陕西师范大学附属中学2025-2026学年度第二学期高三年级集训（三）数学试题

**基本信息** 陕西师大附中高三数学集训卷，模拟高考结构，以解答题（5题77分）为核心，注重运算能力、推理能力与模型意识的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|函数、几何等基础模块|基础巩固，考查抽象能力与几何直观| |多选题|3/18|概率统计、导数应用|能力提升，体现批判性思维| |填空题|3/15|数列、解析几何|情境化设计，发展数据意识| |解答题|5/77|函数与导数、立体几何综合|创新应用，强调逻辑推理与数学表达|

陕西师大附中2025—2026学年度第二学期 高三年级集训（三）数学试题 注意事项： 1．本考试满分150分，时间120分钟． 2．答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整． 3．本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用0.5 mm的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 4．只交答题纸，不交试题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 3．已知单位向量，，满足，则（ ） A． B． C．1 D．2 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．设双曲线：（，）的焦距为，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知正项等比数列的前项和为，满足，，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前30项和为（ ） A．464 B．465 C．466 D．467 7．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和．若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．若随机变量（），且，则 C．若随机变量（），且，则 D．对一组样本数据，，…，进行分析，由此得到的线性回归方程为：，则至少有一个数据点在回归直线上 10．已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于，两点（位于第一象限），过，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（ ） A．的最小值为2 B．若直线交轴于点，，则 C．抛物线在点，处的两条切线相互垂直 D．若，则梯形面积为16 11．在中，角，，的对边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（ ） A．为钝角三角形 B． C．若为边的中点，则的取值范围为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为____． 13．已知函数满足对任意实数都成立，若，，则____． 14．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为，则的值为____、该顾客第____次摸球抽中奖品的概率最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人．现从这200名学生中随机选1名学生，设事件为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件为“选到的学生为男生”，且，． （1）根据已知条件，完成下列列联表，从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为，求的值； 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本小题满分15分）记数列的前项和为，已知，． （1）证明是等差数列，并求； （2）记数列的前项和为，证明：． 17．（本小题满分15分）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18．（本小题满分17分）若椭圆：（）上一点处的切线方程为．已知椭圆：（），，分别为左、右顶点且离心率，直线过点交椭圆于，两点．当直线垂直于轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）连接，，，并过，两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点．直线和直线的斜率分别为和，，两点横坐标分别为，．证明： （i）为定值； （ii）为定值． 19．（本小题满分17分）已知函数（）． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若，，使得当时，的值域为． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $陕西师大附中2025一2026学年度第二学期 高三年级集训（三)数学试题参考答案 陕西师大附中高2026届 高三年级集训 数学试题（三） 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 题号123456 78 答案D 1.答案：D 解析：由√x<4解得0≤x<16,由x+1>0解得x>-1,所以M∩N=[0,16),故选D. 2.答案：B. 解析：由上=-1+i解得z= 7 3.答案：A. 解析：由同===1，及ā-6+2c=0得6-a=2c,则(6-a}=2-2a6=4,解得 ai=-1,故选A. 4.答案：B. 解析：由已知得-sina+3cosa=0,故tana=3,sin2a= 2sinacosa 2tana3 n2a+cos2aana+1亏，故选B. 5.答案：B. 解析：因为a2、b2、c2成等差数列，所以2b2=a2+c2,又c2=a2+b2,所以2b2=a2+(a2+b2), 即62=2a2,所以9=2 该双曲线的渐近线方程为y=士： 2 x,故选B b 2 6.答案：C +1 解析：由已知得an=4”， b. [ 当n=1时，b=2,当 n22时，。，=m.设数列6，}的前30项和为0,30=2+2++30=2+2+30×2 2 =466,故 选C. 7.答案：A. 解析：根据题意，甲、乙两个扇形的半径相等，设为r,并设甲、乙两个扇形的圆心角分别为% 四，弧长分别为1,4，根据年2 ==2,4+a2=3,解得a=2,a2=1,所以1=4y=21 azr2 az 2 陕西师范大学附属中学高三参考箐案 数学试颗 第1币（进R 专=，可得合会牛号培-导做选 8.答案：C. 解析：f(x)=e*+x-m,g(x)=lnr+x-m=lnr+enr-m=cr+lnx-m=∫(lnx),f(x)在R 上单增，c+x=m,当x=0时，c+x=1,当m>1时，x>0,故lnx2>0,x2>1,即lnx2=x.令 1=立=5，名e心o),r)=1-h互，故函数)在，)上递增，(e,∞在上递减，则 x好 所以+e+片） 故选C。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求 的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BC ACD ACD 9.答案：BC. 解析：4选项，排序得55,6,6,7,78,9,9,9，第70百分位数为8+9=85，故4错误： B速项，E)=10p=20,得p=号则D()）=10×兮-引-16，故B正确： C选项，P(X>4)=P(X<-2)=p,则μ=1，故P(-2<X≤)=号P(-2X≤4)=1-2p)=)-p, 故C正确： D选项，中点(：，)一定在线性回归方程直线上，但并不能保证至少有一个数据点在回归直线 上，故D错误. 10.答案：ACD 解析： 对于A,由抛物线焦点弦最短为2p可知，故A正确： 对于B,由2FA=AM, (20得 行写M0同)，P4=3,故B错误： 1V6 对于C,抛物线在A,B处的切线分别为y=x+x，y2y=x+x2,两条切线斜率之积为 2=-p2=-1,故C正确： 对于D,由4品品。4得血0=宁小品)-8，（供中0为直袋的斜角） sine sine Sa4=044+B8-4B=0A+BF4=A4B=16,故D正确， 11.答案：ACD 解析： 对于A,因为c2+2b2=9=a2,所以a2>b2+c2,故A为钝角，△ABC为钝角三角形，故A正 确： 对于B，2AB.CA=CB.CA台2Acos(AB,CA）=C@cos(CB,C台-2 ccosA=-acosC÷ 陕西师范大学附属中学高三参考答案 数学试题 第2页（共8页） -2cx+c2-a2=a×2+a2-c2e-26+e2-a)=62+a2-c2台30+c2=02=-9,故B错误 2bc 2ab 对于C,法1：以B为坐标原点，BC为x轴正方向建立平面直角坐标系，设A(x,y),B(0,O), C(3,0),则4®+24C=9,可得x2+y2+2[(x-3}+y2]=9,化简得(x-22+y2=1,故A在 以72，o)为国心，1为半径的圆上，又M(20在图T内，则1-p<hM<n4+1,即M水号 法2：设=1，根据中线定理有+e2=2+引，又2-9-2水，代入得-} 42 又b+c>a=3,故c>3-b,则c2>(3-b)2→9-2b2>(3-b)2,解得0<b<2,故 -号G引则引 (22 故C正确： 对于D,3 sinCsin B≤sinA-3 csin B≤a=3-csin Bs1,法1：设A到边BC的距离为h,由 C选项知h≤1，即csinB≤l,故D正确. 法2：csinB≤1~c2sin2Bs1白c2(1-cos2Bs1,代入余弦定理可得 a2+c2-b2)1 9+c2-9-c2)2 csin Bs1c2-c2x ≤1c2-c2× 4a2c2 2≤1-5≥0，故D正确 36c2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 19 252 -1 422 12.答案：252. 解析：因为(1+3x”的展开式共有9项，所以n=8,（1+3x)”=(（1+3x)3,展开式的通项为 T1=Cg(3x=Cg3x,其中r=0,1,2,…,8,取r=2,可得I=C832x2=252x2,所以展开式中 含x2的项的系数为252， 13.答案：-1. 解析：已知f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x)f(x+1)f(x+2),所以 f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=f(x+)f(x+2)f(x+3),两式相减得 f(x+3)-f(x)=(f(x+3)-f(xf(x+2)f(x+1),f)f(2)≠0，f(x+2)f(x+1)≠0， 则f(x+3)-f(x)=0,∴.f13)-f(14)=f(0)-f(2)=-1. 4案2 解析：记该顾客第(eN)次摸球抽中奖品为事件4，依题意，月-号， 月=P4)-P叫4P氏64)+P同)P4同-号x对-引对是因为46 P(4)2卫=P(4),所以P(4)=P(4)P(4A+P(a)(4,小，所以 陕西师范大学附属中学高三参考答案 数学试题 第3页（供8页） +-R)=名+所以月2引a22,aeN, 又因为月=号则-0，所以数列}是首项为-公比为的等比数列， 只号厂当为商数时，号70号是当为偶数时，-7 P随着刀的增大而减小，所以P≤乃号，综上，该顾客第二次损球抽中奖品的概率最入 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.解： (1)愿意报名参加答题活动的人数为200×？-120，愿意参加答题活动的学生为男生的人数为 120×名=80，放愿意参加活动的学生为女生的人数为120-80=40，不愿意参加答题活动的学生为 男生的人数为100-80=20，不愿意参加答题活动的学生为女生的人数为100-40=60， 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意摁名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 4分 由表格得不愿意参加答题活动得80人有60个女生， 所以p的估计值为60=3 804 7分 (2)零假设为H。：该校学生报名参加答题活动与性别无关， 根据表中数据可得，？2_20×(20×40-60x802100 80×120×100×100 3 33.333>10.828=X0.01,11分 根据小概率值α=0.001的x独立性检验，我们推断H。不成立，即认为该校学生报名参加答题活动 与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.13分 16.解： （1)当n22时，Sn-1=(n-1)a--(n-1）儿h-2）…1分 两式相减得，an=nan-(n-1)am-1-(n-1)n+(n-1)(n-2),2分 即(n-l0(an-a--2）=0,3分 由于n-121,所以an-an-1=2(n22)，… 4分 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列.5分 所以an=3+2(n-1)=2n+1.… …7分 (2)由(1)知Sn=n2+2n,… 9分 所以安可北中 11(11) .10分 所以-…+ n-1n+1nn+2 11分 陕西师范大学附属中学高三参考答案 数学试题 第4页（共8页） 限+2a网 .13分 又四为2a+2习20，所以7<号 2n+3 .15分 17.解： (1)取AB的中点M,连接CM,M,:R,M分别是EB和AB的中点，∴FMLB:1分 :BA和DC都垂直于平面ABC,且EM=2DC,DC必兮AB,2分 FM业DC,四边形FMCD为平行四边形，DF∥CM,.4分 又DF文平面ABC,CMC平面ABC,DF∥平面ABC.…6分 A M B (2)设B到平面4CDB的距离为d,则-4ae=片8sd=x+22g=3,放d=3.8分 32 法一：由于DC垂直于平面ABC,建立如图空间直角坐标系C-2,9分 ~M=2Dc=2,4C=2c@a0,00.4020,5Q2列，设B60则F得号 设平面DEF的法向量为m=(x,y,z)，则由 [DF.m=0, 层生2 +2y=0取x=1+2,得 D2m=0 2y+z=0, y=-3,2=6,因此平面DEF的-个法向量m=(t+2,-3,6).12分 由于DC垂直于平面ABC,因此n=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量，13分 陕西师范大学附属中学高三多考答案 数学试题 第5页（共8页） 设平面DBr与平面BC的夹角为0，则cos9=eos(m,训= m列 6 35 同·同+22+45 5， :平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值为2y5 .15分 法二：延长ED和AC交于点N,过A作AH⊥BN于N,:EA⊥平面ABC,EA⊥BN,又 :AH⊥BN且AH∩EA=A,BN⊥平面HE,BN⊥NE,∠AHE为平面DEF与平面ABC的 夹角， .11分 Nd=BNAH,得BN,AH=12,而BN3,所以AH≤4，当且仅当，：BN⊥AN时 1 由S△ABN=2 等号成立：13分 如i韶后为，w2 5 六平面D8F与平面ABC平角的余弦值的最大值为25 .15分 N A H 18.解： 9在描因上，且由： 13 (1)由题意可知 ,可得a=2b,联立方程 a+46=1。 a=2 a=2b b=1 所以椭圆CX+y=1 …4分 4 (2)(1)由题意可知直线AB不与x轴重合，设直线AB:x=my-1,点A(x,以)，B(x2,y2) 4+=1(m2+4y2-2my-3=0.为+%= 2+4'2 2m m2+4'4=16m2+48>0. -3 x=my-1 k=名-2=h(+-h(m2+2)。m42+y .6分 k2y2(:-3)y2(my-2）myy2-3y2 x2+2 又因为为+y2= 3 hh8分 2m 所以专 4+为片男 6+为)3别 3 9分 陕西师范大学附属中学高三参考答案 数学试题 第6页（共8页） (1)由题意可知过点4的切线和点丑的切线分别为：华+0=1，和警+分=1，联立方程 学+w= 白xD= 4(4-2】」 4为-2） =4.11分 琴+w=1 4-xh(（my2-1)4-(my-1)2 %=1生=m,所以D(4,m. 412分 直线y产2+4小，直线0y=产2-2) -到 →） 气宁 w=30为-n)+(m+6mw-3m2+904+为)+9m 3(y2-4) 2+6-m2+930m =-1+ m2+4 ..15分 3(y2-) w是6习 =3k1,又由(1)可知k2=3k,所以koM=k32,即OM∥BP.…16分 XM 可得N为B2中点，所以w=自牛2，即2xW-Xg=2.17分 2 19.解： (0当a=1时.8-竖，g-,所以g间=0，g-日 x e 1 故切线方程为y=二 4分 e (2)(①显然在上单调递增，则/风为之，二所以盛些2。一 f()= x1 x2 a 陕西师范大学附属中学高三参考答案 数学试题 第7页（供8） 令F()=,则F'()=1-,故F)在(0，e)上单调递增，在(C+o∞)上单调递减， 2 F)=,函数F()的大致图象为下图，故有0<<，即a的取值范围为（色+o)10分 a e 1 e y= 0 0 1 e （）记国=x+经2，则因-士三-学，款（问在@小上单调递减，在e回）上单 xx21 调递增，故因≥回=0，即≥2-至。合=>2-号，即2子-2%+e>0, a 同理。2-2+e>0,因为函数：()-日2-2x+e的△=4-仁>0，且对称轴为x=a, a 则方程t(x)=0存在两根m,n(m<a<n),且m+n=2a,m=ae, 故n-m=V(m+m2-4mm=V4a2-4ea,又m<a<n,且(s)>0,(3)>0,t(e)<0,为<e< 所以x<m<c<a<n<2,则为-为>n-m=V4a2-4ea,即(3-3)2>4(a2-ca.17分 、