精品解析：江西南昌县莲塘第一中学2025-2026学年高一上学期10月质量检测数学试卷

2025—2026学年度上学期高一10月质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定直接写出否定命题即可. 【详解】命题“”的否定是. 故选：D. 2. 若，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，，，则，A错； 对于B选项，取，，，则，B错； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，，则，D对. 故选：D. 3. 已知集合，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合B中的元素，从而判断出C中可能的元素，结合子集的个数计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知， 由于，则C中元素必有，且C中元素多于2个， 其余可能有的元素可从中选取， 故C的个数等于集合的非空子集的个数，为个， 故选：D 4. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 取，满足，而，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以是任意奇数，所以集合是所有奇数构成的集合. 同理，当，时，表示的是所有比4的整数倍多1的数，即①， 当时，表示的是所有比4的整数倍少1的数，即②， 所以①②合起来也是全部奇数，所以集合也是所有奇数构成的集合， 所以，故A，C错误，B正确； 因为集合是所有奇数构成的集合，所以是所有偶数构成的集合， 所以，故D错误. 6. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 7. 设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 8. 已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ） A. 37 B. 39 C. 48 D. 57 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到集合的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合中的元素，从而推得的取值范围，由此得解. 【详解】因为集合， 又因为集合中，每个集合恰有个元素，且有个元素， 所以集合中没有重复元素， 因为是集合中数值最小的元素，是集合中数值最大的元素， 所以在的特征数构成中，必有和，不妨设， 要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即， 则， 此时有最大值为，即； 要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，即， 则， 此时有最小值为，即， 综上：， 显然，选项A不满足，故A正确； 选项BCD都满足，故BCD错误. 故选：A. 【点睛】关键点睛： 本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使取得最值时，中的元素情况，由此得解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的近似值的全体构成一个集合 B.  C. 在整数集中，若，则 D. 若，则且 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合集合的基本性质、集合间的关系、整数集的性质及子集定义的否定的对应概念逐一判断即可. 【详解】对于A，“的近似值”没有明确的精度标准，不能构成集合，故A错误； 对于B，集合，集合，显然，故B正确；  对于C，整数的相反数仍然是整数，因此若，则，故C正确； 对于D，的定义是“对任意，都有”，其否定即为“且”，也就是的等价表述，故D正确. 10. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过基本不等式、代数变形、特殊值验证等方法逐一判断各选项是否恒成立.   【详解】选项A：因为，，，由基本不等式， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确.  选项B：，又，所以， 而，所以， 当且仅当时取等号，故B正确.  选项C：，代入，， 则， 因为，所以， 则，即，当且仅当时取等号，故C错误.  选项D：， 因为，所以，则， 即，当且仅当时取等号，D正确. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若为常数，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用列举法表示集合______________________． 【答案】 【解析】 【详解】已知， 因为， 所以， 故必须为整数，否则为分数，不可能是正整数， 因此是6的约数，即的可能取值为1，2，3，6， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 综上，符合条件的y的取值为1和5，故该集合为． 13. 已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先将变形为，再分别求出和的范围，利用同向不等式的可加性，即可得到的取值范围. 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 14. 已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若：是：的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可； （2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 可知或，则. 【小问2详解】 若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 16. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或. 【解析】 【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围； （2）命题， 一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案. 【小问1详解】 命题为真命题：对任意实数都有恒成立， 当时，恒成立，当时，则，即，解得， 综上的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题，则，解得或， 若真假，则，则， 若假真，则，则或， 综上，或或. 17. 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润售价销量成本. 【答案】（1）每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得（舍去）或， 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18. 如图，已知点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过、、三点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若一元二次函数在上的最大值为3，求实数的值； （3）是第一象限内抛物线上一点，连接，，构成，当的面积达到最大值时，求出点的坐标及面积的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式，顶点. （2）或. （3）点，面积的最大值. 【解析】 【分析】（1）求出点、坐标，利用交点式写出解析式，再代入点，即可得解. （2）根据对称轴与区间的位置关系，分类求解即可. （3）过点向轴作垂线，交线段于点，设点，，把面积写成关于横坐标的二次函数，再求最值. 【小问1详解】 由已知直线， 令，代入，得，则. 令，代入，得，则. 抛物线过点，，设抛物线的解析式为， 代入，解得， 则抛物线的解析式为，顶点. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线开口向下，对称轴为，顶点处函数值为. 若区间包含，函数的最大值，舍去. 区间在对称轴右侧，即，时，最大值在处，即，解得. 区间在对称轴左侧，即，时，最大值在处，即，解得. 【小问3详解】 过点向轴作垂线，交线段于点. 设点，， 则，则， 又，当时，有，此时. 19. （1）正数满足，求的最小值. （2）借助（1）的解题方法，解决下列问题:若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1）， （2），取等号的条件为，或，， （3）时，M取得最小值 【解析】 【分析】（1）由条件可得，再利用基本不等式求的最小值，由此可得结论， （2）由（1）的方法可得，再结合比差法和的大小即可， （3）令，，可得，结合（2）的结论求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为，，所以，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以当，时，取最小值，最小值为， （2）， 则 ， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以，取等号的条件为，或，， （3）令，， 所以，即， 因为， 所以，，， 所以， 取等号时，，即，，此时， 所以时，M取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期高一10月质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 4. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 6. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 7. 设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ） A. 37 B. 39 C. 48 D. 57 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的近似值的全体构成一个集合 B.  C. 在整数集中，若，则 D. 若，则且 10. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若为常数，且，则的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用列举法表示集合______________________． 13. 已知，，则的取值范围为_____________________． 14. 已知，，则的最小值为____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若：是：的必要条件，求的取值范围． 16. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 17. 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润售价销量成本. 18. 如图，已知点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过、、三点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若一元二次函数在上的最大值为3，求实数的值； （3）是第一象限内抛物线上一点，连接，，构成，当的面积达到最大值时，求出点的坐标及面积的最大值． 19. （1）正数满足，求的最小值. （2）借助（1）的解题方法，解决下列问题:若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $