3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（教学课件） 数学 人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质及应用，涵盖直线与抛物线位置关系、中点弦、定点定值、最值等核心知识点。通过激光切割抛物面反光镜、城市喷泉水柱与步道距离等实际问题导入，搭建从具体情境到抽象性质的学习支架，衔接抛物线定义与几何性质的应用。 其亮点在于视频导入结合真实情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，如激光反射问题引导发现抛物线光学性质。通过坐标法、韦达定理推理证明（如焦点弦性质），强化数学思维，题型分类训练（中点弦、最值等）与真题感知助力知识内化。学生能提升解题能力，教师可依托丰富例题与练习高效教学。

·选择性必修第一册· 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第2课时） 学习目标 掌握抛物线的几何性质及其简单应用.（重点） 掌握抛物线中点弦、定点、定值、最值相关问题.（难点） 熟记一些常用的二级结论（培优） 目录 CATALOG 01.直线与抛物线的位置关系 03.应用新知 02.抛物线中相关问题 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第2课时） 01 直线与抛物线的位置关系 导入新知1：激光切割——抛物面反光镜与入射光线 某激光切割设备的核心部件是抛物面反光镜，其截面为抛物线 y2=4x（单位：cm）。激光束从不同方向射向反光镜，工程师需要判断：哪些方向的激光束能到达焦点？哪些方向会被反射偏离？ 问题1：一束激光沿直线 y=x+1 射向反光镜，这束激光与抛物线有几个交点？激光是否会被反射到焦点？如何用代数方法判断？ 问题2：如果激光束恰好经过焦点 F(1,0)，它与抛物线的另一个交点在哪里？焦点弦的长度如何计算？哪种激光束的能量传输效率最高？ 导入新知2：城市喷泉——水柱与观景台的最近距离 某城市广场中央有一座音乐喷泉，水柱从原点 O(0,0) 射出，在空中形成抛物线 x2=4y（单位：米）。广场上修建了一条直线观景步道 l:y=x+2，游客沿步道行走。 问题1：水柱与观景步道是否相交？如果相交，交点在何处？如果不相交，水柱离步道最近的距离是多少？如何用数学方法计算？ 问题2：如果步道恰好与水柱相切，步道方程应满足什么条件？此时游客距离水柱最近，这个最近距离是多少？ 视频导入，引入新知 复习回顾，引入新知 抛物线的简单几何性质 应用新知 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D， 求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 分析 我们用坐标法证明这个结论， 即通过建立抛物线及直线的方程， 运用方程研究直线DB与抛物线对 称轴之间的位置关系． 建立如图所示的直角坐标系， 只要证明点D的纵坐标与点B的 纵坐标相等即可． 应用新知 证 明 应用新知 证 明 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． 思考：你还有其他证明方法吗？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的范围、抛物线中的参数范围问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据抛物线方程求焦点或准线、求抛物线的对称轴 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据抛物线方程求焦点或准线 02 抛物线中相关问题 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第2课时） 应用新知 分析 证法二 应用新知 证法二 应用新知 结论 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的对称性的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的对称性的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量的有关概念、空间向量的加减运算 03 应用新知 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第2课时） 应用新知 例6 证 明 应用新知 04 题型强化训练 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第2课时） 能力提升 题型一 抛物线的中点弦 解 析 例 题 能力提升 总结 求抛物线中点弦方程方法： 能力提升 题型二 抛物线上点到定点（定直线）的最值 解 析 例 题 能力提升 题型二 抛物线上点到定点（定直线）的最值 解 析 例 题 能力提升 总结 求抛物线上点到定点（定直线）的最值方法： 能力提升 总结 求抛物线上点到定点（定直线）的最值方法： 能力提升 题型三 抛物线定点、定值问题 解 析 例 题 能力提升 题型三 抛物线定点、定值问题 解 析 例 题 能力提升 题型四 抛物线的应用 例 题 能力提升 题型四 抛物线的应用 解 析 05 真题感知 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第2课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第2课时） 课堂小结 抛物线的简单几何性质 重要题型 抛物线的中点弦 复习回顾几何性质 ①范围 ②对称性 ③顶点 ④离心率 ⑤开口 ⑥通径 几何性质的应用 证明几何关系 抛物线有关的轨迹方程问题 到定点、定直线的最值 抛物线定点、定值问题 作业 作业1：完成教材：第138页 练习1,2,3,4,5; 作业2：配套辅导资料对应的《抛物线的简单几何性质 第2课时》 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第2课时） 课后作业答案 练习（第138页） 课后作业答案 练习（第138页） 课后作业答案 练习（第138页） 课后作业答案 练习（第138页） M N 课后作业答案 练习（第138页） M N 课后作业答案 练习（第138页） M F l 课后作业答案 练习（第138页） M F l 课后作业答案 练习（第138页） A B 课后作业答案 练习（第138页） 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 7.如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线，宽为7 m，高为0.7 m，试建立适当的坐标系，求这条抛物线的方程。 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 8.图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水下降 1m后，水面宽多少？ 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) 课后作业答案 习题3.3 (第138页) M H N 课后作业答案 习题3.3 (第138页) M H N 课后作业答案 习题3.3 (第138页) M H N 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 图形及方程 开口 范围 对称轴 顶点 离心率 通径 ___ _________ ____ ____ ____ ____ ___ __________ ___ _________ ____ ___ __________ 1.（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线 ，点 EMBED Equation.DSMT4 ，点P在C上， 的最小值是 ，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】设点的坐标为，因为的最小值是，所以， 所以，整理得，，因为，所以， 所以，又，所以．故选：A. 2.（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系 中，已知定点 ，点 在抛物线 上运动，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 3.（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线 ，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【详解】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误.故选：D. 4.（25-26高二下·山西·期末）若抛物线 的焦点在直线 上，则 __________． 【详解】由题知，抛物线的焦点为， 代入得， 解得． 5.（2026·福建泉州·三模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 在第一象限相交于 ， 两点，若 ，则 __________． 【详解】设，直线方程， 联立，得，由韦达定理得（*）， 因为，且， 则，代入（*），解得， 所以. 6.（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系 中，已知定点 ，点 在抛物线 上运动，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 7.（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线 ： 与圆 ： （ ）交于 ， 两点，且 ，则 _______. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 8.（25-26高三·全国·一轮复习）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 上，则这个等边三角形的边长为________. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则另外两个顶点关于x轴对称，如图所示：设等边三角形边长为a，，则A点横坐标为，则，代入得，解得（舍去），故等边三角形的边长为.故答案为：. 9.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知抛物线 的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若 为线段 的中垂线，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【详解】如图，作出符合题意的图形，设，，，若为线段的中垂线，则，而，，则，而在抛物线上，得到，解得，得到，解得，则，得到，而， 由两点间距离公式得，解得，故C正确. 10.（26-27高三上·甘肃·开学考试）（多选题）已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，焦点为 ，若 ，则（    ） A． B．直线 与 相切 C． 的准线方程为 D． 【详解】设，由得，，，，由， 得或（舍去）， A正确；由得，方程无实根，则线与无公共点，即直线与不相切，B错误；抛物线的准线方程为，C错误；，D正确.故选：AD. 1.（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，若准线上的点到直线的距离为，则__________． 由抛物线的准线方程为，点在准线上，得，解得.因此，抛物线方程为， 焦点.当直线斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为，与题设距离矛盾， 故直线斜率存在.设直线的方程为，整理为，由点到直线的距离公式得，化简得， 即，两边平方后整理得，解得.联立，消去得，， 设，，由韦达定理得，由抛物线焦点弦长公式得. 2.（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________． 因为为抛物线上的动点，所以可设，则到的距离为：，则时，，此时，故答案为：. 3.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 抛物线方程为：，焦点为，AB的倾斜角为，所以所在的直线方程为：， 联立消去整理得：，由韦达定理得：， ， 点到直线：的距离为：，所以的面积为：. 4.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 准线的斜率为，因此过焦点且垂直于准线的对称轴斜率为​，可得方程是，整理得， 联立，解得，即垂足为， 顶点即为焦点和垂足的中点，由中点坐标公式得： ，​，因此顶点坐标为. $