第2章 常用逻辑用语（单元分层自测·能力提升卷）数学苏教版必修第一册

**基本信息** 高一数学常用逻辑用语单元能力提升卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合逻辑推理与创新情境，适配单元复习，提升数学思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|命题否定、充要条件、集合运算|第3题Agnes论断问题，考查逻辑推理；第7题迷宫情境，体现数学眼光观察现实| |多选|3题18分|全称特称命题、充分条件|第11题整数“类”概念，培养抽象能力与推理意识| |填空|3题15分|方程实根条件、命题真假|第14题集合与象限关系，强化数学语言表达| |解答|5题77分|集合性质、充要条件证明|第19题“优美子集”探究，综合考查逻辑推理与创新意识，契合核心素养要求|

2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 常用逻辑用语·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B C D D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．充分 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意若p为真，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以， 即或， 所以m的取值范围为或.（6分） （2）由题意若q为真，则关于x的方程无实数根， 所以， 即， 因为p为假且q为真， 故， 即， 综上所述，m的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）当时，，结合， 则，，或，；（5分） （2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以且，即； 首先判断集合的空集情况：， 其判别式，即恒成立，（8分） 故对任意恒成立，即； 要满足 ，需满足不等式组：，且两等号不能同时成立； 解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或， 取二者公共部分得，（13分） 当时，，，此时，不符合题意， 故实数的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为.（7分） （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是.（5分） （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或.（10分） （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）具有，不具有，理由如下： 取，，，满足，，是偶数， 所以集合具有性质； 集合中所有元素均为奇数，任意三个元素的和为奇数，不满足条件③， 所以不具有性质.（4分） （2）是，理由如下： 由是偶数，得实数是偶数， ①若，则由，得，矛盾. ②若，则，，.由，得，故，满足题意， 所以集合. ，，， 所以是的“优美子集”.（8分） （3）先证充分性：是集合的“优美子集”具有性质. 集合是集合的“优美子集”，所以存在三个互不相同的，，， 不妨设，使得，，. 且，， 为偶数， 所以集合具有性质.（11分） 再证必要性：具有性质是集合的“优美子集”. 集合具有性质，所以中存在，，， 同时满足①；②；③为偶数， 令，，， 所以，，，，均为整数， 因为，所以， 所以，且，，均为正整数，所以，，， 因为，，，所以，，，（15分） 所以当集合具有性质时，集合是集合的“优美子集”. 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“优美子集”的充要条件是集合具有性质.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题:，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 3．Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 4．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图象都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 10．使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 11．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“”是“方程有实根”的______条件．（用“充分”“必要”填空） 13．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 14．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. (1)若p为真，求m的取值范围； (2)若p为假且q为真，求m的取值范围. 16．（15分） 已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 18．（17分） 已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 19．（17分） 已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”. (1)若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由； (3)对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题:，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由题意得命题的否定是，. 2．两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 【答案】C 【解析】对于选项A：面积相等的两个三角形形状、边长不一定完全相同， 比如同底等高的锐角三角形和钝角三角形面积相等但不全等， 因此“面积相等”只是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项B：对应角相等只能说明两个三角形相似，边长可以成任意相同比例， 比如大小不同的两个等边三角形对应角相等但不全等， 因此“对应角相等”是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项C：根据三角形全等的判定公理，三角形的三边长度完全确定后， 三角形的形状和大小就被唯一确定，对应边相等的两个三角形必然全等； 反过来，全等三角形的对应边必然全部相等，因此“对应边相等”是两个三角形全等的充要条件. 对于选项D：三角形的对应外角相等等价于对应内角相等，和选项B性质一致，只能推出两三角形相似， 无法保证全等，属于必要不充分条件. 3．Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【答案】B 【解析】假设论断1为假，即四个论断都是假的，但论断4若为假， 即四个论断都是真的，与假设矛盾，故论断1为真； 假设论断2为假，即至多有一个论断为真的，因为论断1为真， 则论断2、3、4为假，但论断3若为假，即至多有一个为假， 假设与论断3矛盾，故论断2为真； 假设论断3为假，即至多有一个为假，因为论断1、2为真， 故论断4也为真的，与假设符合，故论断3为假； 若论断4为假，即四个论断都是真的，但论断3为假的， 假设与论断3矛盾，故论断4为真； 综上，论断1、2、4为真，论断3为假. 4．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A：若，由，可得；若，由，可得， 不满足充分性，故A错误； 选项B：根据函数的单调性知，“”是“”的充要条件，故B错误； 选项C：由，可得；不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 选项D：“”不能得出，也不能推出， 故是的既不充分也不必要条件，故D错误． 5．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 6．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D 7．现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 8．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【解析】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图象都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 【答案】AC 【解析】对于A，显然为真命题； 对于B，一定为偶数，故B选项为假命题； 对于C，设，易知其定义域为，又，所以为偶函数，故C选项为真命题； 对于D，若命题，则p的否定为：，故D选项为假命题， 故选：AC. 10．使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【解析】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 11．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】BCD 【解析】对于A，由得，故A错误； 对于B，由得，故B正确； 对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故，故C正确. 对于D，若整数属于同一“类”，则， 故，所以； 反之，不妨设，则， 若，则，即，所以整数属于同一“类”； 故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“”是“方程有实根”的______条件．（用“充分”“必要”填空） 【答案】充分 【解析】充分性：当时，方程为，此时，所以方程有实根，充分性满足. 必要性：方程有实根，等价于，解得.所以必要性不满足. 综上，“”是“方程有实根”的充分条件. 13．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 14．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. (1)若p为真，求m的取值范围； (2)若p为假且q为真，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意若p为真，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以， 即或， 所以m的取值范围为或. （2）由题意若q为真，则关于x的方程无实数根， 所以， 即， 因为p为假且q为真， 故， 即， 综上所述，m的取值范围为. 16．（15分） 已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，结合， 则，，或，； （2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以且，即； 首先判断集合的空集情况：， 其判别式，即恒成立， 故对任意恒成立，即； 要满足 ，需满足不等式组：，且两等号不能同时成立； 解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或， 取二者公共部分得， 当时，，，此时，不符合题意， 故实数的取值范围为. 17．（15分） 已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【解析】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 18．（17分） 已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【解析】（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是. （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是. 19．（17分） 已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”. (1)若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由； (3)对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”. 【解析】（1）具有，不具有，理由如下： 取，，，满足，，是偶数， 所以集合具有性质； 集合中所有元素均为奇数，任意三个元素的和为奇数，不满足条件③， 所以不具有性质. （2）是，理由如下： 由是偶数，得实数是偶数， ①若，则由，得，矛盾. ②若，则，，.由，得，故，满足题意， 所以集合. ，，， 所以是的“优美子集”. （3）先证充分性：是集合的“优美子集”具有性质. 集合是集合的“优美子集”，所以存在三个互不相同的，，， 不妨设，使得，，. 且，， 为偶数， 所以集合具有性质. 再证必要性：具有性质是集合的“优美子集”. 集合具有性质，所以中存在，，， 同时满足①；②；③为偶数， 令，，， 所以，，，，均为整数， 因为，所以， 所以，且，，均为正整数，所以，，， 因为，，，所以，，， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“优美子集”. 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“优美子集”的充要条件是集合具有性质. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题:，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 3．Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 4．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图象都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 10．使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 11．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“”是“方程有实根”的______条件．（用“充分”“必要”填空） 13．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 14．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. (1)若p为真，求m的取值范围； (2)若p为假且q为真，求m的取值范围. 16．（15分） 已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 18．（17分） 已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 19．（17分） 已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”. (1)若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由； (3)对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $