3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本节课聚焦人教 A 版（2019）选择性必修第一册 3.2.2 双曲线简单几何性质第 2 课时，核心是深化双曲线几何性质应用与综合问题解决.通过例题解析，巩固双曲线离心率、渐近线相关计算，掌握利用性质求双曲线方程的方法，学会分析直线与双曲线的位置关系（联立方程判断判别式符号）.同时，结合实际问题渗透数形结合思想，引导学生运用双曲线性质解决距离、最值等综合问题，提升逻辑推理与运算求解能力，形成对双曲线几何性质的完整认知与灵活运用能力 2.内容解析 本节课是人教 A 版（2019）选择性必修第一册双曲线几何性质的第 2 课时，属于性质应用与综合提升阶段.承接上一课时对双曲线范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等基础性质的认知，本节课聚焦核心知识的深化应用：一方面巩固离心率与渐近线的关联计算，强化 “由性质求方程”“由方程析性质” 的双向转化逻辑；另一方面突破直线与双曲线位置关系这一重点难点，通过联立方程、分析判别式符号，让学生掌握相交、相切、相离的判定方法.课程融入数形结合思想，结合实际问题与综合题型，引导学生将单一性质转化为解题工具，解决距离、最值等复杂问题，既衔接了圆锥曲线的通用研究方法，又为后续抛物线性质学习及解析几何综合应用奠定基础，同时培养学生逻辑推理、运算求解及知识迁移能力. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握双曲线离心率、渐近线的综合应用及直线与双曲线位置关系的判定方法. 1.教学目标 （1）掌握双曲线的简单几何性质并进行简单应用． （2）掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程. （3）掌握直接法求动点的轨迹方程. （4）会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 2.目标解析 （1）该目标是对前一课时基础性质的巩固与延伸，要求学生熟练掌握双曲线离心率、渐近线等核心性质，能实现 “性质与方程” 的双向转化.通过简单应用训练，强化知识记忆与基础运算能力，为后续复杂综合问题解决筑牢根基，是本节课的知识铺垫目标. （2）这是本节课的核心技能目标，聚焦弦长与中点弦两大高频考点.要求学生理解公式推导逻辑，并非机械记忆，能通过联立直线与双曲线方程，结合韦达定理灵活运用公式.培养学生代数运算与数形结合的核心素养，是解析几何解题能力的关键提升点. （3）该目标侧重方法掌握与思维培养，直接法是轨迹方程求解的基础方法.要求学生能分析动点满足的几何条件，将其转化为代数方程，再进行化简整理.既衔接解析几何 “几何问题代数化” 的核心思想，又为后续学习其他轨迹求法提供方法参考. （4）这是知识应用与能力迁移的综合目标，要求学生通过判别式分析直线与双曲线的位置关系.结合实际问题，将数学知识与现实场景结合，培养学生抽象建模、逻辑推理能力，体现数学的实用价值，同时提升学生综合运用知识解决复杂问题的能力. 学生已掌握双曲线的定义、标准方程及范围、离心率、渐近线等基础几何性质，能进行简单的性质与方程互化，但对知识的综合应用能力较弱.此前学习过直线与椭圆的位置关系，具备一定的联立方程、运用韦达定理的经验，不过运算熟练度不足，处理复杂代数运算易出错.​ 预估教学困难： 困难一是弦长公式与中点弦方程的推导逻辑理解不透彻，易机械记忆； 困难二是判断直线与双曲线位置关系时，忽略二次项系数为零的特殊情况； 困难三是直接法求轨迹方程时，难以准确转化几何条件为代数方程. 解决方法： 一是通过分步推导公式、板书关键步骤，强化逻辑认知； 二是对比直线与椭圆的位置关系，突出双曲线的特殊性，结合例题专项突破； 三是引导学生先分析动点几何特征，再逐步转化为代数表达式，加强变式训练. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：双曲线弦长与中点弦方程的灵活运用，及直线与双曲线位置关系的综合判定. 视频导入：观看双曲线的应用之美, 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 (－c，0)，(_____，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 ________ 范围 _______ ，y∈R _______ ，x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，_____)，(0，a) 轴长 实轴长＝________，虚轴长＝________ 离心率 e＝____ > 1 渐近线 ____________________ y＝±x 等轴双曲线 定义 ____ 和____ 等长的双曲线叫做等轴双曲线 方程形式 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0时，焦点在____轴上； λ<0时，焦点在____轴上 性质 ①离心率：e＝________ ②渐近线方程：________________ 学生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备，由学生代表分享答案，师生共同完善补充. 教师：上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质，这也是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题. 设计意图：借助广州塔视频激发学习兴趣，通过复习填空巩固旧知，建立新旧知识关联，自然引出本节课直线与双曲线综合问题的学习主题. 教学建议：视频控制在 1-2 分钟，聚焦双曲线应用场景；复习题突出离心率、渐近线核心考点，鼓励学生自主纠错，强化知识衔接为新课铺垫. 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，． 设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为， 因为直径是实轴，所以，又，两点都在双曲线上，所以 由方程②得（负值舍去）．代入方程①得 ， 化简得 ③ 解方程③得 （负值舍去） 因此所求双曲线得方程为． 方法总结：双曲线有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设双曲线的标准方程； (2) 结合双曲线的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出双曲线的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 牛刀小试： 练1：某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系. 求此双曲线的方程. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设双曲线的方程为， 由题意知，所以， ，， 所以，， 所以，解得，所以双曲线的 方程为. 设计意图：通过典例解析，归纳基本题型，帮助学生形成基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法.发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养. 例5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合 ． 由此得 ． 将上式两边平方，并化简得 ． 即 ． 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为的双曲线（如下图）． 方法总结：直接法求轨迹方程 判断方法：若求动点轨迹的题干中有一个明显的等式关系，可优先考虑直接法 （1） 设动点：比如设动点P(x,y) （2） 等式：找到题干中的一个“等式关系” （3） 符号化：将第二步中的“等式关系”进行数学符号化处理，表示成关于x,y的式子. （4） 标准化：将以上式子等价变形，变为标准形式的方程 （5） 下结论：将不满足题意的点剔除掉，并写出方程或图形 牛刀小试： 练2：在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线. 求曲线的方程，并说明曲线C是什么图形. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：由题设得，即， 整理得，所以曲线的方程为， 曲线C为焦点在x轴上，焦距为10，实轴长为8的双曲线. 思考：将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？ 学生：学生回顾之前的例题，然后进行观察对比，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：若动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是， 则当时，动点的轨迹是椭圆，当时，动点的轨迹是双曲线．这就是椭圆和双曲线的第二定义． 例6 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，，所以直线的方程为 ① 由，消去，得． 解方程得，． 将，的值分别代入①得，，， 于是，，两点的坐标分别为，． 所以． 思考：是否有不把x1,x2具体的值计算出来，就能求出弦长的方法呢？ 学生：学生自主尝试着想想与做做，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 数学里重要数学思想：设而不求 的重要数学思想. 弦长公式： 学生：尝试着用以上弦长公式求弦长 预设：由例6可知，消元后得一元二次方程为：． 由韦达定理得，． 所以， 或者： 解方程得，． 牛刀小试： 练3：过点斜率为的直线与双曲线：相较于两点，求. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以. 方法总结：双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 题型一：求共焦点的双曲线方程 例题 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 预设： 因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B 题型二：求双曲线的中点弦方程 例题1 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 预设：设，，因为中点为， 所以，， 又， ，两式相减，得 ， 即，整理得， 直线l的斜率为，直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 方法总结：点差法求中点弦方程 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，求直线l的方程 设，，因为中点为，所以，， 又， ，两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为，直线l的方程为. 题型三：直接法求轨迹方程 例题 在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和P到直线l：的距离之比是常数．求动点P的轨迹方程； 预设：由题意可知，， 化简得，于是，动点的轨迹方程为． 题型四：求弦长 例题 已知双曲线C：，直线l：交双曲线C于A，B两点，求弦长|AB|. 预设：令，， 把代入，消去y得， ， . 题型五：直线与双曲线的位置关系问题 例题 已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点； 预设：（1）联立，消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2） 当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*） 化为，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交， 有且只有一个公共点，满足题意． 当时，因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得；综上，或. （3）因为直线l与C没有公共点，所以，解得： 或. 方法总结：利用直线与双曲线的交点个数求参数范围： 当只有一个交点时：（1）直线与双曲线相切，联立方程，一元二次方程 （2）所求直线与渐近线平行 当有两个交点时：直线与双曲线相交，联立方程，一元二次方程 当没有交点时：直线与双曲线相离，联立方程，一元二次方程 题型六：双曲线的简单应用 例题 江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（     ） A．米 B．米 C．米 D．30米 预设：设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 1．（22-23高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 预设：椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 2．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 预设：设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 3．（高二上·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求. 预设：（1）解：设，则的斜率分别为，， 由已知得， 化简得， 即曲线C的方程为， 曲线是一个双曲线，除去左右顶点. （2）联立消去整理得， 设，，则， . 4．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 预设：直线过定点，直线与双曲线图象如图所示， 又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 5．（高二上·北京·期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是（    ）(结果精确到)(参考数值：，，) A． B． C． D． 预设：如图：建系， 因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线方程，， 又因为，，则， 将代入双曲线方程，可得，解得，即， 当水面下降，纵坐标，代入双曲线方程可得， . 故选：B 1．弦长公式 已知直线与双曲线交于两点，则 答案： 2．直线与双曲线位置关系的判断 已知直线，双曲线，由可得①， （1）当 时，①仅有一个解，此时直线与双曲线有一个交点； （2）当，若①对应的判别式为， 当时，①有两个不同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①有两个相同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①无解，此时直线与双曲线 交点； 答案： 2 1 0 作业1：完成教材：第127页 练习1,2,3,4,6. 作业2：配套辅导资料对应的《双曲线的简单几何性质 第2课时》.  3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 1. 弦长公式： 2. 直接法求轨迹方程 3. 中点弦 4. 数学思想：设而不求思想 5. 例题区：（学生板演区域） 本节课聚焦双曲线几何性质的综合应用，教学中通过视频导入和旧知复习有效衔接新课，帮助学生建立知识关联.但在弦长公式与中点弦方程教学中，部分学生对推导逻辑理解不深，存在机械记忆现象，后续需增加分步推导的互动环节.直线与双曲线位置关系判定时，学生易忽略二次项系数为零的特殊情况，虽通过对比例题强调，但变式训练不足.此外，学生运算熟练度有待提升，复杂计算耗时较长影响课堂进度.今后教学需优化习题设计，分层设置任务，强化公式推导的逻辑梳理，增加针对性变式训练，同时预留足够运算时间，兼顾不同层次学生的学习需求，提升知识应用的灵活性与准确性. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $