25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），系统梳理基本定理、特殊形式、变形公式及使用前提。课堂导入通过知识回顾求根公式与判别式，引导学生从求根公式推导定理，结合因式分解法另证，构建新旧知识联系，形成学习支架。 其亮点在于分层专项练习与易错点总结，注重数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。通过推导过程培养推理能力，如用求根公式推导两根和与积，变形公式应用强化模型意识，如基础题直接用定理求两根和积，拓展题结合判别式检验参数。助力学生提升解题能力，教师可高效开展分层教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 人教版数学九年级上册25.2.4一元二次方程的根与系数的关系专项练习 一、核心知识点梳理 一元二次方程的根与系数的关系，也称为韦达定理，是一元二次方程章节的重要拓展结论。该定理无需解方程，可直接通过方程系数判断两根之和、两根之积，广泛用于代数式求值、求参数、判断根的符号、构造新方程等题型，是中考高频考点，衔接后续二次函数学习。 1. 基本定理内容：对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当方程存在实数根，即$$\Delta=b^2-4ac\geq0$$时，设方程的两根为$$x_1、x_2$$，则存在固定关系：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$。 2. 特殊形式结论：当二次项系数为1时，方程为$$x^2+px+q=0$$，此时两根之和$$x_1+x_2=-p$$，两根之积$$x_1x_2=q$$，计算更加简便，是解题中最常用的简化形式。 3. 常用变形公式：解题高频代数式变形，无需单独推导，可直接套用。$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$；$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$；$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$。 4. 核心使用前提：使用韦达定理前，必须保证方程有实数根，即判别式\(\Delta\geq0\)。含参数方程求参数取值时，必须联立判别式检验，否则会出现增根、错解。 二、分层专项练习题 （一）基础巩固题（共4题） 1. 已知方程$$x^2-5x+6=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，求$$x_1+x_2$$与$$x_1x_2$$的值。 2. 已知方程$$2x^2+4x-3=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，直接写出两根和与两根积。 3. 若方程$$x^2+3x+m=0$$的两根之和为-3，求$$m$$的取值范围。 4. 已知方程$$x^2-4x=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，求$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$的值。 （二）能力提升题（共4题） 1. 已知方程$$x^2-2x-1=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。 2. 已知方程$$3x^2-6x-2=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，求$$(x_1-x_2)^2$$的值。 3. 已知方程$$x^2+kx+2=0$$的一个根为1，求另一个根及$$k$$的值。 4. 已知方程$$2x^2-5x+n=0$$两根之积为2，求$$n$$的值及两根之和。 （三）拓展培优题（共2题） 1. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$2x^2-3x-1=0$$的两根，求$$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$$的值。 2. 已知关于$$x$$的方程$$x^2-2(m+1)x+m^2=0$$有两个实数根，且两根之和为6，求$$m$$的值。 三、参考答案及详细解析 （一）基础巩固解析 1. 解析：由方程可知$$a=1，b=-5，c=6$$，根据韦达定理，$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=6$$。 2. 解析：$$a=2，b=4，c=-3$$，可得$$x_1+x_2=-\dfrac{4}{2}=-2$$，$$x_1x_2=\dfrac{-3}{2}=-\dfrac{3}{2}$$。 3. 解析：方程有两根需满足$$\Delta\geq0$$，$$\Delta=9-4m\geq0$$，解得$$m\leq\dfrac{9}{4}$$，两根和为定值与$$m$$无关。 4. 解析：方程整理为$$x^2-4x=0$$，$$x_1+x_2=4$$，$$x_1x_2=0$$，因存在根为0，原式无意义，本题考查分母不为零的隐含条件。 （二）能力提升解析 1. 解析：$$x_1+x_2=2$$，$$x_1x_2=-1$$，代入变形公式：$$x_1^2+x_2^2=2^2-2\times(-1)=4+2=6$$。 2. 解析：$$x_1+x_2=2$$，$$x_1x_2=-\dfrac{2}{3}$$，$$(x_1-x_2)^2=2^2-4\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)=4+\dfrac{8}{3}=\dfrac{20}{3}$$。 3. 解析：设另一根为$$x_2$$，由两根之积$$1\times x_2=2$$，得$$x_2=2$$；两根和$$1+2=-k$$，解得$$k=-3$$。 4. 解析：由$$\dfrac{n}{2}=2$$得$$n=4$$，两根之和$$x_1+x_2=\dfrac{5}{2}$$，验证$$\Delta>0$$，方程有实数根，结果成立。 （三）拓展培优解析 1. 解析：由题意得$$x_1+x_2=\dfrac{3}{2}$$，$$x_1x_2=-\dfrac{1}{2}$$，原式$$=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-3\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{4}$$。 2. 解析：由韦达定理两根和$$2(m+1)=6$$，解得$$m=2$$。验证判别式：$$\Delta=4(m+1)^2-4m^2=16+16=32>0$$，满足有两个实数根，故$$m=2$$为正确答案。本题重点考查韦达定理与判别式的综合应用，是典型中考题型。 四、易错点总结 1. 忽略使用前提，不验证$$\Delta\geq0$$，直接套用公式导致参数取值错误；2. 记错两根和公式，遗漏负号，将$$-\dfrac{b}{a}$$误写为$$\dfrac{b}{a}$$，是最高频错误；3. 方程未化为标准形式，看错$$a、b、c$$的符号与数值；4. 代数式变形不熟练，不会灵活套用平方和、差平方、倒数和等常用变式；5. 忽略根为0、分母不为零等隐含条件，出现无意义解。解题必须遵循“先标准化、再判式、最后用定理”的步骤。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 探索一元二次方程的根与系数的关系. 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 学会在合作交流中归纳总结出二次方程的根与系数的关系特点，提高了学生解决问题的能力. 知识回顾 1. 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？ 2. 如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0时，方程无实数根. 情境导入 思考：观察求根公式 x=，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 探究新知 因为 x1=，x2=. 所以 x1+x2 = = =﹣ . x1x2 = = = = . 探究新知 由此得出，一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2 =﹣ ，x1x2 = . 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； (2)方程有实数根，即△≥0. 探究新知 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程 +bx +c=0 的左边可以分解因式为，那么方程 +bx +c=0的两个根为 x1和 x2 . 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为x1和 x2， 那么 即 ax²+bx+c=ax²-a(x1+ x2)x+ax1x2. 由此可得 -a(x1+ x2)=b，ax1x2=c. 因此 x1+x2 = ﹣ ，x1x2 = . 探究新知 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 1.已知一元二次方程的两根分别为，，则 的值 是( ) B A.5 B. C.2 D. 返回 举一反三 8 2.[湖北中考] 一元二次方程的两个实数根为， ，下 列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.设方程的两实数根为，，则 的值 为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ，的和与积： (1)－6x－15 = 0；(2)+7x－9 = 0(3). 例1 解：(1) ， . (2) ，. (3)方程化为 ， 所以 ，. 探究新知 跟踪训练 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积： (1)3x2-2x-1=0； (2)5x-5=6x2-4. 解：(1)∵a = 3， b = -2，c = -1， ∴ ， . (2) 方程化为 6- 5x + 1 = 0，∴ a = 6， b = -5， c = 1， ∴ ，. 将方程整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式 确定a,b,c的值 根据x1+x2 = ， x1x2 = 求解. ∆≥0 探究新知 4.以2和 为根的一元二次方程可以是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 13 5.［教材例5变式］不解方程，求下列方程两个根， 的和与积： （1） ； 解：， . （2） ； 解：， . （3） ； 解：方程转化为 ， ， . 举一反三 14 （4） . 解：方程转化为 ， ， . 返回 举一反三 15 知识点2 根与系数的关系的应用 6.已知，是关于的方程的两个根，且 ， 则 的值为( ) C A. B.1 C. D.4 返回 举一反三 16 7.若，是方程的两个根，则 的值是 ( ) A A. B.0 C.1 D.2 返回 举一反三 17 8.已知 ， 分别是方程的两个根，则代数式 的值为( ) B A.16 B.18 C.20 D.22 返回 举一反三 18 9. 一元二次方程的两个根分别是, ,其中 , ，写出一个满足此条件的方程： ________________________________. （答案不唯一） 返回 举一反三 19 10.已知关于的一元二次方程的一个根为 ，则另一 个根为___， 的值为____. 2 返回 举一反三 20 11.［教材习题变式］已知， 是一元二次方程 的两个根，不解方程，求下列各式的值： 解：由题意得， . （1） ; [答案] 原式 . （2） ; [答案] 原式 . 举一反三 21 （3） ; [答案] 原式 . （4） . [答案] 原式 . 返回 举一反三 22 一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系 x1+x2 =﹣ x1x2 = 课堂小结 谢谢观看 THANKS $