25.2.6 根与系数（学案教案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过知识回顾中具体方程填表计算两根和与积，引导学生发现规律，以求根公式为基础推导关系，构建前后知识学习支架。 特色在于“观察-探究-归纳”流程培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），如探究2利用求根公式结构推导两根和与积，体现逻辑推理。学习检测结合中考题，培养数学语言（应用意识），助力学生掌握知识，教师教学更高效。

25.2.6 根与系数的关系 教学设计（教案） 一、教学基本信息 课 题：25.2.6 一元二次方程的根与系数的关系 课 型：新授课 课 时：1 课时 年 级：九年级 教 材：人教版九年级上册 第二十五章 总 课 时：45 分钟 二、教学目标 知识与技能： 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a； 能不解方程，由系数求两根的和与积，或求关于根的对称式的值； 会逆用关系，由根的情况求参数。 过程与方法： 从求根公式出发自主推导并发现关系，体会“从特殊到一般”； 通过求 x₁²+x₂² 等对称式，提升代数式变形能力。 情感态度与价值观： 感受根与系数之间的内在和谐； 在推导与应用中体会数学的整体性。 三、教学重难点 教学重点： 根与系数关系 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a 及应用 教学难点： 逆用关系求参数； 求 x₁²+x₂² 等对称式时的配方与转化。 四、教学准备 学生课前完成的预习学案 多媒体课件（关系推导） 课堂学案（含【学习检测】） 五、教学过程（学生自学为主，师生点拨互动） 环节1 目标导学·预习自学（5分钟） 【学生活动】阅读学案【知识回顾】，独立回顾求根公式、完全平方公式；明确本课学习目标，带着问题进入自学。 【教师点拨】课前发放学案，课堂伊始出示学习目标与自学提纲，引导学生聚焦核心问题，提醒自学的方法与时间。 【设计意图】以目标驱动自学，唤醒旧知，为新知建构铺垫，落实“先学后教”。 环节2 合作探究·新知建构（15分钟） 【学生活动】依据学案【新知学习】中的“探究1/探究2：观察根与系数关系”及求对称式独立尝试，再同桌或小组合议；记录困惑与不同解法。 【教师点拨】巡视各组探究过程，捕捉典型思路与误区；针对核心难点“在 Δ≥0 前提下使用关系；对称式 x₁²+x₂² 的配方”组织全班交流，在关键处点拨、追问、提炼，引导学生自主概括规律（如x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a；x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂）。 【设计意图】把课堂还给学生：自学—互学—展学—点拨，在师生互动中突破重难点，形成方法。 环节3 跟踪练习·巩固内化（12分钟） 【学生活动】独立完成学案【跟踪练习/巩固】题目，规范书写步骤并自我核对。 【教师点拨】巡视批阅，标记共性问题；选取典型错例投影，组织学生“找错—析因—纠错”，针对性点拨易错点。 【设计意图】在练习中内化方法，教师以学定教、精准点拨，避免“一讲到底”。 环节4 学习检测·评价反馈（10分钟） 【学生活动】完成学案【学习检测】自测，先自查再同桌互评，红笔订正。 【教师点拨】利用投影或实物展台讲评重点题，师生共同归纳解题通法；对学困生个别辅导。 【设计意图】以测促学、以评导学，及时反馈，确保目标达成。 环节5 归纳小结·分层作业（3分钟） 【学生活动】自主梳理本课知识与方法（可借助学案小结栏），提出仍存疑问。 【教师点拨】引导学生构建知识网络，升华思想方法（如降次、转化），布置分层作业（基础+提升）。 【设计意图】促进元认知，形成结构；分层作业兼顾全体与个体差异。 （本课时合计约 45 分钟） 六、板书设计 25.2.6 根与系数关系（韦达） x₁+x₂ = -b/a x₁x₂ = c/a 应用：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂；逆求参数 前提：Δ≥0 七、作业布置 完成学案【学习检测】题目 整理对称式求值 2 例 八、教学反思 （课后填写：学生自学达成度、师生互动有效性、难点突破情况、改进措施） 学科网（北京）股份有限公司 $25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【知识回顾】 1.一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 2.填一填，然后想一想你能发现什么规律？ ·元二次方 两根 X1十X2= X1·X2= 程 X1 X2 2 2 x2-8x+1= 0 x2-2x-1 =0 x2+3x-4= 0 规律： 【新知学习】 1.思考：系数a,b,c确定，那么方程a+bc=0（a≠0)确定，它的两个根也唯一确定.反之，如果已知一 元二次方程的两个根，系数又会如何呢？ 探究1：观察求根公式x=-b±Vb2-4ac,整体上看有什么特点？ 2a 由x=-b±√b2-4ac可得： 2a x1=-b+b2-4ac=__+ 可以看成“m+n”的形式 2a x:=-b-Vb2-4ac= 可以看成“m-n”的形式 2a 其中m= ,n= 探究2：观察这两个式子，它们有什么特点？可以相加减或乘除吗？ 两式相加可以消去一一，两式相乘可以消去 两式相加：(m+n)+(m-n)= 即x1+x2= 两式相乘：(mtn)(m-n)= 即x1'x2= = 归纳：一元二次方程ar+b种c0(a≠0)的两个根五、和系数a、b、c有如下关系： =d X1'X2= 即：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 探究3：由因式分解法解方程a(x-x1)(x-x)=0(x,x2为己知数)可得两根为X1和X2. 将方程a(x-x)(x-x)=0化为ax+bx+c=0的形式： ax°-a(x+x)x+ax1X=0,因此可得： ax2+bk +cHaxa(x x)x tax b=-a(x1+x2)c=axx2 ∴.X1+x2= 6 6 a 2.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根五，的和与积。 (1)2-615=0: (2)3+7x-9=0: (3)5x-1=42. 解：(1)a=1,b=-6,c=-15 +x=b-6 a1=6,x 后5a (2) (3) 注意：运用根与系数关系须满足： ①方程先化成一般式；②二次项系数a不为0： ③△=b2-4ac≥0. 试一试：完成下表填空： 元二次方程 a bc 81+X9X1x 2 x2+7x+6=0 3x2+2=1-5x x(x-1)=3x+7 7x2-5=x+8 3.设五，是方程32+43=0的两个根.利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1)(x+1)(+1) 1+1 ②)X1x2 解：根据根与系数的关系得：X1十x=- b4 c-3 a3’X&= 03-1. 4、4 (1)K+1)(x+1)=xx+xtx+1=-1+（3）+1= 3 (2) 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，可将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代 入. 4.填空： (1)已知关于x的一元二次方程x+px-3=0的一个根为-3，则它的另一根为一一一 (2)关于x的一元二次方程x+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，则b=一一，c=一一 【学习检测】 1.(2025广西)己知x1,x2是方程x°-20x-25=0的两个实数根，则x1+x2=() A-25B.-20 C.20D.25 2.(2025湖北)一元二次方程x-4x+3=0的两个实数根为x1,,下列结论正确的是() AX1+x2=-4B.X1+x2=3C.X1X2=4D.X1X2=3 3.若x1,x2是方程5x2+x-5=0的两根，则x1+x值是(） 1 1 A5 B.-5 C.1 D.-1 4.(2025河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中 位于() A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个 根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是( Ax2+6x+5=0B.x2-7x+10=0C.x2-5x+2=0D.x2-6x-10=0 6.(2025眉山)己知方程x-2x-5=0的两根分别为x1,x,则(x1+1)(x+1)的值为 7.(2025青海)若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值为 8.(2025绥化)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，则(m+1)(n+1)= 9.(2025苏州)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1,则x= 10.(2026山东)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-m)=0的一个根是10，则另一个根是一一 11.不解方程，求下列方程两根的和与积： (1)x2-2x=13 (2)3x2+2=1-6x (3)7x2-4=6x+2x (4)2x°-2x+2=4x+6 12.己知方程2x2-8x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 13.己知关于x的一元二次方程x-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x. (1)填空：X1+x2=一，X1x2=一一一二： 《②)求x,+x,x+x.(提示：运用完全平方公式)25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【知识回顾】 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是(b±Vb2-4ac)/(2a). 2.填一填，然后想一想你能发现什么规律？ 一元二次方 两根 X1十X2= X1·X2= 程 X 为 x2-8x+1= 0 x2-2x-1 =0 x2+3x-4= 0 规律：X+x=-b/a,XK2=C/a 【新知学习】 1.思考：系数a,b,c确定，那么方程a+bx+c=0(a≠0)确定，它的两个根也唯一确定.反之，如果已知一 元二次方程的两个根，系数又会如何呢？ -b±b2-4ac探究1：观察求根公式，整体上看有什么特点？ 2a -b±Vb2-4ac由x=可得： 2a -b+Vb2-4acx1=(b)/(2a)+Vb2-4ac)/2a)可以看成“mtn”的形式 2a -b-Vb2-4acx2=(b)/(2a)-Wb2-4ac)/(2a)可以看成“m-n'的形式 2a 其中m=(-b)/(2a,n=Vb2.4ac)/(2a). 探究2：观察这两个式子，它们有什么特点？可以相加减或乘除吗？ 两式相加可以消去，两式相乘可以消去根号 两式相加：(m+m)+(m-n)-2m=2m 即x1+x2=(-b/(2a)tVb2-4ac)/(2at(b/(2a)Vb2-4ac)/(2a)=-b/a. 两式相乘：m+n)m-n)m-nn-n. .×即x1x2=(b/(2a)2-(N62.4ac)/(2a))= =(b2-(b2.4ac)/(4a2)=c/a. 归纳：一元二次方程ar+bHc=0(a≠0)的两个根、和系数a、b、c有如下关系： b c x1+x2=- x1x2= aa 即：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 探究3：由因式分解法解方程a(x-x)(x-x)=0(x1,x2为己知数)可得两根为X1和x2. 将方程a(x-x)(x-x)=0化为ax+bx+c=0的形式： ax2-a(x1+x)x+ax1x=0,因此可得： ax2++cFaxacx2x a b=-a(x1+x2)c=axx2 _bCx1+x2=,x1x2= aa 2.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根五，的和与积. (1)-6xr15=0: (2)3+7x9=0: (3)5x1=4. 解：(1)a=1,b=-6,c=-15 b-6c=15x1+x2==6.x1x2=15 a l a 1 (2) (2)a=3,b=7,c=-9,X+x2=-7/3,xx2=-3. (3) (3)化为4x2-5x+1-0,a=4,b=-5,c=1,x+x2=5/4,xk=1/4. 注意：运用根与系数关系须满足： ①方程先化成一般式；②二次项系数a不为0： ③△=b2-4ac≥0. 试一试：完成下表填空： 元二次方程 a b c Xi+Xa xi'x 2 x2+7x+6=0 3x2+2=1-5x x(x-1)=3x+7 7x2-5=x+8 3.设五，是方程32+43=0的两个根.利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1)(x+1)(+1) 1+1 ②x1X2 解根据根与系数的关系得：x十=b4, c-3 Q3’Xx= 3-1. 44K1+1)0x2+1)1x2+x1+x2+1=-1+(O+1= 33 (2) (2)x12+x2=(&1+x2)2-2x1x2=(-4/3)2-2(-1）=16/9+2=34/9 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，可将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代 入. 4填空： (1)已知关于x的一元二次方程x2+px-3=0的一个根为-3，则它的另一根为1. (2)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，则b=-3,c=2. 【学习检测】 1.(2025广西)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根，则x1+x2=(C) A-25 B.-20 C.20D.25 【解析】x1+x2=-(-20)/1=20,选C. 2.(2025湖北)一元二次方程x2·4x+3=0的两个实数根为x1,x2,下列结论正确的是(D) AX1+X2=-4B.X1+x2=3C.x1x2=4D.X1X2=3 【解析】xx2=3/1=3,选D. 3.若×1，x2是方程5x2+×5=0的两根，则x1+x2值是B) 【解析】x1+x2=1/5,选B. B.-5 C.1 D.-1 4.(2025河北)若一元二次方程xx+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于 () A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【解析】化为x2+2x-3=0,m=-2,n=-3,点(-2，-3)在第三象限，选B. 5.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个 根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是 (B) A.x2+6x+5=0B.x2-7x+10=0C.x2-5x+2=0D.x2-6x-10=0 【解析】小影仅错常数项→两根和正确=6+1=7；小冬仅错一次项→两根积正确(-2)(-5)=10：故方程为 x2-7x+10=0,选B. 6.(2025眉山)已知方程x2-2x5=0的两根分别为x1,x2,则(x1+1)(x2+1)的值为-2. 【解析】X1+X2-2,x1X=-5,(K+1)K+1)戶Xx2+x+X+1=-5+2+1=-2. 7.(2025青海)若x=1是一元二次方程x2·4x+c=0的一个根，则c的值为3. 8.(2025绥化)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，则(m+1(n+1)=2027. 9.(2025苏州)已知x1,x2是关于×的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1,则x2=-3. 10.(2026山东)若关于×的一元二次方程(x2x-m)=0的一个根是10，则另一个根是2. 11.不解方程，求下列方程两根的和与积： (1)x2-2x=13 (2)3x2+2=1-6x (1)化为x2-2x-13=0,X1+x2=2,x1x=-13. (2)化为3x2+6x+1=0,x1+x2=-2,xx3=1/3. (3)7x2-4=6x2+2x (4)2x2-2x+2=4x+6 (3)化为x2-2x-4-0,X1+x=2,Xx2=-4. (4)化为x2-3x-2-0,X1+x=3,xx2=-2. 12.己知方程2x2-8x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. (12)代入x=1:2-8+m=0→m-6:由X+x2=4得另一根x2=3. 13.已知关于×的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1)填空：x1+x2=p,x1x2=1: ②求元十文，xx(提示：运用完全平方公式 (2)X2+X=(X1+x2)72xx2p2-2.