29.1.2　过三点的圆 教案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该教案聚焦“过三点的圆”核心知识，涵盖不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形外接圆与外心及反证法。通过考古复原圆形陶盘残片情境导入，从实际问题出发，衔接圆的基本性质，搭建新旧知识过渡的学习支架。 其亮点在于以真实情境激发数学眼光，引导学生抽象问题并探究作图方法，培养几何直观与推理能力。反证法教学结合实例，发展逻辑思维与创新意识。助力学生提升空间观念与实践能力，为教师提供清晰的探究式教学流程和可操作案例。

29.1.2　过三点的圆 教学目标 1.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用. 2.了解过不在同一条直线上的三个点作圆的方法. 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念及反证法的证明思想. 4.培养观察力以及全面分析问题的思维习惯.使学生掌握解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展其实践能力与创新精神. 重点难点 重点：掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法. 难点：经历“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆. 教学过程 情景导入 某地考古队在考古过程中发现了许多圆形陶盘残片，其中有一个圆形陶盘残片的示意图如图所示，其中和是陶盘外边缘两段完整的圆弧.你能运用所学的知识复原这个陶盘吗？ 探究新知 探究点一　过不在同一条直线上的三个点作圆 【例1】如图所示的是一块残破的圆形铁片，试作出它的圆心和半径. 【解析】若求出了所在圆的圆心和半径，问题也就能得到解决.又知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故在上找第三个点，即可通过作弦的垂直平分线的方法确定圆心. 【解】①如图，在上取一点C； ②连接AC，BC； ③作AC，BC的垂直平分线a，b，a，b相交于点O，点O就是所求的圆心； ④连接OC，OC就是这个圆的半径. 【归纳总结】确定圆时，可先找出圆上的三点，再作以这三点为顶点的三角形的任意两边的垂直平分线，两条线的交点即为圆心，圆心与圆上任意一点之间的线段即为圆的半径. 探究点二　三角形的外接圆 【例2】如图，在△ABC中，点O是它的外心，BC＝24cm，点O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径. 【解析】由外心的定义可知外接圆的半径等于OB，过点O作OD⊥BC交BC于点D.易得BD＝12cm，由此可求它的外接圆的半径. 【解】如图，连接OB，过点O作OD⊥BC交BC于点D，则OD＝5cm，BD＝BC＝12cm.在Rt△OBD中，OB＝＝＝13（cm），即△ABC的外接圆的半径为13cm. 探究点三　反证法 【例3】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 【解析】用反证法进行证明，先设三角形内的三个角都大于60°，然后得出假设与三角形内角和相矛盾，从而证得结论成立. 【解】假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°， 于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°， 与三角形的内角和等于180°矛盾， ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 【方法总结】（1）有些命题的结论中含有“至多”“至少”“超过”“不超过”等词，可考虑利用反证法.（2）若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列出来，并逐一加以否定之后，才能肯定原结论是正确的.（3）在推理论证时，要把假设作为新增加的已知条件加进去. 课堂训练 1. 如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 2.用反证法证明两直线平行，同位角相等，则应先假设　　　　　　　　　　　. 3.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，4），C（6，2）. （1）在图中作出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）点M的坐标为　　　　　； （3）判断点D（5，－2）与☉M的位置关系. 板书设计 29.1.2　过三点的圆 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.三角形的外接圆和外心. 3.反证法的一般步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 课堂小结 本节课我们通过探究经过点作圆的过程，学习了过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，还知道了三角形的外接圆和三角形外心的概念及反证法的证明思想. 教学反思 　　本节课主要学习确定圆的条件、三角形的外接圆和反证法.在教学中，教师应引导学生自主探索确定圆的条件，要求学生依次经过一个点、两个点、三个不在同一条直线上的点作圆，让学生由易到难经历作圆的过程，并从中探索出确定圆的条件.对于反证法，用具体实例说明反证法存在的意义.这样，学生自己的亲身体验，加上教师的具体指导和同学间的自主交流，能使学生更加牢固地掌握圆的知识. 答案 课堂训练 1.D　2.两直线平行，同位角不相等 3.解：（1）如图，点M就是要找的圆心. （2）（2，0） （3）连接AM.圆的半径AM＝＝2， 线段MD＝＝＜2， ∴点D在☉M内. 学科网（北京）股份有限公司 $