25.3(3) 实际问题·循环与多边形（学案教案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦“实际问题与一元二次方程”，核心内容为单循环（握手、单循环赛）、双循环（互赠贺卡、主客场赛）及多边形对角线问题。通过“探究-变式-归纳”支架，从排球邀请赛等实例抽象数量关系，衔接方程应用，构建知识脉络。 特色是以现实问题为载体，引导学生用数学眼光发现握手、赠贺卡中的数量规律，在分析总次数计算时培养推理意识与运算能力，用方程模型表达现实问题。助力学生提升应用意识，为教师提供结构化资源，高效落实核心素养。

25.3(3) 实际问题·循环与多边形 教学设计（教案） 一、教学基本信息 课 题：25.3(3) 实际问题与一元二次方程——循环与多边形 课 型：新授课 课 时：1 课时 年 级：九年级 教 材：人教版九年级上册 第二十五章 总 课 时：45 分钟 二、教学目标 知识与技能： 能解决单循环、双循环（比赛场次）问题，列出 n(n-1)/2、n(n-1) 型方程； 能解决多边形对角线、握手等问题，运用 n(n-3)/2； 能辨析“单循环”与“双循环”的区别。 过程与方法： 在“探究一 单循环、探究二 双循环”中自主建模，体会计数与方程的结合； 通过对比，提升审题与建模的精准度。 情感态度与价值观： 感受方程在体育、生活中的广泛应用； 在辨析中培养严谨的审题习惯。 三、教学重难点 教学重点： 单/双循环场次、多边形对角线等问题的方程建模 教学难点： “单循环”与“双循环”的区分； 对角线公式 n(n-3)/2 的理解与应用。 四、教学准备 学生课前完成的预习学案 多媒体课件（循环示意图） 课堂学案（含【学习检测】） 五、教学过程（学生自学为主，师生点拨互动） 环节1 目标导学·预习自学（5分钟） 【学生活动】阅读学案【知识回顾】，独立回顾比赛场次常识、多边形内角和、列方程步骤；明确本课学习目标，带着问题进入自学。 【教师点拨】课前发放学案，课堂伊始出示学习目标与自学提纲，引导学生聚焦核心问题，提醒自学的方法与时间。 【设计意图】以目标驱动自学，唤醒旧知，为新知建构铺垫，落实“先学后教”。 环节2 合作探究·新知建构（15分钟） 【学生活动】依据学案【新知学习】中的“探究一 单循环、探究二 双循环、对角线问题”独立尝试，再同桌或小组合议；记录困惑与不同解法。 【教师点拨】巡视各组探究过程，捕捉典型思路与误区；针对核心难点“单循环 n(n-1)/2 与双循环 n(n-1) 的区分”组织全班交流，在关键处点拨、追问、提炼，引导学生自主概括规律（如单循环:n(n-1)/2；双循环:n(n-1)；对角线:n(n-3)/2）。 【设计意图】把课堂还给学生：自学—互学—展学—点拨，在师生互动中突破重难点，形成方法。 环节3 跟踪练习·巩固内化（12分钟） 【学生活动】独立完成学案【跟踪练习/巩固】题目，规范书写步骤并自我核对。 【教师点拨】巡视批阅，标记共性问题；选取典型错例投影，组织学生“找错—析因—纠错”，针对性点拨易错点。 【设计意图】在练习中内化方法，教师以学定教、精准点拨，避免“一讲到底”。 环节4 学习检测·评价反馈（10分钟） 【学生活动】完成学案【学习检测】自测，先自查再同桌互评，红笔订正。 【教师点拨】利用投影或实物展台讲评重点题，师生共同归纳解题通法；对学困生个别辅导。 【设计意图】以测促学、以评导学，及时反馈，确保目标达成。 环节5 归纳小结·分层作业（3分钟） 【学生活动】自主梳理本课知识与方法（可借助学案小结栏），提出仍存疑问。 【教师点拨】引导学生构建知识网络，升华思想方法（如降次、转化），布置分层作业（基础+提升）。 【设计意图】促进元认知，形成结构；分层作业兼顾全体与个体差异。 （本课时合计约 45 分钟） 六、板书设计 25.3(3) 循环与多边形 单循环场次：n(n-1)/2 双循环场次：n(n-1) 多边形对角线：n(n-3)/2 关键：审清“单/双”循环 七、作业布置 完成学案【学习检测】题目 整理三类计数模型公式卡片 八、教学反思 （课后填写：学生自学达成度、师生互动有效性、难点突破情况、改进措施） 学科网（北京）股份有限公司 $25.3实际问题与与一元二次方程(3) 【新知学习】 探究一单循环问题 1.例1要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛一场，受场地和时间等条件，赛程计 划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 分析：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场，因此比赛的总场次为 场 解： 变式会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？ 解题方案： 设设参加会议的共有x人， (1)用含x的代数式表示： 每两人握一次手，则每人要握次手，其中甲与乙握手和乙与甲握手是相同的，因此握手总数为 (2)根据题意，列出相应方程： (3)解这个方程，得 (4)检验： (⑤)答：参加会议共有人 温馨提示：方程的根必须检验，不符合题意的要舍去。 归纳：单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等。总次数(-)，其中n为参与对象的数 量 探究二双循环问题 2.例2若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.如果有支球队参赛，那么比赛的总场数为 解： 变式元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年 级一班共有x名学生，那么所列方程为() Ax2=1980 B.x(x+1)=1980 1 C.x(x-1)=1980 D.2x(x-1)=1980 归纳：双循环指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发贺卡等.总次数=n(n-1),其中n为参与对象 的数量 注意：握手问题及球赛单循环问题有重复，所以总数要除以2；而送贺卡问题不存在重复，故总数不要除以 2. 3.例3一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？ 如果不存在，说明理由 思考：这是单循环问题还是双循环问题？和前面的问题有什么不一样？ 分析：这是个循环问题.n边形从每个顶点出发，可连接除」 外的个顶点形成对 角线，每条对角线只计数一次. 解： 【学习检测】 1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为() A9人B.10人C.11人D.12人 2.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意， 下面列出的方程正确的是() 1 1 A2xx+1)=110B.7xx-1)=110 C.x(x+1)=110 D.x(x-1)=110 3.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍 参加比赛？() A8 B.10C.7 D.9 4已知一个凸多边形的对角线条数是14，那么这个多边形的边数是 5.某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和他邀请到的专家，在专家到会时，林经理和每位专家 握一次手表示欢迎：在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都 握了一次手，则所有参加会议的人共握手20次.参加这次会议的专家有多少人？ 6.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有多少人？25.3实际问题与与一元二次方程(3) 【新知学习】 探究一单循环问题 1.例1要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛一场，受场地和时间等条件，赛程计 划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 分析：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他x1支球队各赛1场，因此比赛的总场次为x(x1)/2场. 解： 设应邀请×支球队参赛，单循环总场次为x(x-1)/2. 由题意每天4场、共7天，总场次为4×7=28. 所以x(x-1)/2=28,即x2-x-56=0. 解得x=8,x=-7(不合题意，舍去)· 答：应邀请8支球队参赛。 变式会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？ 解题方案： 设设参加会议的共有x人： (1)用含x的代数式表示： 每两人握一次手，则每人要握x-1次手，其中甲与乙握手和乙与甲握手是相同的，因此握手总数为 x(x-1)/2. (2)根据题意，列出相应方程：x(x-1)/2=190. (3)解这个方程，得x2-x-380=0,解得x1=20,x2=-19(舍去). (4)检验：x=-19不合题意，舍去. (⑤)答：参加会议共有20人. 温馨提示：方程的根必须检验，不符合题意的要舍去 归纳：单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等.总次数=2n(n-1),其中n为参与对象的数 量 探究二双循环问题 2.例2若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛如果有支球队参赛，那么比赛的总场数为-). 解： 双循环总场数公式为nn-1). 若总场数为300，则nn-1)=300,即n21-300-0. △=(-1)2-4×(-300)=1201. 因为1201不是完全平方数， 所以n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 变式元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年 级一班共有x名学生，那么所列方程为() Ax2=1980 B.x(x+1)=1980 1 C.x(x-1)=1980 D.2x6x-1)=1980 【答案】C 【解析】互赠贺卡属双循环（无重复），总数x8-1)=1980,选C. 归纳：双循环指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发贺卡等.总次数=n(-1),其中n为参与对象 的数量 注意：握手问题及球赛单循环问题有重复，所以总数要除以2；而送贺卡问题不存在重复，故总数不要除以 2. 3.例3一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？ 如果不存在，说明理由 思考：这是单循环问题还是双循环问题？和前面的问题有什么不一样？ 分析：这是个单循环问题.边形从每个顶点出发，可连接除自己和相邻的顶点外的n-3个顶点形成对角线， 每条对角线只计数一次。 解： 设凸多边形边数为n,对角线总数为n-3)/2 由题意：n1-3)/2=20,即-3n-40=0. 解得n=8,2=一5（舍去），此多边形为8边形 若存在18条对角线，则n1-3)/2=18,即n?-3n-36-=0. △=9+144153，不是完全平方数，n不为整数. 所以不存在有18条对角线的多边形. 【学习检测】 1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为() A9人B.10人C.11人D.12人 【答案】C 【解析】单循环碰杯x(x-1)/2=55→x=11,选C. 2.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意， 下面列出的方程正确的是() 1 1 A2x6+1)=110B2xx-1)=110 C.x(x+1)=110 D.x(x-1)=110 【答案】D 【解析】双循环总场xx-1)=110→x=11,选D. 3.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍 参加比赛？（) A8 B.10C.7 D.9 【答案】B 【解析】单循环xx-1)/2-45→x=10,选B. 4.已知一个凸多边形的对角线条数是14，那么这个多边形的边数是7. 5.某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和他邀请到的专家，在专家到会时，林经理和每位专家 握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都 握了一次手，则所有参加会议的人共握手20次.参加这次会议的专家有多少人？ 设参加会议的专家有x人，则总人数为+1人：林经理与每位专家到会、离会各握1次（共2x次），专家 之间共握xx-1)/2次. 由题意：2x+x(x-1)/2=20. 整理得x2+3x-40-0,解得x1=5,x2=-8(舍去). 答：参加会议的专家有5人， 6.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有多少人？ 设小组有x人，互送贺卡属双循环，共x(x-1)张. 由题意：xx-1)=72. 解得X=9,x2=-8(舍去). 答：这个小组共有9人，