25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过解具体方程填表观察两根和与积，衔接已学的解方程知识，搭建从具体实例到抽象规律的探究支架。 其亮点在于以问题链驱动，从表格猜想规律到用求根公式严谨证明，培养推理意识，应用环节涵盖求两根和积、已知一根求参数等题型，归纳代数式变形模型，助力学生发展抽象能力和模型观念，教师可直接使用系统例题与方法指导提升教学效率。

25.2 降次———解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 人教版九年级上册 算一算 解下列方程并完成填空： (1)x2+3x−4=0; (2)x2−5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x−4=0 x2−5x+6=0 2x2+3x+1=0 −4 1 2 3 −1 x1+x2=−3 x1 · x2=−4 x1+x2=5 x1 · x2=6 想一想 方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？ 回顾导入 猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x−x1=0，且x−x2=0，那么方程(x−x1)(x−x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2=−p， x1 ·x2=q. (x−x1)(x−x2)=0. x2−(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2=−p , x1 ·x2=q. 探究点1：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 你能证明这个猜测吗？ 探究点1：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 证一证： 探究点1：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 探究点1：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 注意：满足上述关系的前提条件 b2－4ac≥0. 探究点1：一元二次方程的根与系数的关系 【归纳总结】 新知探究 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0； 解：这里 a = 1 , b = – 6 , c = – 15 . Δ = b2 - 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 . 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 （2）3x2 +7x-9 = 0； x1 + x2 =− ， x1 x2 = 解：这里 a = 3 , b = 7, c = -9. Δ=b2 − 4ac = 72 – 4 × 3 × (− 9) = 157 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 （3） 5x – 1 = 4x2 . 解：方程可化为 4x2 – 5x +1 =0， 这里 a =4， b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac =( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = . 方法指导：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 . 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 例2 已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以 x1 · x2=2x2= 即 x2= 由于x1+x2=2+ = 得 k=−7. 答：方程的另一个根是 ，k=−7. 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 变式：已知方程3x2−18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以 x1 + x2=1+x2=6， 即 x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得 m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 首先要验证判别式△≥0，才能开始两根的运算！ 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 例4 设x1，x2为方程x2−4x+1=0的两个根，则： (1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ， (3) ， (4) . 4 1 14 12 方法指导：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 总结常见的求值: 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【归纳总结】 新知探究 15 例5 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k − 1)2− 4k2 ≥ 0 即 −8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4， 解得 k1= 0， k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.所以k=0. 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 方法指导：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足△≥0. 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 1.[2024·合肥经开区校级期末]若x1，x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个根，则( ) A.x1＋x2＝2 B.x1＋x2＝3 C.x1x2＝－ D.x1x2＝－ D 随堂练习 2.[2025·宿州埇桥区期中]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有一个根为－3，则另一个根为( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 D 3.已知关于x的方程x2－3x－k＋9＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝－2x2，试求这个方程的两个实数根及k的值. 解：易知x1＋x2＝3， ∵x1＝－2x2，∴x1＝6，x2＝－3， ∴x1·x2＝－k＋9＝－18，解得k＝27. 4.已知关于x的一元二次方程x2＋cx＋6＝0，它的两根之和为－2，则c的值是( ) A.4 B.2 C.－2 D.－4 B 已知两根之和→已知两根之积 已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积为－4，则k的值为( ) A.4　　　B.3　　　C.－4　　　D.－5 D 5.[与T7互为孪生题]若x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则x1－2x1x2＋x2的值为　　.  0 6.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝2，则x1＋x2的值为( ) A.4 B.－4 C.4或－2 D.－4或2 B 7.[与T5互为孪生题][2024·成都中考]若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为 　　.  7 8.[基本思想—方程思想]若一元二次方程x2－2x＋m＝0与x2＋4x－n＝0有一个相同的根，且它们不相同的两根之和为4，则它们相同的根为　 　.  x＝－3 9.[代数推理题]已知实数a≠b≠c，且满足＝a＋3，＝b＋3.请解决下列问题： (1)a＋b的值为　 　；  (2)当c＞0时，的值为　　.  －3 2 10.[2024·内江中考]已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1)填空：x1＋x2＝　　，x1x2＝　　；  (2)求，x1＋； 解：(2)＝p；x1＋＝p. p 1 (3)已知＝2p＋1，求p的值. 解：(3)由(1)知x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∵＝2p＋1， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1， ∴p2－2＝2p＋1，解得p1＝3，p2＝－1. 当p＝3 时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0，符合题意； 当p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0，不符合题意，舍去， ∴p＝3. 根与系数的关系（韦达定理） 内容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应用 课堂小结 $