2.4 有理数的加法与减法（分层作业19题）《典例全解·题型通关》 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数加减运算，通过基础概念辨析、运算技能训练、实际问题解决及综合拓展，构建从概念到应用的完整知识逻辑链，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2、填空8-9|符号判断、绝对值应用|有理数概念→加减法则预备| |运算技能|选择4-7、填空11、解答15|运算律应用、简便计算|法则→运算律→技巧提升| |实际应用|选择3、5、解答16-17|温度/海拔/人数变化|数学建模→实际问题解决| |综合拓展|填空13-14、解答18-19|规律探究、新定义、绝对值几何意义|数形结合→逻辑推理→创新意识|

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.4 有理数的加法与减法（分层作业19题） 一、选择题 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 【答案】D 【分析】利用有理数加法的符号规律，结合反例排除错误选项，或从反面推导正确结论． 【详解】解：两个正数的和为正数，故A错误； 取两数为和，和为是负数，但两数一正一负，故B错误； 取两数为和，和为是负数，两数同为负数；取两数为和，和为是负数，有一个数为0，故C错误； 若两个数均为非负数，则它们的和必为非负数，与两数和为负数矛盾，则这两个数至少有一个为负数，故D正确． 3．电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】C 【分析】根据正负数的意义与相反数的概念，先根据题意得到消耗续航的计数，再计算得到最终结果． 【详解】解：∵充电后获得的续航记为公里， ∴消耗的续航里程记为公里， ∴变化后对应的数值为公里． 4．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】本题主要考查了加法交换律和加法结合律，熟练掌握这两种运算律的定义是解题的关键．分析式子变形过程，判断所运用的运算律． 【详解】解：∵ 原式可化为， 小磊将项重新排列并分组为， 其中交换加数顺序使用了加法交换律，改变分组方式使用了加法结合律， ∴ 小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 5．如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：冷藏室比冷冻室温度高． 6．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 7．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减的运算法则．由有理数的加减的运算法则和加法交换律进行计算，即可进行判断． 【详解】解： ，故甲正确； ，故乙正确． 故选A． 二、填空题 8．数轴上点表示，点表示．则与两点间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离公式．根据数轴上两点间的距离等于两点坐标之差的绝对值，列式求解即可． 【详解】解：点表示，点表示，则与两点间的距离为． 故答案为：． 9．若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行判断即可． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 10．如图是保险箱的轮盘，转动轮盘（指针固定不动）即可打开保险箱．如果按顺时针方向转动轮盘记为正，按逆时针方向转动轮盘记为负，轮盘的指针一开始指向0，那么按照“”“”“”“”转动后，指针所指的数是______． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际应用及有理数的加减混合运算，关键是明确正负数代表相反的转动方向，将每次转动的对应数值累加，即可得到轮盘转动的方向和格数，从而得到指针最终指向的数． 【详解】解：根据题意，初始指针指向0， 依次转动轮盘后最终转动的格数为：， 因为按顺时针方向转动轮盘记为正， 所以指针最终所指的数是． 故答案为：． 11．在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键．根据同分母分数可以利用凑整法，解答即可． 【详解】观察分母，在计算时， 中可以填， 得 ． 故答案为：（答案不唯一）． 12．绝对值小于的所有整数的和是_____． 【答案】0 【分析】先根据绝对值的性质找出绝对值小于的所有整数，再根据有理数加法法则计算求和即可． 【详解】解：绝对值小于的所有整数为， ． 13．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2025次，蚂蚁在数轴上的位置所对应的数是______． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点的变化规律等知识﹒分别计算出爬行1，2，3，4，5次后对应位置，据此得到规律，设爬行次数为k次，当k为奇数时，则位置为；当爬行次数为偶数时，则位置为，据此即可求解﹒ 【详解】解：记录蚂蚁每次爬行后的位置： 第1次爬行后：； 第2次爬行后：； 第3次爬行后：； 第4次爬行后：； 第5次爬行后：； ……， 由此发现规律：设爬行次数为k次，当k为奇数时，则位置为；当爬行次数为偶数时，则位置为﹒ 当爬行次数为2025次时，位置为﹒ 故答案为：1013﹒ 14．在如图所示的“幻圆”游戏中，要将分别填入图中的圆圈内， 使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，现在已有部分数值填入“幻圆”中，则图中的所有可能值为______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则． 故答案为：或． 三、解答题 15．计算（能简便的就简便计算）： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】根据有理数的加减运算法则以及绝对值的性质，结合加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．有一架直升机从海拔的高原上起飞，第一次上升了，第二次上升了，求此时这架直升机的海拔． 【答案】 此时这架直升机的海拔为． 【分析】将初始海拔与两次上升的高度作有理数加法运算，即可得到最终海拔． 【详解】解：已知直升机初始海拔为，第一次上升，第二次上升， 答：此时这架直升机的海拔为． 17．南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） （1）星期三的人数为________万人； （2）这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； （3）请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 【答案】（1）1.2 （2）六，2.7 （3）这一星期内南湖公园一共接待了11.7万名游客 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）用上周日的人数加上表格中前三个数据，求和即可； （2）求出每天的人数，比较大小即可； （3）（2）中每天的数据求和即可． 【详解】（1）解：（万人）； 故答案为：1.2； （2）解：星期一人数为（万人）； 星期二人数为（万人）； 星期三人数为（万人）； 星期四人数为（万人）； 星期五人数为（万人）； 星期六人数为（万人）； 星期日人数为（万人）； 故人数最多的是星期六，有2.7万人； 故答案为：六，2.7 （3）解：（万人）； 答：这一星期内南湖公园一共接待了11.7万名游客． 18．表示一个两位数，是十位上的数字，是个位上的数字．四位正整数为，如果，且，则称为“永久数”，将从中间一分为二得到和两个两位数，． 例如：四位正整数2763， ，且， 是“永久数”． （1）若是最大的“永久数”，请直接写出：_____，_____． （2）所有的“永久数”能否被9整除？若能，请说明理由； （3）若是“永久数”，且能被8整除，求所有符合条件的的值． 【答案】（1）8190，171 （2）设永久数的千位数字为，十位数字为，则：百位数字为，个位数字为， 则这个永久数为： 这个永久数能被9整除； （3）1854或2745或5490或6381 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，得到最大时，，即可得出结果； （2）设永久数的千位数字为，十位数字为 推出这个永久数为：，即可； （3）根据题意，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵是最大的“永久数”，， ∴最大为8，为9， ∴， ∴， ； （2）略 （3）由题意，得： 能被8整除 即=能被8整除 ，且都为整数 所以 当或或或 综上所述：的值为1854或2745或5490或6381． 19．先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． 【答案】（1）5；2或；（2）13；1；（3）9；（4）4 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减运算，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和2两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式，分2种情况即可求出的值； （2）首先根据绝对值的性质分别求出的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，分4种情况求出点A和点B之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离即可； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知表示数的点在数轴上表示数和4的点之间，找到之间的所有整数并求和即可； （4）根据题意可知，表示数的点在数轴上表示数1和的点之间时，距离和取得最小值，再利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：（1）， ∴数轴上表示和2两点之间的距离是5； ∵数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴或， ∴a的值为2或； 故答案为：5；2或； （2）∵，， ∴，， ∴或，或， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴A，B两点间的最大距离是13，最小距离是1， 故答案为：13；1； （3）表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数4的点之间的距离， ∴表示到数和4的点之间的距离之和等于5的点， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数和4的点之间， ∴符合条件的整数点x为，0，1，2，3，4， ∴这些点表示的数的和是； 故答案为：9； （4）表示的是数轴上表示数的点到表示数1的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示数的点到数1和的点之间的距离之和， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数1和的点之间时，距离和取得最小值，最小值为， ∴距离和的最小值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.4 有理数的加法与减法（分层作业19题） 一、选择题 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 3．电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 4．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法结合律 5．如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 6．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 二、填空题 8．数轴上点表示，点表示．则与两点间的距离为______． 9．若且a，b异号，，则a_______0． 10．如图是保险箱的轮盘，转动轮盘（指针固定不动）即可打开保险箱．如果按顺时针方向转动轮盘记为正，按逆时针方向转动轮盘记为负，轮盘的指针一开始指向0，那么按照“”“”“”“”转动后，指针所指的数是______． 11．在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为_________． 12．绝对值小于的所有整数的和是_____． 13．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2025次，蚂蚁在数轴上的位置所对应的数是______． 14．在如图所示的“幻圆”游戏中，要将分别填入图中的圆圈内， 使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，现在已有部分数值填入“幻圆”中，则图中的所有可能值为______ ． 三、解答题 15．计算（能简便的就简便计算）： （1）； （2）； （3）； （4）． 16．有一架直升机从海拔的高原上起飞，第一次上升了，第二次上升了，求此时这架直升机的海拔． 17．南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） （1）星期三的人数为________万人； （2）这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； （3）请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 18．表示一个两位数，是十位上的数字，是个位上的数字．四位正整数为，如果，且，则称为“永久数”，将从中间一分为二得到和两个两位数，． 例如：四位正整数2763， ，且， 是“永久数”． （1）若是最大的“永久数”，请直接写出：_____，_____． （2）所有的“永久数”能否被9整除？若能，请说明理由； （3）若是“永久数”，且能被8整除，求所有符合条件的的值． 19．先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $