25.2.3 因式分解法（学案教案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦因式分解法解一元二次方程，通过“知识回顾”复习因式分解及“ab=0则a=0或b=0”原理，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到降次求解的方法。 特色在于“新知学习”中归纳四步解题步骤，结合错误辨析培养推理意识和运算能力，学习检测通过实例强化数学语言表达，提升学生解题规范性，为教师提供分层教学素材，提高课堂效率。

25.2.5 因式分解法（学案·学生版） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 【知识回顾】 1. 将下列各式因式分解：________；________；________；________。 2. (1) 如果 ，那么 a=____ 或 b=____； 　　(2) 如果 ，那么 x=____ 或 x=____； 　　(3) 如果 ，那么 ________ 或 ________，即 ____，____。 3. 说出下列方程的根：，____，____；，____，____；，____，____。 【新知学习】 1. 解下列方程：；　。 解：(1) 因式分解得 ________=0. 则 ______ 或 ______. 即 ____，____。 　　(2) 因式分解得 ________=0. 则 ______ 或 ______. 即 ____，____。 归纳：像这种通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做 用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①移(右化零)——方程的 ________=0； ②分(左分解)——方程的左边 ____________； ③化(两因式)——方程化为 ________________； ④解(各求解)——写出方程两个解。 简记：右化零　左分解　两因式　各求解。 跟踪练习：用因式分解法解下列方程：；　；；。 2. 解下列方程：；　。 解：(1) 原式可化为 ，即 (3x+1+√5)(3x+1-√5)=0，则 ______ 或 ______，即 ____，____。 　　(2) 原式可化为 ，即 ，则 x-3=0，即 ____。 归纳：注意运用平方差和完全平方公式。 跟踪练习：；　；；；；。 3. 解方程：(1) ；(2) 。 判断以下解法是否正确，如果错误，请说明原因，并给出正确解法。 解：(1) 等号两边除以 3x+2，得 x=6，∴x=6。 　　(2) x+1=4 或 x-2=4，∴x₁=3，x₂=6。 4. 思考：学习用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程后，你能说说它们各自的特点吗？ 　　________ 是推导公式的基础，适用于所有方程，但步骤烦琐； 　　________ 是通用解法，操作规范，但计算量大； 　　________ 简便快捷，但只适用于可分解的方程。 　　但它们共同的思路是：先将一元二次方程化为两个一次方程，即 ________，再分别解两个一次方程。 【学习检测】 1. 我们解一元二次方程 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 ，从而得到两个一元一次方程：3x=0 或 x-2=0，进而得到原方程的解为 x₁=0，x₂=2。这种解法体现的数学思想是（　） A.转化思想　B.函数思想　C.数形结合思想　D.公理化思想 2. 解方程 最简便的方法是（　）　A.配方法　B.公式法　C.因式分解法　D.以上方法都一样 3. 用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（　） A.(2x-2)(3x-4)=0，∴2x-2=0 或 3x-4=0 B.(x+3)(x-1)=1，∴x+3=1 或 x-1=1 C.(x-2)(x-3)=23，∴x-2=2 或 x-3=3 D.x(x+2)=0，∴x+2=0 4. 若关于 x 的一元二次方程的两根分别为 -5，7，则该方程可以为（　） A.(x+5)(x-7)=0　B.(x-5)(x+7)=0　C.(x+5)(x+7)=0　D.(x-5)(x-7)=0 5. 方程 的根为（　）　A.x=-4　B.x=5　C.x₁=-4，x₂=5　D.以上结论都不对 6.(2026黄冈模拟) 甲、乙两位同学都在黑板上解方程 ，解答过程如下：甲：两边同时除以 x，得 x=2；乙：移项，得 ，x(x-2)=0，x-2=0 或 x=0，解得 x₁=2，x₂=0。其中完全正确的是（　）　A.甲同学　B.乙同学　C.都正确　D.都不正确 7.(2022梧州) 一元二次方程 的根是________。 8. 用因式分解法解方程 ，可以首先把它化成(______)(______)=0。 9. 用因式分解法解下列方程：；　；；；；。 10. 用因式分解法解下列方程：；　；；；。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.5 因式分解法（学案·教师版） 2026-2027学年人教版数学九年级上册（答案已填入空处，并附详解） 【知识回顾】 1. ；；；。 2. (1) a=0 或 b=0； 　　(2) x=0 或 x=8； 　　(3) x+1=0 或 x-1=0，即 ，。 3. (1) ，； 　　(2) ，（由 2y+2=0 得 y=-1）； 　　(3) ，。 【详解】两个因式乘积为 0，则每个因式都可能为 0，分别解一次方程即可。 【新知学习】 1. (1) 因式分解得 。则 x=0 或 x+5=0。即 ，。 　　(2) 因式分解得 。则 x-2=0 或 x+1=0。即 ，。 步骤填空：①右化零——方程的 右边=0；②分(左分解)——方程的左边 因式分解；③化(两因式)——方程化为 (一次因式A)(一次因式B)=0；④解(各求解)。 跟踪练习： ⇒ ⇒ ； ⇒ ⇒ ； ⇒ ⇒ ； ⇒ ⇒ 。 【详解】(4) 移项后提取公因式 (2t+3)，注意右边 2t+3 也要移到左边。 2. (1) ⇒ (3x+1+√5)(3x+1-√5)=0，则 或 ，即 。 　　(2) ⇒ ⇒ ⇒ 。 跟踪练习： ⇒ ⇒ ； ⇒ ⇒ ； ⇒ ⇒ ； ⇒ ⇒ ； ⇒ ⇒ ； ⇒ ⇒ 。 【详解】(4) 用平方差公式： ⇒ [(4x-3)-(x+3)][(4x-3)+(x+3)]=0 ⇒ (3x-6)(5x)=0。 3. (1) 解法错误。正确解法： ⇒ ⇒ 。错误原因：两边同除以 (3x+2) 会漏掉 3x+2=0 的根。 　　(2) 解法错误。正确解法： ⇒ ⇒ ⇒ 。错误原因：只有当右边为 0 时才能分别令两因式为 0。 4. 思考填空： 是推导公式的基础，适用于所有方程，但步骤烦琐； 是通用解法，操作规范，但计算量大； 简便快捷，但只适用于可分解的方程。共同思路：先将一元二次方程化为两个一次方程，即 ，再分别解两个一次方程。 【学习检测】 1. 选 A（转化思想）。 2. 选 C（因式分解法最简便）。 3. 选 A。B、C 右边不为 0 不能直接分解；D 漏了 x=0 这一根（应为 x=0 或 x+2=0）。 4. 选 A。 的两根为 -5 和 7。 5. 选 D。应展开为 ⇒ (x-5)(x+4)=0 ⇒ x₁=5，x₂=-4，与原选项不符，故选 D。 6. 选 B（乙同学）。甲同学两边除以 x 漏掉根 x=0。 7. 。 8. 化成 （移项提取公因式 x+1）。 9. (1) ； ⇒ ⇒ ；；； ⇒ ； ⇒ 。 10. (1) ；；；；。 【详解】(4) ⇒ ⇒ (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 ⇒ (x-3)(x-9)=0。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学九年级上册 学案教案 25.2.5 因式分解法 第5课时　25.2.5 因式分解法 一、教学目标 知识与技能：①理解因式分解法解一元二次方程的依据（ab=0⇒a=0或b=0）； ②能根据方程特点灵活选用提公因式、平方差、完全平方等方法因式分解并求解； ③会辨析“右边非0时不能直接分解”与“两边不能盲目除以含未知数的式子”两类易错点。 过程与方法：通过“观察结构→选择分解方法→降次求解”体会因题制宜的优化思想。 情感态度与价值观：养成先观察、后选择解法的习惯，体会三种解法“降次”这一共同本质。 二、教学过程（约45分钟） （一）复习引入（约7分钟） 回顾因式分解四种基本形式，复习“若 ab=0，则 a=0 或 b=0”这一理论依据。 （二）新知探究（约18分钟） 例1 、 归纳“右化零、左分解、两因式、各求解”四步； 例2 平方差型 与完全平方式 ；强调先化为右边为 0。 易错点：①右边不为0不能直接分解；②不能两边同除以含未知数的因式（会漏根）。 （三）巩固练习（约13分钟） 完成学案“学习检测”第1–10题，重点讲评第3、5、6、8题的辨析。 （四）小结与作业（约7分钟） 小结：三种解法都围绕“降次”；因式分解法最快捷但受方程可分解性限制。 三、作业要求 必做：学案“学习检测”第1–9题；整理“漏根”类错题。 选做：用三种不同方法解 ，比较优劣。 分层：C层完成必做；B层加选做；A层归纳“何时优先因式分解法”。 四、板书设计 25.2.5 因式分解法 依据：ab=0 ⇔ a=0 或 b=0（降次） 四步：右化零 左分解 两因式 各求解 常用：提公因式 / 平方差 / 完全平方 例：(3x+1)²-5=0 =(3x+1+√5)(3x+1-√5)=0 x₁=(-1-√5)/3, x₂=(-1+√5)/3 注意：右边非0先移项；勿除以含x的因式 学科网（北京）股份有限公司 $