2.5 有理数的乘法与除法 分层作业 -2026-2027学年苏科七年级上册数学

**基本信息** 聚焦有理数乘除运算，通过基础计算、实际应用及数形结合题组，系统覆盖概念应用与运算能力培养，体现数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择1-2、填空8-9、解答15|直接考查运算法则、运算律应用|从定义到法则，再到运算律推广，形成“概念-法则-技巧”逻辑链| |实际应用|选择4-6、填空10-11、解答16-18|结合经济、生活场景的应用题|以乘除运算为核心，构建数学模型解决实际问题，培养模型意识| |数形结合|选择3、13、解答19-20|数轴折叠、点运动等几何情境题|将数与形结合，通过数轴直观理解运算性质，发展几何直观与抽象能力|

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.5 有理数的乘法与除法（分层作业20题） 一、选择题 1．计算：（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【详解】解：． 2．（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解： ． 3．大于而小于3.5的所有整数的乘积是（　　） A．12 B．0 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘法，找出大于而小于3.5的所有整数，并计算它们的乘积即可，正确找出大于而小于3.5的整数是解此题的关键． 【详解】解：∵大于而小于3.5的整数有：，，，，2，， ∴乘积为， 故选：B． 4．湖里中学九（3）班在庆祝“建党100周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由5人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅（　　） A．5次 B．15次 C．20次 D．25次 【答案】C 【分析】根据题意确定每名同学需要传阅的次数，再结合总人数计算总传阅次数即可． 【详解】解：∵小组共5人，所有同学相互传阅自己的手抄报，即每名同学都要将自己的手抄报传给除自己外的名同学， ∴总传阅次数为次． 5．甲、乙都是正整数，若甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲、乙两个数的大小关系是（     ） A．乙甲 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：甲、乙都是正整数，如果甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲数小于乙数，即乙数大于甲数． 6．《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 7．计算时，小嘉不小心把一个运算符号写错，结果得到，则他写错的是数（     ）前面的符号． A．20 B． C．22 D．23 【答案】C 【分析】根据题意，改变一个数的符号会使总和增加该数的2倍，结合正确与错误结果的差值即可求解． 【详解】解： ， 错误结果与正确结果的差值为， ∵写错一个符号后结果增大， ∴是将某偶数前的负号改为正号，且总和增加该偶数的2倍， ∴该偶数是． 二、填空题 8．，应用了______（定律） 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查乘法分配律，式子，是把相同因数提取出来，将另外的因数相加后再与相乘，应用了乘法分配律． 【详解】解： ， 根据乘法分配律的逆运算，即，其中，，，， ∴提取相同因数后得到，化简为， 故答案为：乘法分配律． 9．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 10．已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 11．买千克葡萄和千克芒果，共付款元．已知千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，那么葡萄每千克（ ）元，芒果每千克（ ）元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的应用，由千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，可得葡萄每千克（元），从而可求芒果每千克得价钱，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱， 所以葡萄每千克（元）， 所以芒果每千克（元）， 故答案为：，． 12．算式 的计算结果的整数部分为_____． 【答案】 【分析】将带分数拆分为整数部分和分数部分分别计算，先算出整数部分的和，再通过放缩法估算分数部分的和的范围，即可得到原式结果的整数部分． 【详解】解：原式 整数部分的和为 设分数部分的和为， ∵分子相同，分母越大分数值越小，且所有分母满足分母， ∴ 解得 ∴原式的总和满足 原式， 即 原式， ∴原式计算结果的整数部分为． 13．在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，折叠的性质，先求出折叠前，再结合折叠后得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可得，折叠前， ∵折叠后， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 14．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是__________． ①    ②    ③    ④ 【答案】③④ 【分析】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键；根据数轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：∵点a在的右边， ∴， 故①错误； ∵点b在1的右边， ∴， 故②错误； ∵b在a的右边， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故④正确． 故答案为：③④． 三、解答题 15．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【分析】根据有理数的加减乘除运算法则和运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 16．某地区海拔每增加，气温就降低大约．设地面气温是，请写出表示高空气温的式子． 【答案】 【分析】先计算高度对应的气温降低值，再用地面气温减去降低值得到高空气温． 【详解】解：∵海拔每增加，气温降低大约， ∴海拔增加时，气温比地面降低， ∵地面气温是， ∴表示高空气温的式子为． 17．新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． （1）李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ （2）王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 【答案】（1）元 （2）24吨 【分析】（1）根据题意及有理数的乘法计算即可； （2）先计算第一阶梯满额水费，然后再计算第二阶梯满额累计水费，进行比较求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴全部按第一阶梯单价收费：（元） 答：李叔叔家上月应交水费元． （2）解：第一阶梯满额水费：（元） 再计算第二阶梯满额累计水费（即用水25吨时的费用）： （元） ∵， ∴王阿姨家用水量超过15吨但不超过25吨，处于第二阶梯． 第二阶梯部分的水费：（元） 第二阶梯部分的用水量：（吨） 总用水量：（吨） 答：王阿姨家上月用水24吨． 18．三原圣女果是陕西省三原县特色农产品，果形椭圆、表皮光滑呈红色，口感清甜，富含维生素C、番茄红素等营养成分．小南家的圣女果每年通过网络进行包销销售，一客户在小南家预订了7箱圣女果，以每箱3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表： ，，，，，，． （1）最重的一箱比最轻的一箱重_______千克； （2）这7箱圣女果的平均质量是多少？ （3）据调查，每箱圣女果的邮寄费用为2元，圣女果在邮寄途中的受损率为5%，破损部分由小南家按售价进行赔偿．若圣女果的成本为3元/千克，售价为8元/千克，顾客以这7箱圣女果的实际质量付款，求小南家售卖这7箱圣女果获得的利润． 【答案】（1）0.6 （2）2.9千克 （3）79.38元 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可列式，然后问题可求解； （2）先得出记录中所有数据的平均数，然后问题可求解； （3）由题意易得这7箱圣女果的总质量，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：（千克）； 故答案为0.6； （2）解：（千克）． 答：这7箱圣女果的平均质量是2.9千克． （3）解：由（2）可知，这7箱圣女果的总质量为（千克）． （元）． 答：小南家售卖这7箱圣女果获得的利润为79.38元． 19．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中 A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1．设点 A，B，C 所对应的数的和是m，积是n． （1）①若以点B为原点，写出点 A，C所对应的数，并计算m的值； ②若以点C为原点，m又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且点C与原点的距离为4，求n的值． 【答案】（1）①点，所对应的数分别是，，  ② （2） 【分析】此题考查的是数轴上的点所表示的数、有理数加法和有理数乘法，掌握求数轴上的点所表示的数、加法法则和乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据题意，若以B为原点时，分别写出点A、C所表示的数，从而求出m； ②若以C为原点，分别写出A、B所表示的数，从而求出m； （2）根据题意，分别求出A、B、C所表示的数，即可求出n的值. 【详解】（1）解：①因为点为原点， A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1， 所以点，所对应的数分别是，， 则； ②因为点为原点， A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1， 所以点，所对应的数分别是，， 则； （2）解：由题意，得点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是， 则． 20．【阅读理解】 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合，例如：点表示的数是，点表示的数是，则、两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合． 【问题解决】 请你解决以下问题： 数轴上点、、分别表示数、、，在数轴上的位置如图所示，其中． （1）若，，则，两点之间的距离为_____________； （2）在（1）的条件下，沿数轴上某点折叠，使点、点重合，则折痕处对应的点表示的数为_____________； 【拓展探究】 （3）若，，，在数轴上点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，点表示的数为_____________（用含有的代数式表示），若运动过程中，的值不变，求的值． （4）在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是_____________． 【答案】【问题解决】（1）6；（2）2； 【拓展探究】（3）；；（4）1或3或5 【分析】本题考查了数轴求解两点间距离，数轴表示有理数，解决本题的关键是会应用公式求解数轴上两点间距离． 【问题解决】 （1）根据两点之间的距离公式求解即可； （2）根据将数轴沿表示的点折叠，求解即可； 【拓展探究】 （3）求解出点的运动路程，再根据求解即可；再根据两点之间的距离公式求解与，根据定值不变求解即可． （4）先根据整个线段长为10，再由长度之比为，可得对应的线段长为，再分类讨论；；三种情况求解即可． 【详解】解：【问题解决】 （1）若，，则，两点之间的距离为； 故答案为：6； （2）沿数轴上某点折叠，使点、点重合， 则折痕处对应的点表示的数为； 故答案为：2； 【拓展探究】 （3）∵点表示的点为6， 且点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为； ∵点表示的点为，点表示的点为1， 又∵点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为， ∴，， ∴， ∵运动过程中，的值不变， ∴，解得， ∴在运动过程中，当时，的值不变． 故答案为：． （4）∵在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段， ∴， 当， 则可知，如图1， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为2， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图2， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图3， ∴点B对应的点为4，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上，折痕处对应的点所表示的数是1或3或5． 故答案为：1或3或5． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.5 有理数的乘法与除法（分层作业20题） 一、选择题 1．计算：（   ） A．3 B． C． D．5 2．（     ） A．2 B． C．1 D．4 3．大于而小于3.5的所有整数的乘积是（　　） A．12 B．0 C． D．3 4．湖里中学九（3）班在庆祝“建党100周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由5人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅（　　） A．5次 B．15次 C．20次 D．25次 5．甲、乙都是正整数，若甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲、乙两个数的大小关系是（     ） A．乙甲 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 6．《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 7．计算时，小嘉不小心把一个运算符号写错，结果得到，则他写错的是数（     ）前面的符号． A．20 B． C．22 D．23 二、填空题 8．，应用了______（定律） 9．计算：_____． 10．已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 11．买千克葡萄和千克芒果，共付款元．已知千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，那么葡萄每千克（ ）元，芒果每千克（ ）元． 12．算式 的计算结果的整数部分为_____． 13．在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 14．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是__________． ①    ②    ③    ④ 三、解答题 15．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 16．某地区海拔每增加，气温就降低大约．设地面气温是，请写出表示高空气温的式子． 17．新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． （1）李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ （2）王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 18．三原圣女果是陕西省三原县特色农产品，果形椭圆、表皮光滑呈红色，口感清甜，富含维生素C、番茄红素等营养成分．小南家的圣女果每年通过网络进行包销销售，一客户在小南家预订了7箱圣女果，以每箱3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表： ，，，，，，． （1）最重的一箱比最轻的一箱重_______千克； （2）这7箱圣女果的平均质量是多少？ （3）据调查，每箱圣女果的邮寄费用为2元，圣女果在邮寄途中的受损率为5%，破损部分由小南家按售价进行赔偿．若圣女果的成本为3元/千克，售价为8元/千克，顾客以这7箱圣女果的实际质量付款，求小南家售卖这7箱圣女果获得的利润． 19．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中 A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1．设点 A，B，C 所对应的数的和是m，积是n． （1）①若以点B为原点，写出点 A，C所对应的数，并计算m的值； ②若以点C为原点，m又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且点C与原点的距离为4，求n的值． 20．【阅读理解】 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合，例如：点表示的数是，点表示的数是，则、两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合． 【问题解决】 请你解决以下问题： 数轴上点、、分别表示数、、，在数轴上的位置如图所示，其中． （1）若，，则，两点之间的距离为_____________； （2）在（1）的条件下，沿数轴上某点折叠，使点、点重合，则折痕处对应的点表示的数为_____________； 【拓展探究】 （3）若，，，在数轴上点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，点表示的数为_____________（用含有的代数式表示），若运动过程中，的值不变，求的值． （4）在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是_____________． 学科网（北京）股份有限公司 $