案为：0.3，0.9，1.2； ②张强从超市到体育场的速度为， 故答案为：； ③当时，； 当时，； 当时，； ∴； 【小问2详解】 解：李明的速度为， ∴李明步行中离宿舍距离， 李明步行用时， ∴追上张强的时间在20分钟内， 解方程组得， ∴李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是． 22. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，，；等边的顶点，点是的中点． （1）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点，，的对应点分别为、、，设，等边与矩形重叠部分面积记为． 如图②，当边与相交于点，边与相交于点，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由，点是的中点，可得点坐标，由等边的顶点，可求点坐标； （2）连接交轴于，则四边形、是矩形，当、重合时，记点的对应点为，则是等边三角形，根据等边三角形的性质结合勾股定理可求解的长，从而确定的取值范围；当矩形与重叠部分为五边形时，根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，点是的中点， ∴； ∵等边的顶点， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接交轴于，则四边形、是矩形， ∴，， 由题意知，，， 当、重合时，记点的对应点为，则是等边三角形， ∴， ∴， ∴当矩形与重叠部分为五边形时，，即， 由平移的性质可知，， ∴， ∴． 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $