专题09 四边形（5年汇编）（吉林专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦四边形专题，整合2022-2026年吉林中考真题及模拟题，覆盖7个核心考点，通过考情分析与分层命题，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约占40%，2-3分/题|多边形内角和、矩形性质、菱形面积|直接套用公式与简单计算，如正五边形角度计算、矩形折叠求边长| |解答题|约占60%，5-7分/题|平行四边形判定、矩形/菱形综合、正方形性质|结合全等/勾股定理，如平行四边形折叠探究、矩形最小覆盖圆证明，融入网格作图与开放性题型|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09四边形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 吉林考情(2022-2026) 命题规律 5年4考；选择、 考点01多边形及 填空为主，分值2-3 基础送分考点，直接套用公式·、外角和恒为 分；常考多边形内角和、 其内角和 360°；偶尔结合正多边形边长、对角线数量简单计 外角和、正多边形角度计 算，极少出大题。 算。 考点02平行四边 5年3考；多在解 常结合全等三角形考查判定；多给出边、对角线 答证明题，偶见网格作 条件，要求证平行四边形：网格背景下，会让学生构 形的判定 图，分值5-7分。 造平行四边形，侧重逻辑推理书写。 考点03矩形的性 5年4考：选择、 高频考：矩形四个直角、对角线相等且平分：常 质 填空、解答均有，分值 结合勾股定理求线段长；会和折叠结合，求边长、角 2-6分。 度。 考点04矩形的判 5年3考；解答证 先判定矩形，再用性质计算线段、周长；常以平 明题为主，分值67 行四边形为基础，增加直角或对角线相等条件完成判 定与性质综合 分。 定；常嵌套全等、勾股定理综合运算。 考点05菱形的性 5年4考：填空、 重点考查：四边相等、对角线互相垂直平分、对 选择、解答，分值3-6 角线平分内角；面积两种求法（底×高、对角线乘积 质 分。 半)；常和勾股定理搭配求边长。 考点06菱形的判 5年2考：解答证 般先证平行四边形，再加邻边相等/对角线垂 定 明题，分值5-7分。 直证菱形：也可直接用“四条边相等”判定；经常 出开放性题型，补充条件证明菱形。 考点07正方形的 5年5考；高频考 综合矩形+菱形全部性质；对角线夹角45·是高 点，填空、解答证明，分 频角度；常考正方形内三角形全等证明；可以结合旋 性质 值3-7分。 转、折叠命题，是四边形综合题载体。 五年真题分类园 1/21 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01多边形及其内角和 1.(2025吉林长春.中考真题)图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图， 则∠为 度 图① 图② 2.(2025吉林.中考真题)如图，正五边形ABCDE的边AB,DC的延长线交于点F,则∠F的大小为 度 3.（2024吉林长春.中考真题)在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五 边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为() A.54 B.60 C.70 D.72 4.(2023:吉林长春.中考真题)如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM, 展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B,折痕为AF,则∠AFB的大小 为 度 2/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 小 - E M 品 考点02平行四边形的判定 5.(2025吉林中考真题)【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为 60°的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下： D B B 图① 图② 【探究发现】如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB>AD,E为边AD的中点，点F在边DC 上，且DF=DE,连接EF,将△乙沿EF翻折得到△GEF,点D的对称点为点G.小组成员发现四边形 DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由 【探究证明】取图①中的边BC的中点M,点N在边AB上，且BN=BM,连接MN,将△BMN沿MN翻 折得到△HMN,点B的对称点为点H.连接FH,GN,如图②.求证：四边形GFHN是平行四边形 【探究提升】在图②中，四边形GPHN能否成为轴对称图形.如果能，直接写出A R 的值：如果不能，说 明理由， 6.(2024吉林长春.中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点， ∠AOD=∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形. D B 3/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2023吉林长春.中考真题)将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置 摆放.点A,E,B,D依次在同一直线上，连结AF、CD 1)求证：四边形AFDC是平行四边形； (2)已知BC=6Cm,当四边形AFDC是菱形时.AD的长为 cm. 考点03矩形的性质 8. (2026吉林.中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=6Cm,AD=3Cm.动点P从点A出发，沿折线 AB-BC以1cm/s的速度向终点C运动.在运动过程中，连接DP.设点P的运动时间为tst>O,DP 扫过的图形面积为scm2 A B (备用图)》 ()求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围. ②当DP扫过的图形面积SQm由矩形ABCD面积的子扩大到矩形ABCD面积的二时，点P运动了多长时 6 间？ 9.(2024吉林中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为-4,0，点C的坐标为0,2.以 OA,OC为边作矩形OABC,若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OABC,则点B的坐 标为() B C C A.-4,-2 B.-4,2 c.2,4 D.4,2 4/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2023·吉林长春.中考真题)如图①.在矩形ABCD.AB=3,AD=5,点E在边BC上，且BE=2. 动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边 AD或边DC于点Q,连续PQ.当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0) A 0 BP E B 图① 图② (1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为 (2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE: 3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理由： (4)作点E关于直线PQ的对称点F,连接PF、QF,当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称 四边形时，直接写出t的取值范围 11.(2022吉林.中考真题)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD的中点， 点F在对角线AC上，且AF=AC,连接EF.若AC=10,则EF= 4 A E 考点04矩形的判定与性质综合 12.(2025·吉林长春.中考真题)数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的 覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆， 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆， 理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B.如图①，以AB为直径作⊙O,再过A、B两 点作⊙O(O与O不重合)，连结OA,OB.在△OAB中，有OA+OB>AB(▲). .OA=OB, ∴.2OA>AB,即⊙O的直径大于⊙O的直径. 5/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.⊙O是线段AB的最小覆盖圆.“▲”处应填写的推理依据为_， 图① 图② 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题.这样就可以 先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三 角形的最小覆盖圆.如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.⊙O是以AB为直径的圆.请你判断点C 与⊙O的位置关系，并说明理由。 又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆. 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形ABCD中，AB=1cm,BC=2cm」 图③ (1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确 定后必须用黑色字迹的签字笔描点) (2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为Cm: (3)若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD.则这样的两个等圆的最小直径为cm. 13.(2024吉林长春.中考真题)【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3,点M、N分别在边 AC、BC上，且AM=CN,试探究线段MN长度的最小值. 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而 解决上述几何问题. 【问题解决】 6/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P,作射线AP.在【问题呈现】的条件下，完 成下列问题： B 钢丝绳 N 图① 图② 图③ 图④ (1)证明：AM=MP: (2)∠CAP的大小为度，线段MN长度的最小值为 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了 示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°」 MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时， 其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为多少米 考点05菱形的性质 14. (2024·吉林.中考真题)小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： R B A E D' H M P 图① 图② 图③ 图④ 【探究论证】 (1)如图O,在△ABC中，AB=BC,BD1AC,垂足为点D.若CD=2,BD=1,则S△ABc= (2)如图②，在菱形ABCD中，AC=4BD=2则ARCD= (3)如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH,垂足为点O.若EG=5,FH=3,则S四边形EFGH=: 7/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若EG=a,FH=b,猜想S四边形EFcH与a,b的关系，并证明你的猜想。 【理解运用】 (4)如图④，在△MNK中，MN=3,KN=4,MK=5,点P为边MN上一点. 小明利用直尺和圆规分四步作图： (i)以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN,KM于点R,I: (ⅱ)以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段PM于点I: ()以点I为圆心，IR长为半径画弧，交前一条弧于点R,点R,K在MN同侧： (iv)过点P画射线PR,在射线PR上截取PQ=KN,连接KP,KQ,MQ. 请你直接写出S四边形MPKQ的值. 15.(2022吉林长春.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB<BC.点D是AC的中点， 过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F,使得DF=DE,连接AE、AF、CF A 1)求证：四边形AECF是菱形： @法C-子则a∠仪下的做为 16.(2022吉林中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm.动点P从点 A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动.以PA为一边作∠APQ=120°，另一边PQ与折线 AC-CB相交于点Q,以PQ为边作菱形PQMN,点N在线段PB上.设点P的运动时间为x(s),菱形 PQMN卢△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2): 8/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C C M A B A N B (备用图) (1)当点Q在边AC上时，PQ的长为_cm;(用含X的代数式表示) (②)当点M落在边BC上时，求x的值； 3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 考点06菱形的判定 17. (2026吉林.中考真题)如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接CE.将△BCE沿CE 折叠得到△FCE.点G为CE上一点，连接FG,BG. D D D D C 图① 图② 图③ (备用图) (1)如图②，当直线BG经过点F时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使△BCF是等边三角 形，不需要说明理由. (②)如图③，当BG⊥CF于点H时，判断四边形EBGF的形状，并说明理由. 3)在(2)的条件下，延长CF交矩形ABCD的边于点P.若AB=4,BC=3,当PA=PF时，直接写出 BG的长. 18.(2025·吉林长春.中考真题)如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3. 求证：口ABCD是菱形 9/21 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点07正方形的性质 19.（2026吉林.中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF,连 接DE、AF.求证：△DAE≌△ABF. 20.(2025·吉林长春·中考真题)如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.点 E在线段OA上.连接BE,作CF⊥BE于点F,交OB于点P.给出下面四个结论： ①∠OCP=∠OBE: ②OE=OP; ③当CE=CB时，BP=EF; ④点A与点F之间的距离的最小值为25-2. 上述结论中，正确结论的序号有 D B 21.(2024吉林长春.中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.点D是边BC上的一点（点 D不与点B、C重合)，作射线AD,在射线AD上取点P,使AP=BD,以AP为边作正方形APMN,使 点M和点C在直线AD同侧， P D (I)当点D是边BC的中点时，求AD的长： 10/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)当BD=4时，点D到直线AC的距离为 B)连结PN,当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长： (4④)若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为 ·(写出一个即可) 22.(2024吉林中考真题)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点，点 E F是OD上一点.连接EF,若∠FEO=45°，则 C的值为一· 一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026吉林·二模)若正多边形的一个外角等于40°，则这个多边形的边数是() A.8 B.9 C.10 D.11 2.(2026·吉林长春模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,将线段AB绕点A按逆时针方 向旋转，使得点B落在CD边上的点E处，则弧BE的长为() A.3 π B.3 C.π D. 4π 二、填空题 3.(2026吉林长春模拟预测)如图，平行四边形的两条对角线长分别是4和6，且一条边长为整数，则 这条边的长度可以是 (写一个即可) 4.(2026吉林.一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=6,连接BD,按以下步骤作图：① 分别以B,D为圆心，以大于号BD的长为半径画弧，两弧相交于两点M,N:@作直线MN交BC于点E, 11/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 连接DE.则△CDE的周长为 5.(2026吉林长春·模拟预测)如图，在正方形ABCD中，点M、P、Q分别在边AB、BC、CD上，连 接AP、MQ交于一点，且AP=MQ,N是AD延长线上一点，连接PN,CN,AC,MC,下列结论： D B ①AP⊥MQ: ②若M为AB中点，则P一定是BC中点： ③SA APN=S△ACN; ④若AP平分∠BAC,则MQ平分∠AMC. 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号)· 6.(2026吉林·二模)如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针 方向旋转90°得到△CBG,延长AE交CG于点F,连接DE.下列结论：①∠AED=∠CBG;② AF⊥CG;③四边形BEFG是正方形；④若DA=DE,则CF=FG,其中正确的结论是 (填序号) D E 7.(2026吉林长春三模)如图，在口ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F, DE,BF相交于H,延长BF交AD的延长线于点G.下列结论：①BD=V2BE;②∠A=∠BHE;③ 12/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线段BG与CD互相平分：④△BCF≌△DCE:⑤DE+EC=AD.其中正确的结论有 (填序 号). D G 8.(2026吉林.一模)如图，在正方形ABCD内一点E,连接BE,CE,过C作CF⊥CE与BE的延长线 交于点F,连接DF,DE,且CE=CF=1,DE=25,下列结论中：①△CBE≌△CDF;② 7 BF⊥DP;③点D到CF的距离为22：④S网边DEC=2其中正确的结论有 9.(2026吉林长春.二模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE⊥AB,交AB 的延长线于点E,连接EO并延长，交AD于点F,EF与BC相交于点G,若∠ABC=120°，则下列结论： @∠CB=309@un∠50G-盟.③CE:Er=2-3:5,c:5se1:7,共E确的是 D 10.(2026吉林长春·二模)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一 个顶点，而且这两个正方形的边长都为4，四边形OEBF为两个正方形重叠部分.正方形A1B,C1O可绕 点O转动，给出下列结论： 13/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A E B B ①OE=OF: ②正方形ABCD的面积是四边形OEBF的面积的4倍： ③连接EF,总有AE2+CF2=OE2+OF2: ④当AE=1时，四边形OEBF的周长为4+V10. 上述结论中，所有正确结论的序号是 11.(2026吉林长春.模拟预测)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB边上一点，且AE=2,连接 DE,作DE的垂直平分线交AD于点F,交DC的延长线于点P,连接EP交BC于点M,连接DM.给出 下面4个结论：①DP=EP:②ED平分∠AEP:③an∠DPF=行：@△MBE的周长为10，上述结论 中，结论正确的序号有 D 12.(2026·吉林长春·模拟预测)如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，连接CE,作点B关 于CE的对称点B,连接BC,BE,连接BB并延长交AD于点F,交CE于点G,连接AB并延长交CD 于点H,给出下面四个结论：①F为AD的中点；②AH⊥BF;③连接AG,则∠AGE≠∠AGF:④连 接AG并延长交BC于点P,则CP=2BP 上述结论中，正确结论的序号是 14121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B H B 三、解答题 13.（2026·吉林.模拟预测)综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，李老师让同学们裁出一个矩形纸片ABCD,且AB=8,AD=4,点P为CD上 一个动点，研究以直线PQ为对称轴折叠矩形ABCD.并作以下操作供同学们探究发现： D 、O A(O MB 图1 图2 图3 【问题提出】 (I)如图1，点E,F分别为AD,BC的中点，若Q点与点A重合，点D的对应点为点M,当点M落在EF上 时，展开纸片，连接DM交折线AP于点O,则AP与DM的位置关系为 DO与OM的数量关 系为 :∠DAM=·: 【迁移探究】 (②)如图2，若点Q在AB上，点D的对应点为点M,点A的对应点为点N,若点M始终落在AB上，展开纸 片，连接DM交折线PQ于点O,判断四边形PDQM的形状，并说明理由： 【拓展延伸】 3)如图3，若点Q在AD上，点D的对应点为点M,若点M始终落在AB上，直接写出DQ的取值范围， 14.(2026吉林长春·二模)如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC,过点E且与BD 垂直的直线交CD于点F,连接BF,求证：DE=CF 15/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B 15.(2026·吉林长春·模拟预测)如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、乙( △ACB≌△DFE,∠CAB=∠EDF=30°)在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同 一直线上，连接AF、CD B (1)直接判断四边形ACDF是哪种特殊四边形：；（不需要证明） (②)已知BC=6,若四边形ACDF是菱形，求AD的长， 16.(2026吉林·二模)综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题。 如图①，已知矩形纸片ABCD,点M在边AB上（不与A,B重合），点N在边BC上（不与B,C重合）. 将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使顶点B落在点B处，点B在长方形内部. D C D N B M B A M B 图① 图② 【图形感知】 (I)图①中，∠BMN ∠BMN(填“>”“=”或“<”)； 【作图探究】 (2)在图①中边AD上确定一点G(不与A,D重合)，使得纸片沿着MG折叠后，点A的对应点A刚好落 在射线MB上，请用无刻度直尺和圆规作出该点G(不写作法，保留作图痕迹)，并求出∠GMN的度数. 【计算探究】 16121 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)如图②，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点M是边AB的中点，将矩形ABCD沿CM折叠，使顶点B 落在点B处，点F是矩形ABCD边上的动点，将矩形ABCD沿FM折叠，使A顶点落在点A处，当A落在 △CMB的内部时，直接写出CF长度的取值范围. 17.(2026吉林.二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4.点P从点A出发以每秒1个单位长度 的速度沿折线A→B→C向终点C匀速运动，过点P作PE⊥AD于点E,将PE绕点E顺时针旋转90°得 到FE,连接PF.设点P运动的时间为X秒，△PEF与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y. B B A(E)F D D 备用图 )当点F与点D重合时，x= (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. 18.(2026吉林长春·模拟预测)【综合与实践】唐山皮影是我国传统民间艺术，其制作过程中常需对矩 形皮料进行裁剪与折叠，数学兴趣小组以皮影制作为背景，研究矩形中的折叠问题.在矩形皮料ABCD中， AB=I0,AD=6,现将皮料折叠，点D的对应点记为P,折痕为EF(E,F是折痕与矩形的边的交点)， 再将皮料展平. B 图1 图2 备用图 I)【初步思考】如图1，若点E,F分别位于边AD,BC上，当点P与点A重合时，CF= (②)【深入探究】如图2，若点P落在矩形皮料ABCD的边AB上，点E在边AB上，点F在边DC上. ①利用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出折痕EF(不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色 的签字笔描黑)： ②若AP=8,求AE的长： 3)【拓展延伸】若E为动点，F为DC的中点，点P落在矩形ABCD的内部（不含边界），当∠AP最大 时，∠FAP的正切值为 19.(2026吉林长春·三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8,点D为AB的 中点，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AC-CB向终点B运动，当点P不与点C重 合时，连接PD,以PC,PD为邻边作口CPDE,设点P的运动时间为ts. 17/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 1)用含t的代数式表示PC: (2)当点E落在边BC上时，求t的值： 3)当点P在边BC上运动时，若四边形CPDE是轴对称图形，求t的值； (4)点E关于AC的对称点为E,当PE⊥PE时，直接写出t的值. 20.(2026吉林长春·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=6.点E在边AB上，点A关于直 线DE的对称点为点F,连接DF、EF,延长EF交射线DC于点G G( B )下列线段中，始终与线段DG相等的是一： ①BE②DE③GE (2)当点G与点C重合时，求tan∠ADE的值： (3)当CG=1时，求AE的长； (4)连接BG,当BG=DE时，直接写出线段AE的长。 21.(2026吉林模拟预测)如图，在正方形ABCD中，AB=2,连接AC.P,Q两点分别从A,D同时 出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动；点Q沿折线DA一AC向终点C运动，在 DA上的速度为每秒2个单位长度，在AC上的速度为每秒2V2个单位长度.在运动过程中，以AP,AQ为 邻边作平行四边形APMQ.设运动时间为x秒，平行四边形APMQ和正方形ABCD重叠部分的图形面积 为y D D M D I)当点M在BC上时，X= (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. 18/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(2026吉林长春·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,对角线AC与BD交于点O, 点P从点A出发，沿对角线AC向点C以每秒1Cm的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段BA向点A以 每秒1Cm的速度移动.P、Q两点有一点到达终点时全部停止移动.连接PQ,设点P移动时间为t秒，回 答下列问题： 备用图 (I)当△APQ一△ABC时，求t的值： (②)点P到AB的距离是·（用含t的代数式表示）： 3)当t为何值时，以O、P、Q、B为顶点的四边形的面积等于11cm? (4)以点Q为圆心，QB长为半径作⊙Q.在运动过程中，是否存在⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共 点，若存在，请直接写出的值或取值范围：若不存在，请说明理由， 23. (2026吉林·模拟预测)【操作发现】 E B E B M E 图① 图② 图③ (I)如图①，在口ABCD中，E是边BC上一点，连接AE,将△ABE沿AE折叠，点B的对称点F恰好落在 边AD上，求证：四边形ABEF为菱形 【操作探究】 (②)在图①的边EF上取一点G,连接AG,作点F关于AG的对称点F,使点F落在边AE上，连接GF并 延长交边BE于点M,如图②.若AE=BC=6,AB=4,则EM的长为 【探究应用】 3)延长图②中的AG交边CD于点H,连接EH,DG,如图③.若AE=BC=6,AB=4,则四边形 GEHD的周长为 。 24.(2026吉林长春模拟预测)【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对 称点的距离相等.利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴. 19/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D M (1)【操作】如图①，点M和点N关于直线1对称，请利用直尺和圆规作出直线1（保留作图痕迹，不必写 作法)，并在直线I上取一点P(点P不与点M、点N共线)、连结线段PM和线段PN,直接写出PM和 PN的数量关系：： ②)【探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=3,AD=3V2,E、F分别为边AD、BC上的动点，且 DE=2BF,将EF右侧的矩形沿BF所在直线进行翻折，CD的对应边记为CD,连接BD.交EF于点 G,试判断EG与FG的数量关系，并说明理由： 3)【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结AC,点E、F在运动过程中，直接写出AC的最小值. 25.(2026吉林.一模)如图，已知∠1=40°，∠B=50°，AB⊥AC,AD=BC.求证：AB=DC. D B 26.(2026·吉林长春.模拟预测)在矩形ABCD中，AB=5,BC=15,点E是BC上一点，且BE=3,点 P是线段AD上的一个动点，将四边形ABEP沿EP所在直线翻折，点A、B的对应点分别为A,B,设AP 的长为x. B E B E (1)当四边形ABEP为矩形时，PD长为； (②)连结BD,当点B、B、D共线时， PE BD 3)当点A恰好落在矩形ABCD的某一条边上时，求x的值： ④当an∠BEC=时，直接写出x的值。 27.(2026吉林长春.模拟预测)如图①，矩形ABCD在，AB=3,BC=4点P从点B出发，沿射线BC运 动，连接AP,将△ABP沿AD翻折得到△APB”,设PB=XX>O,回答下列问题： 20/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B B B 图① 图② 备用图 O)∠ABP= AB= (②)当B落在AD边上时，求证：四边形ABPB为正方形： (3)连接BB,当AB=BB时，在图②中用圆规和无刻度直尺画出点B的位置，并求出x的值： (4)当点B到矩形相邻两个顶点的距离相等时，直接写出X的值 8,(2026吉林长春·一模)如图@，在平行四边形ABCD中，AB=7,sin∠CBA=号，CE⊥AB于点一 E,且CE=4.点P从点E出发，沿EB一BC向终点C运动.设点P在该折线上运动的路径长为x(X>0 ).连结EP D D P B B E E 图① 图② 图③ (1)BC的长为 ， 当点P在BC上运动时，EP的最小值为一： (②)点F是AE的中点，如图②.请用无刻度的直尺和圆规过点F作BC的垂线FG.垂足为G(保留作图痕 迹，不写作法)： 3)延长PE到点M,使得EM=2PE,以CE,ME为邻边作平行四边形CEMN」 ①当点P在BC上，平行四边形CEMN的对角线EN所在的直线恰好经过点D时，如图③，求x的值； ②当点A落在平行四边形CEMN的边上或内部时，直接写出x的取值范围. 21/21 专题09 四边形 5年真题1年模拟 考点分类 吉林考情（2022-2026） 命题规律 考点01多边形及其内角和 5 年 4 考；选择、填空为主，分值 23 分；常考多边形内角和、外角和、正多边形角度计算。 基础送分考点，直接套用公式、外角和恒为360∘；偶尔结合正多边形边长、对角线数量简单计算，极少出大题。 考点02 平行四边形的判定 5 年 3 考；多在解答证明题，偶见网格作图，分值 57 分。 常结合全等三角形考查判定；多给出边、对角线条件，要求证平行四边形；网格背景下，会让学生构造平行四边形，侧重逻辑推理书写。 考点03 矩形的性质 5 年 4 考；选择、填空、解答均有，分值 26 分。 高频考：矩形四个直角、对角线相等且平分；常结合勾股定理求线段长；会和折叠结合，求边长、角度。 考点04 矩形的判定与性质综合 5 年 3 考；解答证明题为主，分值 67 分。 先判定矩形，再用性质计算线段、周长；常以平行四边形为基础，增加直角或对角线相等条件完成判定；常嵌套全等、勾股定理综合运算。 考点05 菱形的性质 5 年 4 考；填空、选择、解答，分值 36 分。 重点考查：四边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分内角；面积两种求法（底 × 高、对角线乘积一半）；常和勾股定理搭配求边长。 考点06 菱形的判定 5 年 2 考；解答证明题，分值 57 分。 一般先证平行四边形，再加邻边相等 / 对角线垂直证菱形；也可直接用 “四条边相等” 判定；经常出开放性题型，补充条件证明菱形。 考点07 正方形的性质 5 年 5 考；高频考点，填空、解答证明，分值 37 分。 综合矩形 + 菱形全部性质；对角线夹角45∘是高频角度；常考正方形内三角形全等证明；可以结合旋转、折叠命题，是四边形综合题载体。 考点01 多边形及其内角和 1．（2025·吉林长春·中考真题）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为：， ∴， 故答案为： 2．（2025·吉林·中考真题）如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：， 故选：D． 4．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度．    【答案】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 考点02 平行四边形的判定 5．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：四边形为轴对称图形时，的值为或 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理； [探究发现]由将△沿翻折得到△，即知，，而，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]：解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]：略 [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 6．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】略 7．（2023·吉林长春·中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 【答案】(1) 证明：由题意可知， ，， ， 四边形地平行四边形； (2) 【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明； （2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，在中，，，， ，， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 考点03 矩形的性质 8．（2026·吉林·中考真题）如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为． (1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况建立函数关系式即可； （2）分别求出矩形面积的和矩形面积的，然后分别代入和求出对应的时间，再求解时间差即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 当时，； 当时，扫过的图形为四边形，此时 ∴ ∴； （2）解：由题意得，， 当时，则，解得； 当时，则，解得 ∴点运动了． 9．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 10．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 解：如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； (4)或或 【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解． （2）证明，得出； （3）过点作于点，证明得出，即可得出结论 （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，      ∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴， 在中，， 故答案为：． （2）如图所示，    ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）略 （4）①如图所示，当点在上时，    ∵， 在中，， 则， ∵，则，， 在中，， ∴ 解得： 当时，点在矩形内部，符合题意， ∴符合题意， ②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，    则， ， 在中， ， 解得：， ③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时    综上所述，或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 11．（2022·吉林·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则__________． 【答案】/2.5 【分析】由矩形的性质可得点F是OA的中点，从而EF是△AOD的中位线，则由三角形中位线定理即可求得EF的长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5， ∵， ∴，即点F是OA的中点． ∵点是边的中点， ∴EF是△AOD的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，掌握中位线定理是本题的关键． 考点04 矩形的判定与性质综合 12．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 【答案】探究一：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：在上，证明如下： ∵，为的中点， ∴， ∴在上； 拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆， （2）； （3）； 【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案； 探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案； 拓展应用：（1）连接，交于点，以为圆心，为半径作圆即可； （2）结合矩形性质与勾股定理计算即可； （3）作的垂直平分线，交于，交于，可得四边形，是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形，可得两圆一定过，再进一步解答即可. 【详解】解：探究一： 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边． 故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：略 拓展应用：（1）略 （2）∵矩形，，， ∴，； （3）作的垂直平分线，交于，交于， ∴四边形，是两个全等的矩形， ∴， ∵用两个等圆完全覆盖矩形， ∴两圆一定过， 连接，交点分别为， 同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或， ∴最小直径为， 如图，作的垂直平分线交于， 同法作，，此时不是直径最小的等圆； 综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为. 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键. 13．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）30，； 方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】问题解决：（1）略； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 考点05 菱形的性质 14．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4， （3）， 猜想：， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （4）10 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵在菱形中，，， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， 猜想：略； （4）根据尺规作图可知：， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据（3）的结论有：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 15．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的值为_______． 【答案】(1) 证明： ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证； （2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据， ，即可求解． 【详解】（1） （2）解： ， 设，则， 四边形是菱形； ，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键． 16．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)2x (2)1 (3) 【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x； （2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）； （3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可． 【详解】（1）当Q点在AC上时， ∵∠A=30°，∠APQ=120°， ∴∠AQP=30°， ∴∠A=∠AQP， ∴AP=PQ， ∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒， ∴AP=2x， ∴PQ=2x； （2）当M点在BC上，Q点在AC上，如图， 在（1）中已求得AP=PQ=2x， ∵四边形QPMN是菱形， ∴PQ=PN=MN=2x，， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPB=60°， ∵， ∴∠MNB=∠QPB=60°， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∴△MNB是等边三角形， ∴BN=MN， ∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm， ∴x=1（s）； （3）当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s）， 即x的取值范围为：， 当M点刚好在BC上时， 在（2）中已求得此时x=1， 分情况讨论， 即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部， ∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积， 过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°， ∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：； 当x＞1，且Q点在线段AC上时， 过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图， ∵， ∴∠MNB=∠QPN=60， ∵∠B=60°， ∴△ENB是等边三角形， 同理可证明△MEF是等边三角形 ∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF， ∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6， ∴BN=6-AN=6-4x， ∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6， ∵MH⊥EF， ∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=， ∴△MEF的面积为：， QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∵菱形PQMN的面积为， ∴重叠部分的面积为， 当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图， ∵∠CPB=∠CBA=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴PC=PB， ∵AP=PQ=2x， ∴AP=PB=2x， ∴AB=AP+PB=4x=6， 则x=， 即此时重合部分的面积为：，； 当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵AP=2x， ∴PB=AB-AP=6-2x， ∵∠QPB=∠ABC=60°， ∴△PQB是等边三角形， ∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合， ∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=， ∴， ∴此时重叠部分的面积， 综上所述：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想． 考点06 菱形的判定 17．（2026·吉林·中考真题）如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． (2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 【答案】(1)添加条件：； (2)解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． (3)或 【分析】（1）由折叠可得，，当时，可得到，即可得出是等边三角形； （2）连接．由矩形的性质得到，由折叠得到，，，根据等角的余角相等得到，从而有，再证明，可得四边形是平行四边形，结合得出是菱形； （3）设，根据勾股定理构造方程，求得，设，在中根据勾股定理构造方程，求得，由即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可得，， 当时，， ∴， ∴是等边三角形． （2）略 （3）解：①如图， 设，则， ∵由翻折有， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． ②如图， 设，则， ∵由翻折有， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在中，；在中，， ， 即， ， 解得， ∴， ∴． 18．（2025·吉林长春·中考真题）如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 考点07 正方形的性质 19．（2026·吉林·中考真题）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，连接、．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴． 【分析】根据正方形的性质，结合 “”证明全等即可． 【详解】略 20．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 21．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于 ，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可知： ， 为等腰三角形，故点是边的中点时，； 在中，； （2）根据题意作，如图所示； 当时，则， 设点到直线的距离为， ， 解得：； （3）如图，当时，点落在上， 设，则，， 过点作于 则， ， ， 解得： 故， 所以正方形的边长为； （4）如图，，在异侧时； 设，，则 三边的比值为， ， ， 当，在同侧 设，则，， 三边比为， 三边比为， 设，则，， 解得： 综上所述：的长为或 22．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·吉林·二模）若正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题利用正多边形外角和性质求解，任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等，据此计算可得边数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角都相等， 又∵该正多边形的一个外角等于， ∴这个多边形的边数为． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转得到，根据余弦值求角的度数得到，结合矩形的性质得到，再根据弧长公式即可求解． 【详解】解：将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴，则， ∴， ∴ ． 二、填空题 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，平行四边形的两条对角线长分别是4和6，且一条边长为整数，则这条边的长度可以是________．（写一个即可） 【答案】2 【分析】先理解题意，根据平行四边形的对角线互相平分得，又结合三角形三边关系得，又因为一条边长为整数，得出（答案不唯一）． 【详解】解：依题意，平行四边形如图所示： ∵平行四边形的两条对角线长分别是4和6， ∴， ∵， ∴， 即， ∵一条边长为整数， 这条边的长度可以是（答案不唯一）． 4．（2026·吉林·一模）如图，在平行四边形中，，，连接，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．则的周长为_____． 【答案】10 【分析】根据作图得到垂直平分，进而得到，推出的周长为，进行求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在正方形中，点M、P、Q分别在边、、上，连接、交于一点，且，是延长线上一点，连接，，，，下列结论： ①； ②若M为中点，则P一定是中点； ③； ④若平分，则平分． 其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】该题为正方形中的十字模型问题，找到对应的全等三角形，根据条件求解即可， ①过点M作，构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明即可； ②根据图形，由于点M，P，Q均为动点，找到反例即可； ③根据平行线之间的距离处处相等，即可得到结果； ④根据图形，由于点M，P，Q均为动点，找到反例即可． 【详解】解：如图，过点M作，交于点E， 在正方形中，，，， 又， ∴四边形是矩形，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，①正确； 当M为中点时，∵， 显然，由于点Q的位置不确定，因此点P的位置也不确定， ∴②错误； ∵， ∴，③正确； 当平分时，点P的位置固定，即为定三角形，且， ∵在正方形中，， ∴， 又， ∴若想要平分，则， 则， ∴， 由于点M和点Q的位置不固定，显然不满足要求，④错误． 6．（2026·吉林·二模）如图，点为正方形内一点，，将绕点 按顺时针方向旋转 得到，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③四边形 是正方形；④若，则 ，其中正确的结论是____________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】由旋转的性质得到，则可导角证明，根据现有条件无法证明，则无法证明，判断①错误；设交于K，由及旋转的性质可得，即可得，从而判断②正确；由旋转的性质可得， ，，由正方形的判定可证四边形 是正方形，可判断③正确；过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“ ”可得，可得，由旋转的性质可得 ，从而可得 ，判断④正确． 【详解】解：∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故①错误； 设交于K，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ，， 又∵， ∴四边形 是矩形， 又∵ ， ∴四边形 是正方形，故③正确； 如图，过点D作于点H， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴， ∴， 又∵ ，， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∴ ，故④正确； ∴正确的有②③④． 7．（2026·吉林长春·三模）如图，在中，，于点，于点，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③线段与互相平分；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】证明为等腰直角三角形再结合勾股定理即可判断①；利用平行四边形对角相等，直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②；连接，通过判断四边形是否为平行四边形即可判断③；根据和所满足的条件来判断④；利用平行四边形对边相等，以及等腰直角三角形的性质即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 根据题目条件无法得出四边形是平行四边形，无法推出线段与互相平分，故③错误； 和仅满足两个角对应相等，没有对应边相等的条件，故无法证明二者全等，故④错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤． 8．（2026·吉林·一模）如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④．其中正确的结论有__________． 【答案】 【分析】由正方形性质和垂直定义证得，利用证得；由全等性质和等腰直角三角形性质求得；利用勾股定理求，，构造直角三角形求点到的距离；利用面积和公式计算四边形面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ，， ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， 是直角三角形， ， 过点作交的延长线于点，则， ∵， 是等腰直角三角形， ， 即点到的距离为，故③错误； 故④正确； 综上所述，正确的结论有． 9．（2026·吉林长春·二模）如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角函数的运算、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．利用菱形的性质得到菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边都相等，即可得到，通过三角形全等的判定条件得到，即可求得，再利用三角函数的运算，可得出，根据，可求得，即可求解． 【详解】解：菱形， ， 故①正确； 菱形， ，， ，菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②错误； ，， ， 菱形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 设，由②知， ，， ，， ， 由②， ， ， ， 菱形，， ， ，， ， ， ， ， 故③正确； 在和中， ， 由菱形的性质可知， ， ； 故④正确； 综上：①③④正确． 10．（2026·吉林长春·二模）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为4，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，给出下列结论： ①； ②正方形的面积是四边形的面积的4倍； ③连接，总有； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】可证明，得到，则可证明，据此可判断①②；根据勾股定理可得，，则，据此可判断③；由勾股定理可得，，可证明，据此可判断④． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， 正方形的面积是四边形的面积的4倍，故②正确； ， ， 在中，由勾股定理得，则， 在中，由勾股定理得， ，故③正确； 当时，，则， ， ， ，即四边形的周长大于，故④不正确． 综上所述，正确的有①②③． 11．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，正方形的边长为6，E是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点F，交的延长线于点P，连接交于点M，连接．给出下面4个结论：①；②平分；③；④的周长为10．上述结论中，结论正确的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】由垂直平分线的性质可判断①，由，得到，由正方形的性质得到，，进而得到，可判断②，连接，在中，根据勾股定理求出，然后根据正切的定义求解，即可判断③；过点作于点，证明，得到，，，证明，得到，设，则，根据勾股定理得到，得到，，即可判断④． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题可知，是的垂直平分线， ∴，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴，故③正确； 如图，过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴的周长，故④错误． 12．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E是的中点，连接，作点B关于的对称点，连接，，连接并延长交于点F，交于点G，连接并延长交于点H，给出下面四个结论：①F为的中点；②；③连接，则；④连接并延长交于点P，则． 上述结论中，正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】设正方形边长为，结合为中点，得出，．根据轴对称可得，即，则，证明，得出，结合，得出，即为中点，则①正确．由轴对称可得，是中点，结合是中点，得出是的中位线，则，结合，得出，则②正确．证明四点共圆，结合，得出，因此③错误．证明，得出，求出，​，即可得④正确． 【详解】解：设正方形边长为， ∵为中点， ∴，． ∵关于对称， ∴，即， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， 在和中： ​， ∴， ∴， 又， ∴，即为中点，①正确． 由轴对称可得，是中点， 又是中点， ∴是的中位线， ∴． ∵在上， ∴， 又， ∴，②正确． ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴，因此③错误． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，​， ∴，④正确． 综上，正确结论为①②④． 三、解答题 13．（2026·吉林·模拟预测）综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，李老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作供同学们探究发现： 【问题提出】 (1)如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为__________，与的数量关系为__________；__________； 【迁移探究】 (2)如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)四边形是菱形，理由如下： 由题意知，，，， 垂直平分，，， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (3)． 【分析】（1）利用折叠可得垂直平分，故，，利用点是的中点可得，结合即可得到； （2）利用折叠和可得四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形，又可得四边形是菱形； （3）当点与点重合时，的长最大，当点与点重合时，的长最小，代入数据利用勾股定理求出对应情况的长即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由折叠知，，， 垂直平分， ，， 点是的中点， ， 在中，， ，即； （2）略； （3）解： ，， ，， 如图，当点与点重合时，的长最大，为， 如图，当点与点重合时，的长最小， 设，则，， 由折叠得， 在中，， ， 在中，由勾股定理得， ，化简得，解得， ， 综上所述，． 14．（2026·吉林长春·二模）如图，是正方形的对角线上一点，且，过点且与垂直的直线交于点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质可知，可得出是等腰直角三角形，再利用可得出，即可求证． 【详解】证明：在正方形中，，， ． ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 15．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺（，）在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． (1)直接判断四边形是哪种特殊四边形：______；（不需要证明） (2)已知，若四边形是菱形，求的长． 【答案】(1)平行四边形 (2)18 【分析】（1）根据题意，得到，，即可得到四边形是平行四边形； （2）解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于O， ∵，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 16．（2026·吉林·二模）综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题． 如图①，已知矩形纸片，点在边上（不与，重合），点在边上（不与，重合）．将矩形纸片沿直线折叠，使顶点落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 (1)图①中，____________（填“”“”或“”）； 【作图探究】 (2)在图①中边上确定一点（不与，重合），使得纸片沿着折叠后，点的对应点刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的度数． 【计算探究】 (3)如图②，矩形中，，，点是边的中点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，点是矩形边上的动点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，当落在的内部时，直接写出长度的取值范围． 【答案】(1) (2)如图所示，点即为所求； ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质即可求解； （2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点，交于点，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线交于点，则点为所求； （3）根据情况一：当点在线段上时，且点和点重合时，点开始落在的内部，至情况二：点在线段上，且点在线段上时为止，为所求的点落在的内部的线段的取值范围，据此求得这两种情况下的的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①所示，由折叠性质可得：； （2）解：由尺规作图可知：， 纸片沿折叠，点的对应点刚好落在射线上， ，， ， ，即； （3）解：如图，情况一，当点在上时，且点和点重合时，此时，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，解得：， ， 如图，情况二，当点在上，且点在线段上时，此时，，，过点作交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又，， ， ， 的最小值为，最大值为， 落在的内部， ． 17．（2026·吉林·二模）如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．设点运动的时间为秒，与矩形重叠部分的图形面积为． (1)当点与点重合时，________． (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2)． 【分析】（1）求得，据此计算即可求解； （2）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 点与点重合时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在上时，此时， ∴； 当点在上且点未到点时，此时， ∴； 当点在上且点超过点时，此时， ，设交于点， ； 综上，． 18．（2026·吉林长春·模拟预测）【综合与实践】唐山皮影是我国传统民间艺术，其制作过程中常需对矩形皮料进行裁剪与折叠，数学兴趣小组以皮影制作为背景，研究矩形中的折叠问题．在矩形皮料中， ，，现将皮料折叠，点D的对应点记为P，折痕为（E，F是折痕与矩形的边的交点），再将皮料展平． (1)【初步思考】如图1，若点E，F分别位于边上，当点P与点A重合时，_________； (2)【深入探究】如图2，若点P落在矩形皮料的边上，点E在边上，点F在边上． ①利用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）； ②若 ，求的长； (3)【拓展延伸】若E为动点，F为的中点，点P落在矩形的内部（不含边界），当最大时，的正切值为_________． 【答案】(1)3 (2)①如图，折痕即为所求；② (3) 【分析】（1）当点与点重合时，由折叠可得，此时折痕为边中点的连线所在的直线，即可求解； （2）①由折叠可得折痕所在的直线即为对应点连线段的垂直平分线，故作出的垂直平分线即可； ②设，则，然后对运用勾股定理求解即可； （3）由折叠可得，，那么当点在矩形内部时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，由切线长定理可得，再由正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别位于边， 上，当点与点重合时， ∴点折叠到点，点折叠到点， ∴ ； （2）解：①略； ②如图，连接， 由题意可知所在直线为的垂直平分线， ∴. 当时，设，则 ∵矩形中， ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴； （3）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴ ， 由折叠可得， ∴当点在矩形内部时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， ∴当与半圆相切，即时，最大， ∵矩形中，，为半径， ∴是的切线， ∴， ∴． 19．（2026·吉林长春·三模）如图，在中，，，，点为的中点，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点P不与点重合时，连接，以，为邻边作，设点P的运动时间为． (1)用含的代数式表示； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点P在边上运动时，若四边形是轴对称图形，求的值； (4)点关于的对称点为，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据点P的运动轨迹，分为点P在和上两种情况，根据直角三角形中所对直角边是斜边的一半以及勾股定理，分别求出和，进而求解； （2）根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理确定点P位置，进行求解； （3）根据四边形不仅是平行四边形还是轴对称图形，确定四边形是矩形或菱形，分类讨论，确定点P位置，进行求解； （4）分为点P在左侧和右侧两种情况进行讨论，通过数形结合列一元一次方程，进行求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 所以， 所以， ，， 当点P在边时， ，， 当点P在边时， ，； （2）因为四边形是， 所以且， 当点落在边上时，如图所示， 因为且点为的中点， 所以点P为的中点， 所以， 所以； （3）因为四边形是，且四边形是轴对称图形，分为两种情况， 第一种，四边形是矩形，如图所示， 因为四边形是矩形， 所以且点为的中点， 所以点P为的中点， 所以， 所以， 第二种，四边形是菱形，连接、交于点O，与交于点F，如图所示， 因为四边形是菱形， 所以，， 所以， 所以， 因为点为的中点， 所以点F为的中点， 所以，， 所以， 所以， 解得：， 所以点P和点B重合， ， 综上所述，或； （4）因为， 所以， 当点P在左侧时，如下图所示， 此时，则， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 在和中，， ， 所以， 所以， 所以， 解得：， 当点P在右侧时，如下图所示， 作交F，交于G， 则同理可得：， 又同理可得：，， 所以， 所以， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】数形结合，先确定、长度，再根据题意分类讨论，从而求解；此题的关键是根据题意画出相应的图形，根据图形进行分析． 20．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，．点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，延长交射线于点． (1)下列线段中，始终与线段相等的是_____； ①    ②    ③ (2)当点与点重合时，求的值； (3)当时，求的长； (4)连接，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)③ (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）由矩形的性质和轴对称的性质可得，因此； （2）由矩形的性质和（1）的结论可得，，使用勾股定理计算出，从而得到，最后根据正切函数的定义进行计算即可； （3）分为点在点的左侧和点在点的右侧两类讨论，根据题干条件求出与，使用勾股定理计算出，从而求出，根据轴对称的性质求出即可； （4）设，分为点在点的左侧和点在点的右侧两类讨论，当点在点的右侧时，容易证明，则，进而得到，利用勾股定理求出，进一步求出；当点在点的左侧时，同理，作于点，容易证明四边形是矩形，则，，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， 而在点的运动过程中，线段、线段与线段不一定相等， ∴始终与线段相等的是线段； （2）解：如图， 由（1）可知，， ∵点与点重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，； （3）解：①当点在点的左侧时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 同理可得，， 在中，， ∴； 综上所述，或； （4）解：设， ①当点在点的右侧时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理（3）可得，，，， ∴， 在中，， ∴； ②当点在点的左侧时，如图，作于点， 同理①可得，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， 解得或； 当时，点和点重合且是的中点，点是的中点，满足，符合题意， 综上所述，的长为或或． 21．（2026·吉林·模拟预测）如图，在正方形中，，连接．P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为y． (1)当点M在上时， ________； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1中，当点M落在上时，是等腰直角三角形，构建方程求解即可； （2）分三种情形：如图中，当时，重叠部分是矩形，如图中，当，重叠部分是四边形，如图中，时，重叠部分是五边形，分别求解，可得结论； 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 如图1中，当点M落在上时， ∵以为邻边作平行四边形． ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， （2）解：如图中，当时，重叠部分是矩形， 依题意，， 矩形的面积， 即． 如图中，当，重叠部分是四边形， 过点作， 同理证明是等腰直角三角形 ∴ 由（1）得， ∴ ∴平行四边形的面积， 即． 如图中，时，重叠部分是五边形， ， 同理证明是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 同理证明是等腰直角三角形， ∴ ． 综上所述，． 22．（2026·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点从点出发，沿对角线向点以每秒的速度移动；同时点从点出发，沿线段向点以每秒的速度移动．、两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点移动时间为秒，回答下列问题： (1)当时，求的值； (2)点到的距离是_____．（用含的代数式表示）； (3)当为何值时，以、、、为顶点的四边形的面积等于？ (4)以点为圆心，长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)存在，或或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆与直线的位置关系以及动点和面积问题． （1）利用勾股定理求,再利用相似三角形的判定建立比例关系； （2）通过作，得到，再利用三角形相似的性质，求得； （3）根据矩形的性质以及三角形的面积比关系得到关于的一元二次方程和一元一次方程进行求解； （4）分析与矩形对角线的位置关系，再利用相似三角形建立比例关系，求得的取值范围． 【详解】（1）， ， ，，， ， 解得：； （2）如图：过点作于点，则， ， ， 即， ； （3）当点在线段上时，如图，连接， ， 根据矩形的性质可得：， ， ， ，则 解得：（舍去），， 还当点在线段上时，如图： 作，，四边形的面积 ， 解得：， 综上所述，以、、、为顶点的四边形的面积等于时，或； （4）存在，理由如下： 如图，作，为垂足， 当时，与相切，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有四个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，经过点，与矩形的对角线有二个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 故存在与矩形的对角线有三个公共点， ，， ， ，即， 解得：， 如图：作，为垂足， 同理可得，， 点的运动速度为每秒， 当时，与相切，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 或或． 23．（2026·吉林·模拟预测）【操作发现】 (1)如图①，在中，E是边上一点，连接，将沿折叠，点B的对称点F恰好落在边上，求证：四边形为菱形． 【操作探究】 (2)在图①的边上取一点G，连接，作点F关于的对称点，使点落在边上，连接并延长交边于点M，如图②．若，，则的长为________． 【探究应用】 (3)延长图②中的交边于点H，连接，，如图③．若，，则四边形的周长为________． 【答案】(1)证明：∵将沿折叠，点B的对称点F恰好落在边上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2)3 (3) 【分析】（1）根据折叠，可得，结合平行四边形的性质，可得，推出，，接着根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； （2）过点作交于点，不妨设，先根据对称和平行，证得，再证明，推出，接着证明，利用对应边成比例可得答案； （3）过点作交于点，接着证明，通过证明，算得，再证明，算得，最后证明四边形是平行四边形，算得，求得周长． 【详解】（1）略 （2）解：过点作交于点，不妨设，如图所示： ∵四边形为菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∵作点F关于的对称点，使点落在边上， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵在中，， ∴， ∵ 四边形为菱形，，， ∴，， 过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为：． 24．（2026·吉林长春·模拟预测）【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等．利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴． (1)【操作】如图①，点和点关于直线l对称，请利用直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹，不必写作法），并在直线l上取一点P（点P不与点、点共线）、连结线段和线段，直接写出和的数量关系：______； (2)【探究】如图②，在矩形中，，，分别为边上的动点，且，将右侧的矩形沿所在直线进行翻折，的对应边记为，连接．交于点G，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结，点在运动过程中，直接写出的最小值． 【答案】(1)，图见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对称的性质知对称轴是线段的垂直平分线，画垂直平分线即可，利用垂直平分线的性质得； （2）根据矩形的性质可证，利用相似比求出答案； （3）根据相似的性质可得点是定点，则的长度是定值，通过轴对称的性质可知，，也是定值，所以点是在以点为圆心，长度为半径的圆上，利用点到圆上的最短距离求出答案． 【详解】（1）解：作图如下图所示，直线是所求直线． ∵点和点关于直线对称， ∴点和点到直线的距离相等，直线是线段的垂直平分线， 点是垂直平分线上的点， ∴． （2）解：，理由如下： 如下图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：由（2）知， 在矩形中，， ∴在中，， 则， 则点为定点，如图所示，连接，过点作， 分别交于点； ∴， 同理可证，， ∴； 在和中， ， ∵点与点关于对称，点是上的点， ∴，点是在以点为圆心，半径为3的圆上， ∵， ∴的最小值为． 25．（2026·吉林·一模）如图，已知，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】先利用直角三角形内角求，推出，得，再结合证明四边形是平行四边形，从而得． 【详解】解：略． 26．（2026·吉林长春·模拟预测）在矩形中，，，点E是上一点，且，点P是线段上的一个动点，将四边形沿所在直线翻折，点A、B的对应点分别为，，设的长为x． (1)当四边形为矩形时，长为______； (2)连结，当点B、、D共线时，______ (3)当点恰好落在矩形的某一条边上时，求x的值； (4)当时，直接写出x的值． 【答案】(1)12 (2) (3)3或 (4)或 【分析】（1）当四边形为矩形时，，再结合即可求解． （2）连接，由折叠性质得：，，，当点、、共线时，，则，过作于，则四边形是矩形，得出，，求出，结合，列方程求出​，由勾股定理求出​​，，即可求解​． （3）分两种情况：情况1：落在边上时，情况2：当落在边上时，根据折叠的性质和矩形的性质即可求解． （4）过作于，在中，，，设，，由勾股定理求出，则​，​．连接，分两种情况：情况1：在上方时，情况2：在下方时，分别画图后求解即可​． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 当四边形为矩形时，， ∴． （2）解：连接， 在矩形中，，，，， 由折叠性质得：，，， ∵点、、共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴，得​， 由勾股定理得：​​， ， ∴​． （3）解：情况1：落在边上时， 根据折叠的性质可得，垂直平分，在上，故， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即． 情况2：当落在边上时， ∵， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴； 综上，或． （4）解：过作于， 在中，，， 设，， 由勾股定理得， 解得， 故​，​． 连接， 分两种成立情况： 情况1：在上方时，如图，此时， 根据折叠可得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， 解得：​，符合范围． 情况2：在下方时，此时， 根据折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故，解得​． 综上，​或​． 27．（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，矩形在，点从点 出发，沿射线运动，连接 ，将沿翻折得到”，设，回答下列问题： (1) ___________°． ___________； (2)当落在 边上时，求证：四边形为正方形； (3)连接，当时，在图②中用圆规和无刻度直尺画出点的位置，并求出的值； (4)当点 到矩形相邻两个顶点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)证明：如图， 四边形 是矩形， ， 由折叠的性质得： ， 点 落在 边上， ， ， 四边形 是矩形， ， 矩形 是正方形． (3)如图，点即为所求， (4) 【分析】（1）由折叠的性质结合题干条件求解即可． （2）由矩形 得，由折叠性质得 ，．因 在 上，，四边形 中三个角为直角，故为矩形，又 ，邻边相等，故为正方形． （3）由尺规作图作全等，再作的垂直平分线确定点，由作图知 ，得 为等边三角形，，由折叠的对称性得 平分 ，故 ，在 中，利用 ，解得 ． （4）由题意，分两类讨论：①当到、距离相等时，在的垂直平分线上，由（3）可得；②当到、距离相等时，在的垂直平分线上，作辅助线、，利用垂直平分线性质得，在中由勾股定理求，分在矩形内部和外部两种情况，由折叠中，在 中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知， ， ． （2）略 （3）解：以 为圆心， 长为半径画弧；以 为圆心， 长为半径画弧，两弧在矩形内部的交点即为点 ；连接 ，作 的垂直平分线，交 于点 ． 由折叠性质得： ， ， 是等边三角形， ， 由折叠的对称性可知： 平分， ， 在 中， ， ，即， ． （4）解：矩形相邻顶点共四组： 与 、与 、与、与 ． 当点到与 两点距离相等时，在的垂直平分线上， 四边形是矩形，的垂直平分线是矩形的对称轴， 的垂直平分线同时也是的垂直平分线， 此时，点到与 两点距离也相等， 同理，当点到与 两点距离相等时，点到与 两点距离也相等． 当 到、距离相等或到、距离相等时， 即 ，由（3）可得 ． 当 到、距离相等或到、距离相等时， 即 ，此时 在 的垂直平分线上． 过 作 于 ，由垂直平分线性质得 ． 过 作 于 ，则四边形 为矩形， 在 中，，由勾股定理： ， 如图，当 在矩形内部时，； 在 中， ， 由勾股定理：，即， 解得； 当 在矩形外部时，． 在 中， ， 由勾股定理：，即， 解得； 综上， 的值为 ． 28．（2026·吉林长春·一模）如图①，在平行四边形中，，，于点E，且．点P从点E出发，沿向终点C运动．设点P在该折线上运动的路径长为x（）．连结． (1)的长为______，当点P在上运动时，的最小值为______； (2)点F是的中点，如图②．请用无刻度的直尺和圆规过点F作的垂线．垂足为G（保留作图痕迹，不写作法）； (3)延长到点M，使得，以，为邻边作平行四边形． ①当点P在上，平行四边形的对角线所在的直线恰好经过点D时，如图③，求x的值； ②当点A落在平行四边形的边上或内部时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)解：所作图形如图． (3)①；② 【分析】（1）利用正弦函数的定义求得，当时，取得最小值，利用等积法即可求解； （2）利用尺规作图的方法作出图形即可； （3）①分别用表示出和的值，过作于，设与直线交于，证明，求出，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； ②分两种情况讨论，当在上时，当时，点落在的边上，即可求出的范围；当在上时，当且时，点落在的边上或内部，进而求出的范围即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 当时，取得最小值， ，即， ，即的最小值为； （2）略 （3）解：①落在对角线上，如图， 过作于，设与直线交于， 由题意得， ， ， ， ∵在中， ， ， ， ， ， ∵平行四边形中，， ∴， ， ∵，， ∴, ∴， ∴，， ∵， ， ， ， ， ， 解得； ②当在上时，如图， ， ， 当时，点落在的边上， ∵， ， 解得：， ； 当在上，则时，如图，过作于，设与直线交于，      根据（3）①可得， 当且时，点落在的边上或内部， ， 解得：， 则 综上所述，当时，点A落在的边上或内部． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09四边形 5年真题1年模拟：答案版 五年真题分类园 考点01多边形及其内角和 1.36 2.36 3.D 4.45 考点02平行四边形的判定 5.[探究发现]：四边形DEGF是菱形： [探究证明]：证明：如图： D E H BMN MN HMN B 将△ 沿 翻折得到△ ∴.BN=HN,BM=HM, BN =BM, ∴.HN=BN=BM=HM, .四边形BMHN是菱形， ∴.NH‖BC, .'E为边AD的中点，M为边BC的中点， DE-TAD,BM-BG, .四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,ADBC, 1/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.DE=BM,AD‖NH, ,四边形DEGF是菱形， ∴.DE=FG,FG‖AD, .FG=DE=BM=HN,FG‖NH, .四边形GFHN是平行四边形； AD 1 [探究提升]：四边形GFHN为轴对称图形时， AB 6. 证明：O是边AB的中点， ∴.OA=OB, ∠A=∠B=90° 在△AOD和△BOC中， OA=OB ∠AOD=∠BOC ∴△AOD≌△BOC, .AD=BC, ,∠A=∠B=90°， .AD‖BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ,∠A=∠B=90°， 四边形ABCD是矩形. 7.(1) 证明：由题意可知△ACB≌△DFE, ∴.AC=DF,∠CAB=∠FDE=30°， ∴.AC‖DF, .∴四边形AFDC地平行四边形； (2)18 良考点03矩形的性质 8.(1)S= 寻01s6l 3t-96<t≤9 2/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)5s 9.C 10.1)13 喔 3) 解：如图所示，过点P作PH⊥BC于点H, A P D Q 23 BH E C 图② ,∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90°， ∴.∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 则四边形ABHP是矩形， .PH=AB =3 又，EC=BC-BE=5-2=3 ..PH=EC, ∴·△PHE≌ECQ ∴.PE=QE “△PQE是等腰直角三角形： A0<1s9-385或=马支r=7 2 6 5 1.2/25 考点04矩形的判定与性质综合 12.探究一：三角形的任意两边之和大于第三边： 探究二：C在⊙O上，证明如下： :∠ACB=90°，O为AB的中点， ..OC=OA=OB, .C在⊙O上； 3/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 拓展应用：(1)如图，⊙O即为矩形ABCD的最小覆盖圆， D 图③ (2)5: (3)2: 13. 问题解决：(1)证明：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P,作射线AP, M MNCP B 图② 四边形 是平行四边形， .∴.NC=MP,MN=PC .AM=NC .∴.AM=MP; (2)30,2 方法应用：线段MN长度的最小值为6米 考点05菱形的性质 14.(1)2,(2)4, 箭起：S支b, 证明：，EG⊥FH, Fc)×EG×FO,S△EHG =1×EG×HO, 4/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :S四边形BFGH=SAEFG+SAEHG, .S四边形EFcH一 xEG×FO+xEG×HO=号×EGxFO+HO, Ssn×EC×P0+H0=×EG×FH, .EG=a,FH=b, 1 :S四边形EFGH ab: (4)10 15.(1) 证明：'AD=DC,DE=DF, .四边形AECF是平行四边形， .DE⊥AC, ∴.四边形AECF是菱形： (2)R/15 16.(1)2x (2)1 23x2 0≤x≤1 -73x+183x-93,1<x≤ 3 V3x2-6V3x+9V3 3 考点06菱形的判定 17.1)添加条件：∠BCE=30°： (2)解：四边形EBGF是菱形，理由如下： :四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， 由折叠可得△CEF≌△CEB, .∠CFE=∠CBE=90°，∠ECF=∠ECB,EB=EF, .BH⊥CF, ∴.∠CHB=∠FHB=90°， 5/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠CGH+∠ECF=90°， .∠CEB+∠BCE=180°-∠ABC=90°， .∠CGH=ㄥCEB, .∠BGE=CGH, .∠BGE=∠BEG, ..BG=BE. .BE=FE, ∴BG=EF. .∠CHB=∠CFE=90°， :.BH‖EF ∴四边形EBGF是平行四边形， .EB=EF, .口EBGF是菱形. 6)9或2 5 18.见解析 考点07正方形的性质 19.证明：，四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAE=∠ABF=90° 在△DAE和△ABF中， AD-BA DAE=∠ABF AE=BF .△DAE≌△ABF SAS. 20.①②④ 21.(1)4 唱 吗 6/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 或2 6 2.2 丫一年模拟练测园 1.B 2.B 3.2 4.10 5.①③ 6.②③④ 7.①②⑤ 8.①②④ 9.①③④ 10.①②③ 11.①②③ 12.①②④ 13.I)AP⊥DM,D0=OM,60°： (2)四边形PDQM是菱形，理由如下： 由题意知，PD=PM,QD=QM,AB‖CD, ∴.PQ垂直平分DM,∠PDO=∠QMO,∠DPO=∠MQO, .DO=MO,DM⊥PQ, 在△PDO和△QMO中， ∠DPO=∠MQO ∠PDO=∠QMO DO=MO .△DPO≌△MQO AAS, ∴.PO=Q0 ∴.四边形PDQM是平行四边形， .DM⊥PQ, 7/12 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.四边形PDQM是菱形： 3)16-83≤DQ≤4 14.见解析 15.1)平行四边形 (2)18 16.1)= (2)如图所示，点G即为所求； D C GH B P N ∠GMN=90° A E M B 6913<CF<13 17.(1)4 (0x2 Qy- 22<x≤4 号x2+4x-64<x≤6 18.(1)3 (②)①如图，折痕EF即为所求：② E 43-3t0≤t<4 19.(1)PC= -444g3 8/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)t=2 6L=4+283威1=4+433 3 3 4④)t=3- 5或t=3+ 3 20.(1)③ (2)tan∠ADE=2-V3 6)AE=1或7-2V10 ④AE=3/5-6或1或3 2哈 -2x2+2x(0≤x<1) (2)y= 2-2x1≤x 5x2+10x-8 9 22.(1)t= 4 R)4t 8t=3-26或t=5 2 2 4)存在，t=8 或3<t<25 s6 23.(1)证明：，将△ABE沿AE折叠，点B的对称点F恰好落在边AD上， .△ABE≌△AFE, ∴.AB=AF,∠BAE=∠FAE, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC, .∠FAE=∠BEA, ∴.∠BAE=∠BEA, ∴AB=BE, 9/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..AF=BE, 又AD‖BC, ∴.四边形ABEF是平行四边形， .AB=AF, ∴.四边形ABEF为菱形： (2)3 (3)9.6 24.Q)PM=PN,图见解析 (2)EG=2FG,理由见解析 3)3-6 25.证明：.AB1AC, ∴.∠BAC=90°， .∠B=50°， .∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠B=40°， .∠1=40°， ∴.∠1=∠ACB, ∴.AD‖BC, .AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形， ..AB=DC. 26.(1)12 时 3)3或V34 号 27.1)90:3 (2)证明：如图， 10/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B'D ABCD B P C 四边形 是矩形， ∴.∠BAD=∠B=90°， 由折叠的性质得： AB=AB,∠ABP=∠B=90°， ·点B落在AD边上， .∠BAB=90°， ∴.∠B=∠BAB=∠ABP=90°， .四边形ABPB是矩形， AB=AB, .矩形ABPB是正方形 3)如图，点B即为所求， D B x=V3 B P ④3,9-359+35 P 2 ,12 28.05,5 (2)解：所作图形如图. D G 米 B4 E F ②2sx≤14 11/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12/12