13.3 三角形的内角与外角（分层作业17题）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过17题分层设计，覆盖三角形内角与外角从基础应用到动态综合问题，梯度合理，助力知识巩固与推理能力、空间观念培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|内角和定理、外角性质|选择1-3直接应用概念，填空7-8考查基本计算，夯实基础| |提升|角平分线、平行线结合|选择4-6需辅助线分析，填空9-11涉及分类讨论，培养几何直观| |拓展|动态旋转、折叠探究|解答13-17含证明与动态问题，如旋转中平行关系，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 13.3 三角形的内角与外角（分层作业17题） 一、选择题 1．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图：光线α照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，已知，，则的度数为（提示：光线照射到平面镜上，反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角）（    ） A． B． C． D． 5．我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（     ） A． B． C．或 D．或 6．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 二、填空题 7．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 8．如图，已知，则，，的数量关系为_____． 9．在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则____________． 10．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________． 11．如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 12．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号 __________ ． ①的面积等于的面积；②；③；④． 三、解答题 13．如图，在中,是的一条角平分线，求的度数． 14．根据要求解答下列问题： (1)求图1中x的值； (2)求图2中y的值． 15．已知，分别探讨下列四个图形中和、的关系，请用等式表示出它们的关系．并说明其中的一个等式成立的理由． 16．如图，在四边形中，点在边上，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 17．如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 13.3 三角形的内角与外角（分层作业17题） 一、选择题 1．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．由且可求各角度数，从而判断三角形形状． 【详解】解：，设， 又， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 故选：C． 3．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图：光线α照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，已知，，则的度数为（提示：光线照射到平面镜上，反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据镜面反射等角特性得到、、，先利用平角求出，再结合三角形内角和算出，等量代换得到的度数． 【详解】解：∵反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角， ∴，，． ∵是直线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 5．我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分为顶角和为底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，结合“特征值”的定义计算即可． 【详解】解：①当为顶角时，底角度数为， 特征值； ②当为底角时，顶角度数为， 特征值； 综上，该等腰三角形的特征值为或， 故选：D． 6．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 二、填空题 7．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 8．如图，已知，则，，的数量关系为_____． 【答案】 【分析】延长交于点，利用平行线的性质得出内错角相等，再结合三角形外角的性质即可得出三个角之间的数量关系. 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ， 是的外角， ， . 9．在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则____________． 【答案】 【分析】根据角平分线定义，三角形外角的定义，三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵三角形的外角和的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 综上：边恰好与边平行，t的值为或 故答案为：10.5或28.5 11．如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在下方时和当点在上方时，利用平行和折叠的性质分别求出，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】中，，， ， 如图，当点在下方时， ， ， 由折叠可知，， ； 如图，当点在上方时， ， ， ， 由折叠可知，， ； 综上可知，的度数是或． 12．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号 __________ ． ①的面积等于的面积；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】由条件可得，即可判断①正确；由同角的余角相等可得，由角平分线的定义得出，从而可得，即可判断②正确；由条件可得，再结合同角的余角相等得出，即可判断③正确；由即可判断④错误． 【详解】解：由条件可得， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 由条件可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 三、解答题 13．如图，在中,是的一条角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理（三角形内角和为）和角平分线的定义．先根据三角形内角和定理，求出，再根据角平分线定义，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是的一条角平分线， ∴， ∴． 14．根据要求解答下列问题： (1)求图1中x的值； (2)求图2中y的值． 【答案】(1)33 (2)140 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用这些定理来建立方程求解． （1）利用三角形内角和为建立方程求解x； （2）根据三角形外角等于不相邻两个内角和建立方程求解y． 【详解】（1）解：由三角形内角和定理得：， 解得； （2）解：由三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和得：． 15．已知，分别探讨下列四个图形中和、的关系，请用等式表示出它们的关系．并说明其中的一个等式成立的理由． 【答案】解：如图（1），，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 如图（2），，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图（3），，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； 如图（4），，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行解答即可． 【详解】略 16．如图，在四边形中，点在边上，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ． ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质结合等量代换，推出，即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2），， ， 平分， ， ， ， . 17．如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性得方程组，解方程组即可； （2）分交点在线段的两侧进行讨论，得 和 ，分别列出关于的方程，解出方程即可； （3）三条射线所在的直线能围成直角三角形可分类讨论：当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止．再分别考虑是哪两条直线垂直构成直角三角形． 【详解】（1）∵，， 解得， ，； （2）由题意知当运动的时间为时， ， ， 如图，当点在线段的右侧时，过点作，则， ，， ， 即 解得； 如图，当点在线段的左侧时，同理可得 解得； 综上可得，或． （3）， 当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止． 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ①当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段右侧时，则 解得 ②当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段左侧时，则 解得 当时，，， ， ， ， ，不能构成三角形， 不符合题意； ③当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ④当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 ⑤当时，直线与直线重合，，为直角三角形． 综上所述，当或或或时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $