1.3 矩形的性质与判定 分层作业 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以“矩形的性质与判定”为核心，构建“前置梳理-基础达标-能力提升-素养探究-中考链接”五级分层体系，通过从概念到综合、从静态到动态的进阶设计，培养数学抽象、几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|矩形性质与判定核心概念|填空式前置作业夯实认知基础| |基础达标|单一知识点应用|分题型对应角与对角线计算、判定方法等基础考点| |能力提升|性质与判定综合|综合计算与证明题提升逻辑推理能力| |素养探究|动态问题探究|动点、折叠问题发展空间观念与创新意识| |中考链接|中考真题实战|对接中考题型强化应用意识与解题能力|

1.3 矩形的性质与判定【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】矩形的性质——角与对角线 2 【题型2】直角三角形斜边中线定理 6 【题型3】矩形的判定 10 【题型4】矩形性质与判定综合 14 三.能力提升 19 【题型1】矩形中的角度与线段计算 19 【题型2】矩形的判定与证明 25 四.素养探究 31 【题型3】矩形中的动点问题 31 【题型4】矩形与折叠综合 40 五.中考链接 46 六.自我评价 53 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： （1）矩形的四个角都是________；矩形的对角线________。 （2）直角三角形斜边上的中线等于________的一半。 （3）矩形的判定方法：①有一个角是________的平行四边形是矩形；②有三个角是________的四边形是矩形；③对角线________的平行四边形是矩形。 （4）矩形是轴对称图形，有________条对称轴；矩形________（填“是”或“不是”）中心对称图形。 【参考答案】 （1）直角；相等 （2）斜边 （3）直角；直角；相等 （4）2；是 二.基础达标 【题型1】矩形的性质——角与对角线 1.（2026·广西桂林·二模）如图，在矩形中，为对角线，． （1）尺规作图：请作出线段的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）的度数为 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点、，连接，与交于点， 与交于点，即为所求； （2）由四边形是矩形，可得，，可得，由垂直平分，可得，即可求解． （1）解：如图，即为所求． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2.（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先根据矩形的对角线相等且互相平分可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，即可解答． 解：四边形是矩形， ， ， 是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 3.（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】10 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 解：∵垂直且平分线段， ∴， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点，， ∴， ∴． 4.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是矩形，，，E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，求的长． 【答案】5 【分析】根据矩形性质得，，根据中点性质得，进而可证明，根据三角形全等性质，结合已知得，再根据勾股定理即可求出的长． 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为5． 【题型2】直角三角形斜边中线定理 1.（25-26八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，是的中点， ， 为等腰三角形， ， 是中线， 是中点， 是的中点， 是的中位线， ． （2）5 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线是斜边一半推出，等到等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质推出是中点，再利用中位线定理判定和性质即可推出． （2）根据勾股定理求出的长度，再利用第（1）问的结果，即可求出长度． 解：（1）略 （2）解：，，， 在中，， 由（1）可得． 2.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 3.（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】由菱形的对角线互相平分得到，，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得的长，最后根据直角三角形的性质可得答案． 解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵菱形的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴． 4.（24-25八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，M、N分别是的中点，延长到点D，使，连接，若，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，证明四边形是平行四边形，得到，根据直角三角形的性质得到，即可得出结果． 解：如图，连接， ∵M、N分别是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，M是的中点，， ∴， ∴． 【题型3】矩形的判定 1.（19.1矩形（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形； 【答案】证明：，是的平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【分析】本题主要考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据给出的条件，利用等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等可得出三个角是直角，即可证明． 解：略 2.（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴A项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴B项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴C项符合题意， ∵，无法判定平行四边形是矩形， ∴D项不符合题意． 3.（25-26八年级下·青海海东·期末）在下列条件中，①，；②，；③；能够判定四边形为矩形的是________（填序号）． 【答案】③ 解：①，，只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ②∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ③∵， ∴可判定四边形为矩形，符合要求． 因此符合要求的条件为③． 4.（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． （1）试探索与之间的数量关系； （2）点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 【答案】（1）解：，理由： ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴； （2）解：当O为中点时，四边形是矩形． 证明：∵O为中点， ∴． 又由（1）知，， ∴四边形是平行四边形. ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义和平行线的性质得，进而得出，同理得，则答案可得； 对于（2），先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 解：（1）略 （2）略 【题型4】矩形性质与判定综合 1.（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）64 【分析】（1）由平行四边形得，由平行四边形得，，进而证明，，即可得出结论； （2）先证明平行四边形是菱形，再证明平行四边形是矩形，求得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴． 由（1）得：四边形为平行四边形， ， ， ， ∴平行四边形为矩形， ， ∴平行四边形的周长． 2.（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，过点作，过点作交于点，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据菱形性质得出，，，然后证明四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求出结果即可． 解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 故选：B． 3.（2025·广西南宁·一模）如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，证明是矩形是解题的关键．先证明是矩形，再根据勾股定理求出即可． 解：的对角线，相交于点，若， ， 是矩形， ， ， 故答案为：． 4.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，已知平行四边形中，．点为边上一动点，点为的中点，射线交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，且时，求四边形的面积． 【答案】（1）∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）8 【分析】（1）利用证明，推出，结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）证明，推出平行四边形是矩形，利用勾股定理求得，据此求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵，且， ∴ ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 三.能力提升 【题型1】矩形中的角度与线段计算 1.（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，点，分别在边，上，且，连接． （1）求证：． （2）若，分别是边，的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， . （2）20 【分析】（1）根据平行四边形性质得，，再根据，结合线段的和差即可得，进而可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得. （2）根据四边形是平行四边形得，，再根据的性质，结合已知，，即可得，再根据中点性质即可得的长都为5，进而可计算四边形的周长. 解：（1）略 （2）解: 如图, 根据（1）得:四边形是平行四边形， ，， 在中有:，， ， 又、分别是边、的中点， ， ， 四边形的周长为:， ∴四边形的周长为20. 2.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标． 解：过点作于点， ∵矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点， ∴点，点的纵坐标为， ∵，， ∴， 即点， ∴点． 3.（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当____________时，． 【答案】9或11 【分析】当，则四边形为平行四边形或等腰梯形时，再根据平行四边形和等腰梯形的性质求解即可． 解：依题意得：， ， ， ， ∵ 若，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时， 即， ， 解得， ②如图所示，当四边形为等腰梯形时， 过点作，交于点，过点作，交于点， ∵ ∴ ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 综上可知，经过或时，． 4.（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知：如图，的对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，，连接、． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 由（1）知：， 又， 四边形是平行四边形， ，， 是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是矩形． 【分析】（1）平行四边形对边相等，先证明，得到，从而得到，再证明； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，用三角形外角和已知条件得到，进行得到，对角线相等的平行四边形是矩形． 解：（1） 略； （2） 略． 【题型2】矩形的判定与证明 1.（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，，垂足分别为、，、分别是、的中点，连接、、、． （1）求证：； （2）连接，若、，则四边形的面积为________． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）证明四边形是矩形，则，由E、F分别是、的中点，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接、，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，结合得到四边形为平行四边形，根据矩形得到，证明四边形为平行四边形得到，因此，从而得出是矩形，根据勾股定理求出，即可求解． 解：（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵由（1）有 ∴四边形为平行四边形． 由（1）得四边形为矩形， ∴． ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴， ∴是矩形， ∴， ∴在中，， ∴． 2.（25-26八年级下·福建泉州·期末）为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 【答案】B 解：A、测量与的长度是否相等，无法确定是矩形，故本选项的测量方法不可行； B、测量与的长度是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的测量方法可行； C、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行； D、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行． 3.（24-25八年级下·山东聊城·阶段检测）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 4.（25-26八年级下·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B． （1）求点A、B的坐标； （2）点C是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点C作轴于点D，作轴于点E，设点C的横坐标为m．用含m的代数式表示矩形的周长，是否存在m，使得周长为17？若存在，求出对应的m值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）矩形的周长为； 不存在满足条件的值，理由如下： 若矩形的周长为17，则， ∴， ∵， ∴不存在满足条件的值 【分析】（1）求出当时的值，即可得出点的坐标，求出当时的值，即可得出点的坐标； （2）由题意可得点的坐标为，且，从而得出，，再结合矩形的周长公式计算即可得出结果． （1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，，即点的坐标为， 当时，，解得，即点的坐标为， （2）解：∵点C是线段上的一个动点（不与A、B重合），设点C的横坐标为m， ∴点的坐标为，且， ∵过点C作轴于点D，作轴于点E， ∴，， ∴矩形的周长， 不存在满足条件的值，理由略． 四.素养探究 【题型3】矩形中的动点问题 1.（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒个单位长度向终点运动，它们同时到达终点，设运动的时间为秒． （1）当点在线段上时，求证：； （2）当点在线段上时是直角三角形，求出此时的值？ 【答案】（1）当点Q在线段上时，由题意可得：，，， ∴， ∴； （2）或 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）进行分类讨论：①当时，证明四边形是矩形，则，则，求解即可；②当时，根据勾股定理求出，则，证明，得出，求出，即可求解． 解：（1）略 （2）解：①当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即，解得：， 综上：或． 2.（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知对角线互相平分，结合动点运动速度相同可得，从而判定四边形始终为平行四边形．若四边形为矩形，则需对角线相等，即．根据在上的位置关系（相遇前或相遇后），分两种情况列方程求解即可． 解：如图， 四边形是平行四边形， ，． 点、的速度相同， ， ， 即． ，， 四边形是平行四边形． 若四边形为矩形，则需． 分两种情况讨论： 情况一：当点、在相遇前时，， 令， 解得； 情况二：当点、在相遇后时，， 令， 解得； 综上所述，当或时，四边形为矩形． 3.（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，为中线，为平面内一动点，，连接，是中点，连接，则的最大值为________． 【答案】8 【分析】连接，先由勾股定理求解，然后由直角三角形斜边中线和三角形中位线定理求出，再由三角形的三边关系求解最大值即可． 解：连接 ∵，，， ∴ ∵为中线， ∴ ∵是中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ∴当三点共线时，取得最大值为． 4.（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知矩形的一边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处． （1）如图1，已知折痕与边交于点O，连接、、，求证：； （2）若图1中与的相似比为，求边的长； （3）如图2，在（2）的条件下，擦去折痕、线段，连接，动点M在线段上（点M与点P、A不重合），动点N在线段的延长线上，且，连接交于点F，作于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠可得：． ∴． ∵，． ∴． （2）10； （3）线段的长度不变，长度为． 【分析】（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似； （2）由题易得相似比为，根据相似三角形的性质求出，设，则，，在中运用勾股定理求出的长，从而根据求出长； （3）作，交于点Q，证明三角形为等腰三角形，，再证得，得到，，由（2）中结论求得的长就可以求出的长． 解：（1）略 （2）如图1： ∵与的面积比为，， ∴． ∴，，． ∵， ∴，． 设，则，． 在中， ∵，，，， ∴． 解得：． ∴． ∴边的长为10． （3）作，交于点Q，如图2． ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 由（2）中的结论可得： ，，． ∴． ∴． ∴当点M、N在移动过程中，线段的长度不变，长度为． 【点拨】本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键． 【题型4】矩形与折叠综合 1.（24-25八年级下·福建泉州·阶段检测）回顾情景，数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片边长分别为，． 动手实践： 如图1，小华将矩形纸片折叠，点A落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开，得到正方形，矩形． （1）折痕的长为______；（用含a的式子表示） （2）如图2，若P为线段上的任意一点，Q为的中点，小芳继续将矩形纸片沿经过P，Q两点的直线折叠，使点C落在折痕上的点G，折痕与折痕交于点H，小芳同学不断改变点P的位置，发现四边形是某种特殊四边形． ①请你判断四边形的形状，并给予证明； ②若，求四边形的周长．（用含a的式子表示） 【答案】（1）；（2）①四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②． 【分析】（1）根据正方形的性质可得，然后运用勾股定理即可解答； （2）①根据折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定可得、，即可说明四边形是平行四边形；②先说明四边形是菱形，，然后根据菱形的周长公式即可解答． （1）解：∵，四边形为正方形， ∴， 在中，． 故答案为：． （2）解：①略 ②∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ∵， ∴四边形的周长为． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 2.（2026·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第一次折叠确定的位置及点纵坐标，根据第二次折叠性质得出，在中利用勾股定理求出长，进而确定 点横坐标． 解：∵ 折叠矩形使与重合，是折痕， ∴ 垂直平分，，为 中点， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ， ∴，， 点纵坐标为 ； ∵ 将沿折叠，点的对应点落在折痕上， ∴， 在 中， ， ∵ 点 在点左侧 ， ∴ 点横坐标为 ， ∴ 点的坐标为 ． 3.（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 解：∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 4.（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点，D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； （2）如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，进行解答即可； （2）根据矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质、等角对等边、勾股定理，以及三角形的面积公式，进行解答即可． （1）解：四边形为矩形， ，， ． 将沿折叠，点C落在点处， ， ． （2）解：四边形为矩形， ，， ． 由折叠得，， ， ． 设，则， 在中，， ， 解得，， ， 的面积． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·广东·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2．（2026·四川德阳·中考真题）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据勾股定理可先求得的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案． 解：∵， ∴为直角三角形． ∴． ∵点为的斜边的中点， ∴． ∵，， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键． 3．（2026·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质求得的高是解题的关键．过作垂直于，记与得交点为，先由勾股定理求得，再由垂直平分线的性质求得，最后再由矩形的性质得到的高． 解：如图所示，过作垂直于，记与的交点为， 在矩形中，， 由题意得，， 在中，， 由题意得，垂直平分， ，． ， 四边形为矩形， ， ． 二、填空题 4．（2026·云南·中考真题）在矩形中，若，则________． 【答案】 解：∵四边形是矩形，为矩形的两条对角线， ∴， ∵， ∴. 5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】10 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 解：∵垂直且平分线段， ∴， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点，， ∴， ∴． 6．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______． 【答案】 【分析】作于点F，先根据折叠性质和角度关系求出，再利用直角三角形中角所对边等于斜边一半，求出的长度 解：作于点F， ， 由折叠得，，， 又四边形为矩形， ， ， ， ． 三、解答题 7．（2026·湖北·中考真题）如图，在矩形中，，，分别是边，，的中点．求证：． 【答案】证明：点是的中点， ， 点，分别是边，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ． 【分析】利用矩形的性质和中点的性质推出，，，再利用证明三角形全等即可． 解：略． 8．（2026·山东德州·中考真题）如图，在 中， ，点 是 的中点．连接，在平面内找一点 ，使得 ， ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为，求线段 的长． 【答案】（1）证明：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵ 是直角三角形，， 是 中点， ∴ ， ∴四边形 是菱形． （2）4 【分析】（1）先根据两组对边分别平行的条件，判定四边形 是平行四边形；再利用直角三角形斜边中线定理，得到与 的数量关系，结合菱形的判定定理完成证明． （2）设点 到 的距离为 ，先表示出菱形 的面积，用两种方法表示出 的面积，再结合已知中长度，求解 的长． 解：（1）略 （2）解：设点 到 的距离为 ，因为 ， ∴菱形 的面积为 ， ∵ 是 的中点， ∴ ， 则 的面积：, 又∵ 中 ，面积也可表示为 ， ∵ ， ∴ 化简得 ， ∴ ． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 矩形的性质与判定【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】矩形的性质——角与对角线 2 【题型2】直角三角形斜边中线定理 6 【题型3】矩形的判定 10 【题型4】矩形性质与判定综合 14 三.能力提升 19 【题型1】矩形中的角度与线段计算 19 【题型2】矩形的判定与证明 25 四.素养探究 31 【题型3】矩形中的动点问题 31 【题型4】矩形与折叠综合 40 五.中考链接 46 六.自我评价 53 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： （1）矩形的四个角都是________；矩形的对角线________。 （2）直角三角形斜边上的中线等于________的一半。 （3）矩形的判定方法：①有一个角是________的平行四边形是矩形；②有三个角是________的四边形是矩形；③对角线________的平行四边形是矩形。 （4）矩形是轴对称图形，有________条对称轴；矩形________（填“是”或“不是”）中心对称图形。 二.基础达标 【题型1】矩形的性质——角与对角线 1.（2026·广西桂林·二模）如图，在矩形中，为对角线，． （1）尺规作图：请作出线段的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 2.（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3.（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 4.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是矩形，，，E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，求的长． 【题型2】直角三角形斜边中线定理 1.（25-26八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 2.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 4.（24-25八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，M、N分别是的中点，延长到点D，使，连接，若，求的长． 【题型3】矩形的判定 1.（19.1矩形（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形； 2.（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·青海海东·期末）在下列条件中，①，；②，；③；能够判定四边形为矩形的是________（填序号）． 4.（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． （1）试探索与之间的数量关系； （2）点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 【题型4】矩形性质与判定综合 1.（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求平行四边形的周长． 2.（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，过点作，过点作交于点，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 3.（2025·广西南宁·一模）如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 4.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，已知平行四边形中，．点为边上一动点，点为的中点，射线交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，且时，求四边形的面积． 三.能力提升 【题型1】矩形中的角度与线段计算 1.（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，点，分别在边，上，且，连接． （1）求证：． （2）若，分别是边，的中点，，求四边形的周长． 2.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当____________时，． 4.（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知：如图，的对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，，连接、． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【题型2】矩形的判定与证明 1.（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，，垂足分别为、，、分别是、的中点，连接、、、． （1）求证：； （2）连接，若、，则四边形的面积为________． 2.（25-26八年级下·福建泉州·期末）为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 3.（24-25八年级下·山东聊城·阶段检测）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 4.（25-26八年级下·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B． （1）求点A、B的坐标； （2）点C是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点C作轴于点D，作轴于点E，设点C的横坐标为m．用含m的代数式表示矩形的周长，是否存在m，使得周长为17？若存在，求出对应的m值；若不存在，说明理由． 四.素养探究 【题型3】矩形中的动点问题 1.（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒个单位长度向终点运动，它们同时到达终点，设运动的时间为秒． （1）当点在线段上时，求证：； （2）当点在线段上时是直角三角形，求出此时的值？ 2.（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 3.（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，为中线，为平面内一动点，，连接，是中点，连接，则的最大值为________． 4.（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知矩形的一边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处． （1）如图1，已知折痕与边交于点O，连接、、，求证：； （2）若图1中与的相似比为，求边的长； （3）如图2，在（2）的条件下，擦去折痕、线段，连接，动点M在线段上（点M与点P、A不重合），动点N在线段的延长线上，且，连接交于点F，作于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 【题型4】矩形与折叠综合 1.（24-25八年级下·福建泉州·阶段检测）回顾情景，数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片边长分别为，． 动手实践： 如图1，小华将矩形纸片折叠，点A落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开，得到正方形，矩形． （1）折痕的长为______；（用含a的式子表示） （2）如图2，若P为线段上的任意一点，Q为的中点，小芳继续将矩形纸片沿经过P，Q两点的直线折叠，使点C落在折痕上的点G，折痕与折痕交于点H，小芳同学不断改变点P的位置，发现四边形是某种特殊四边形． ①请你判断四边形的形状，并给予证明； ②若，求四边形的周长．（用含a的式子表示） 2.（2026·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为________． 4.（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点，D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； （2）如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·广东·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川德阳·中考真题）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（    ）    A． B． C．2 D．1 3．（2026·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，则的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·云南·中考真题）在矩形中，若，则________． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 6．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______． 三、解答题 7．（2026·湖北·中考真题）如图，在矩形中，，，分别是边，，的中点．求证：． 8．（2026·山东德州·中考真题）如图，在 中， ，点 是 的中点．连接，在平面内找一点 ，使得 ， ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为，求线段 的长． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $