28.2（第3课时 ）关于原点对称的点的坐标特征（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“关于原点对称的点的坐标特征”，分层设计从基础坐标求解到综合图形变换，梯度合理，强化概念理解与空间观念培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一对称点坐标求解|选择填空为主，直接应用坐标变换规则，巩固核心概念| |参数计算|含参数的对称关系应用|解答题结合方程思想，通过参数求解培养推理意识| |综合变换|图形运动判断与变换作图|操作题与综合题，结合图形旋转、平移等变换，发展空间观念和几何直观|

28.2（第3课时 ）关于原点对称的点的坐标特征（原卷版） 目 录 类型一、求关于原点对称的点的坐标 1 类型二、已知两点关于原点对称求参数 3 类型三、判断图形的运动过程 5 类型四、按变换要求作图 7 类型一、求关于原点对称的点的坐标 1．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．若点关于原点的对称点位于第四象限，则常数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（     ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 6．已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．设点A的坐标为，将点A绕坐标原点旋转得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是（     ） A． B． C． D． 10．点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 11．点关于原点对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 12．已知点在第一象限，若点与点关于原点对称，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．点关于原点的对称点是（     ） A． B． C． D． 15．在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 17．点在第______________象限，其关于x轴的对称点的坐标为______________，关于y轴的对称点的坐标为______________，关于原点的对称点的坐标为______________． 18．正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 19．点与点B关于原点对称，则点B的坐标是________． 20．点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标_____________． 类型二、已知两点关于原点对称求参数 21．若点与点关于原点对称，则等于（     ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则（     ） A．， B．， C．， D．， 23．已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 24．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 25．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 26．若正比例函数的图象经过点和点，若点和关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 28．已知点与点关于原点成中心对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 30．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 31．若点和点关于原点对称，________． 32．已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 33．点和点关于原点对称，则______． 34．若点与点关于原点对称，则的值为______________． 35．已知点与点关于原点对称，则的值为_______． 36．已知点与点关于原点对称，则______． 37．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，则的值为______． 38．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则______． 39．若点与点关于原点O成中心对称，则________． 40．若点与点关于原点对称，则____． 41．已知点与点关于原点对称，求的值． 42．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 43．直角坐标系第二象限内的一点与另一点关于原点对称，试求的值． 44．（1）解方程：； （2）已知点与点关于原点对称，求a、b的值． 45．（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 46．（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 47．已知点与点关于原点对称，求的值． 48．平面直角坐标系内的一点与另一点关于原点对称，试求的值． 49．已知点与关于原点对称，求的值． 50．根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 类型三、判断图形的运动过程 51．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 52．根据题目条件，解答下列各题 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别描出点关于原点的对称点，，，写出点，，的坐标，并分别依次连接点，和点，，，． (2)描述和各对应顶点坐标之间的关系． (3)是由经过怎样的变化得到的？ 53．主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 54．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将每个顶点纵坐标不变，横坐标乘，得到．其中点A，B，C的对应点分别是，，，请在图中画出； (2)与关于直线对称，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出； (3)可以看作由经过一次变换得到的，请写出变换过程． 55．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点的坐标分别为，，，依次完成下列问题： (1)直接写出三角形的面积； (2)将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度（点A，B平移后的对应点分别为点D，E），画出平移后的线段并写出点D的坐标； (3)在点E的左侧画点F，连接，使且； (4)连接，若三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形，点A，B，C分别与点E，D，F对应，观察对应点的坐标之间的关系．三角形内任意一点M的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，直接用含a，b的式子表示点N的坐标． 56．如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 类型四、按变换要求作图 57．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 58．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 59．如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 60．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 61．如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 62．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)画出； (2)画出关于原点对称的； (3)画出绕原点O顺时针旋转后的． 63．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度． (1)画出关于原点对称的图形，并写出，的坐标； (2)求出的面积． 64．在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转90°得到，作出； (2)的中心对称图形为，其中点的坐标为，作出． 65．如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 66．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）． (1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标； (2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标； (3)已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标． 67．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）． （1）请画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2． 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 2．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于x轴，点M的坐标是，点的坐标是，则点N的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（     ） A． B．8 C． D．10 5．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，以点为直角顶点，为边构造等腰，再将等腰绕原点O旋转，则点A的对应点的坐标可能是（   ） A． B．或 C．或 D． 7．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 8．如图，菱形的对角线交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标是_____． 9．如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 10．点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 11．如图，直线与双曲线交于，两点，其中点的坐标为．为双曲线上的一点，横坐标为，轴，交直线于点，连接，． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)求与的面积比； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． (1)将平移，使点移动到点，请画出； (2)作出关于点成中心对称的． 13．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)请写出点C关于原点O对称的点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的（点B、C的对应点分别为点、），并写出点的坐标． 1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． (1)试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标________； (3)请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为________，若直线平分的面积，则________． 2．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 3．阅读下列材料，完成相应的任务． 在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较，两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，的值，且时，对应的函数值分别为，．它们的差为________．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： 当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． 当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而________． 这就是一次函数的增减性． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：________；________； (2)请你试用一次函数增减性的说明方法，证明反比例函数的增减性； (3)试说明反比例函数的图象关于原点对称． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2（第3课时 ）关于原点对称的点的坐标特征（解析版） 目 录 类型一、求关于原点对称的点的坐标 1 类型二、已知两点关于原点对称求参数 7 类型三、判断图形的运动过程 17 类型四、按变换要求作图 23 类型一、求关于原点对称的点的坐标 1．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 2．若点关于原点的对称点位于第四象限，则常数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求点关于原点的对称点坐标，再根据第四象限内点的坐标符号列不等式组求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ∵ 该对称点位于第四象限， ∴ ，， 解，得， 解，得， ∴ ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点P的坐标，利用中心对称的性质求出点的坐标，从而再求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，，， 是等腰直角三角形，， 如图，过点A作交于点D， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为． 令，则， ， 又点A与点关于点P成中心对称， 点为的中点， ， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 点关于原点对称， 其对称点的横坐标为，纵坐标为， 即对称点坐标为． 5．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（     ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，在第一象限． 6．已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据中心对称性质求出坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可． 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 7．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标都互为相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． 8．设点A的坐标为，将点A绕坐标原点旋转得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，点A和点关于原点中心对称，由点A坐标求出点的坐标即可． 【详解】解：∵ 点是点绕坐标原点旋转得到的， ∴点与点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 9．在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为点关于原点对称的点的坐标为，所以将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标． 【详解】解：∵所求点与点关于原点对称， ∴所求点的坐标为． 10．点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点关于原点对称， 点关于原点对称的点的坐标为． 11．点关于原点对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的两个点，其坐标值全部互为相反数可直接得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 12．已知点在第一象限，若点与点关于原点对称，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】第一象限内的点的横纵坐标都为正数，且关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得到点N的横纵坐标都为负数，据此可得答案． 【详解】解：∵点M在第一象限， ∴点M的横，纵坐标都为正数， ∵点N与点M关于原点O对称， ∴点N的横坐标与点M的横坐标互为相反数，点N的纵坐标与点M的纵坐标互为相反数，即点N的横纵坐标都为负数， ∴点N在第三象限． 13．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是． 14．点关于原点的对称点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点的对称点是． 15．在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数即可解题． 【详解】解：∵ 若两点关于原点对称，则两点的横纵坐标分别互为相反数，已知， ∴ 点B的横坐标为，纵坐标为，即． 16．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数即可得到答案． 【详解】解：∵ 在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数， 已知点的坐标为，的相反数为，的相反数为， ∴ 点关于原点对称的点的坐标为． 17．点在第______________象限，其关于x轴的对称点的坐标为______________，关于y轴的对称点的坐标为______________，关于原点的对称点的坐标为______________． 【答案】 四 【分析】根据每个象限内点的坐标特点判断该点所在的象限，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第四象限，其关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于原点的对称点的坐标为． 18．正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，因此两个函数的交点也关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 19．点与点B关于原点对称，则点B的坐标是________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是． 20．点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标_____________． 【答案】 【分析】利用关于原点对称的点的坐标规律，即对称点的横纵坐标分别是原坐标横纵坐标的相反数，直接求解即可． 【详解】解：∵点是点关于原点的对称点， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 类型二、已知两点关于原点对称求参数 21．若点与点关于原点对称，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出x，y的值即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 22．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，． 23．已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 【答案】D 【分析】利用关于原点对称的点的坐标性质，先求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 24．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，利用“关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数”的性质即可计算出和的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴，， 即，． 25．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 26．若正比例函数的图象经过点和点，若点和关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征和正比例函数系数的求解，先根据关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数，求出和的值，再将点坐标代入正比例函数解析式求解即可． 【详解】∵点和点关于原点对称， ∴，， 可得点坐标为， ∵点在正比例函数的图象上， ∴把代入解析式得 ， 解得 ． 27．一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点，关于原点对称，可求出的值，即可求出反比例函数的表达式． 【详解】解：A与B关于坐标原点对称， ， 解得， ， 设这个反比例函数的表达式为， 把代入可得， ， 解得， 所以这个反比例函数的表达式为． 28．已知点与点关于原点成中心对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标性质，求出和的值，再计算得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 29．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，正确掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：A． 30．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 31．若点和点关于原点对称，________． 【答案】 【分析】两个点关于原点对称时，横纵坐标均互为相反数，据此列方程求出和，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴根据关于原点对称的点的坐标规律，可得， 解第一个方程得，即， 解第二个方程得，即， ∴． 32．已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，点关于原点的对称点的坐标为， ∴，， ∴． 33．点和点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，两点关于原点对称时横纵坐标分别互为相反数，求出和的值，再计算． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴． 34．若点与点关于原点对称，则的值为______________． 【答案】 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 35．已知点与点关于原点对称，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 36．已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，可得 ，， 则． 37．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 38．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则______． 【答案】0 【分析】关于原点中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，先求出的值，再代入计算即可． 【详解】∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， 解得， ∴． 39．若点与点关于原点O成中心对称，则________． 【答案】 【分析】利用关于原点对称点的性质得出的值进而得出答案． 【详解】解：点关于原点中心对称点为：， ∴，， 则． 40．若点与点关于原点对称，则____． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 两点的纵坐标互为相反数可得． 41．已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，列出关于和的方程组，求解后计算的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， 将得： 解得 代入①得： 故原方程组的解为： 则． 42．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标，理解题意是解决本题的关键． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此即可作答． 【详解】（1）解：两点关于原点对称， ， ； （2）解：两点关于轴对称， ， ． 43．直角坐标系第二象限内的一点与另一点关于原点对称，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，关于原点对称的两个点的坐标特点，第二象限内的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，据此可得，解方程求出m的值，根据第二象限内的点的横坐标为负，可得，据此确定m的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点与另一点关于原点对称， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∵在第二象限， ∴， ∴， ∴． 44．（1）解方程：； （2）已知点与点关于原点对称，求a、b的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，坐标与中心对称，掌握一元二次方程的解法，关于原点对称的两点的坐标特征是解题的关键； （1）利用因式分解法求解即可； （2）由题意得，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， ∴，； （2）∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， ∴，． 45．（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，关于原点对称的点的坐标特征， （1）将原方程转化为，然后将方程的左边进行因式分解，再转化为两个一元一次方程进行求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， 解得：，； （2）∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：． 46．（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 【答案】（1）或（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程和中心对称的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标关系列方程求解即可． 【详解】解：（1） 方程两边同时除以3，得， 移项，得， 提取公因式，得， ∴或， ∴或； （2）∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴，， ∴． 47．已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了关于原点对称问题，根据关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数列式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得． 48．平面直角坐标系内的一点与另一点关于原点对称，试求的值． 【答案】的值为12或0 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律，根据条件可得，，求出的值，代入后可得． 【详解】解：点与点关于原点对称， 解得 当时，； 当时，． 综上所述，的值为12或0． 49．已知点与关于原点对称，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解一元二次方程，代数式的值，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数可得，，解方程可得的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴，， 解得，， ∴． 50．根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查点的坐标，掌握各点的坐标特点是解题的关键． （1）利用关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （2）利用关于原点对称的点的横坐标相反数，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （3）结合平行于y轴的一条直线上，得到横坐标相同，进行列式，解得，因为点P在点Q的上面，点间的距离为4，故，进行解题即可． 【详解】（1）解：∵点与点关于x轴对称， ∴ 解得； （2）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 整理得， 解得 把代入得， 解得， （3）解：∵点与点在平行于y轴的一条直线上， ∴ ∴ 解得， ∵点P在点Q的上面，点间的距离为4， ∴， ∴． 类型三、判断图形的运动过程 51．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 52．根据题目条件，解答下列各题 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别描出点关于原点的对称点，，，写出点，，的坐标，并分别依次连接点，和点，，，． (2)描述和各对应顶点坐标之间的关系． (3)是由经过怎样的变化得到的？ 【答案】(1)； 和即为所求： (2)点与点，点与点，点与点坐标之间的关系为：横、纵坐标均互为相反数； (3)是由绕原点旋转得到的 【分析】（1）根据关于原点对称，横、纵坐标都变为原坐标的相反数，描出点，并依据题意依次连接各点即可． （2）对比各组对应点坐标，总结规律即可． （3）根据对应点的坐标关系总结出对应点的变化规律，继而判断图形的变化规律． 【详解】（1）略； （2）解：由图可知，点， 由（1）可知，， ∴点与点，点与点，点与点坐标之间的关系为：横、纵坐标均互为相反数； （3）解：由（2）可知，点与点，点与点，点与点的横、纵坐标均互为相反数， ∴点与点，点与点，点与点关于原点对称， ∴是由绕原点旋转得到的． 53．主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)解：如图所示，三角形②，③即为所求； (2)解：三角形③能由三角形①通过一次旋转变换所得到，且以点O为中心，逆时针旋转． 【分析】（1）根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图，解答即可； （2）根据旋转的定义判断解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 54．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将每个顶点纵坐标不变，横坐标乘，得到．其中点A，B，C的对应点分别是，，，请在图中画出； (2)与关于直线对称，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出； (3)可以看作由经过一次变换得到的，请写出变换过程． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3)可以看作由关于点对称得到 【分析】（1）根据题意，由题可知，，，再连线即可得； （2）利用对称画出即可； （3）根据图形的对称性可知可以看作由关于点对称得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 55．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点的坐标分别为，，，依次完成下列问题： (1)直接写出三角形的面积； (2)将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度（点A，B平移后的对应点分别为点D，E），画出平移后的线段并写出点D的坐标； (3)在点E的左侧画点F，连接，使且； (4)连接，若三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形，点A，B，C分别与点E，D，F对应，观察对应点的坐标之间的关系．三角形内任意一点M的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，直接用含a，b的式子表示点N的坐标． 【答案】(1) (2) 解：如图，线段即为所求； 点D的坐标为； (3) 解：如图，线段即为所求； (4)． 【分析】（1）利用网格图的特征解答即可； （2）根据平移的性质画出图形，即可； （3）根据平移的性质画出图形，即可； （4）根据中心对称图形的性质以及平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：三角形的面积； （2）略 （3）略 （4）解：先作三角形关于原点中心对称图形，再向左平移1个单位得到三角形， ∵M的坐标为， ∴点N的坐标为． 56．如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 【答案】图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的 【分析】把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【详解】解：把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），在平面直角坐标系中画出图形，如图所示： 所得的三角形和原三角形大小和形状不变，△A′OB′可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换的知识，体现了数形结合的数学思想． 类型四、按变换要求作图 57．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 58．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2) 如图即为所求； ． 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2） ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 59．如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】(1) 即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； 【详解】（1）由对称的性质A，B，C的对应点，，， （2）绕原点顺时针旋转， 旋转后，A，B，C的对应点，，， 再描点连线， 60．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 61．如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1) 如图，线段、即为所求； (2) 如图，即为所求． (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． 62．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)画出； (2)画出关于原点对称的； (3)画出绕原点O顺时针旋转后的． 【答案】(1)解：如图，即为所求；    (2) 如图，即为所求； (3) 如图，即为所求． 【分析】本题考查了坐标系中的作图——旋转变换，熟练掌握坐标系中的旋转变换，根据题意准确画出图形是解题的关键． （1）依据点A、B、C的坐标，画出即可； （2）依据中心对称的性质，即可画出关于原点对称的； （3）依据旋转的性质，即可画出绕原点O顺时针旋转后的． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 63．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度． (1)画出关于原点对称的图形，并写出，的坐标； (2)求出的面积． 【答案】(1)即为所求，点，； ， (2)． 【分析】（）先作出、、关于关于原点对称的坐标特征写出、、的坐标，然后顺次连接即可，最后写出的坐标； （）利用割补法求面积即可； 本题考查了画原点对称对称图形，关于原点对称的点的坐标，掌握原点对称对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）作出、、关于关于原点对称的坐标特征写出、、，连接，，， （2）． 64．在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转90°得到，作出； (2)的中心对称图形为，其中点的坐标为，作出． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】题考查作图旋转变换，中心对称等知识； （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1） 略 （2）略 65．如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3)（－3，1） 【分析】（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到、的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据关于原点对称点的性质分别得到、、的坐标，然后顺次连接即可； （3）如图，连接、、，则、、都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，可知与关于点成中心对称， 故答案为：（－3，1）． 【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键． 66．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）． (1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标； (2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标； (3)已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) △A1B1C1图形如下所示： (2) ：如下图，△A2B2C2即为所求，A2点的坐标为(-2，1)； (3)P(-2，-5) 【分析】(1)关于原点对称，横坐标与纵坐标均互为相反数，分别求出A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标，然后再连接成三角形即可； (2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可； (3)对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心即可求解． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：如下图所示：连接C1C2，过其中点E作PE⊥C1C2，则PE为C1C2垂直平分线， 连接A1A2，过其中点F作PF⊥A1A2，则PF为A1A2垂直平分线， 由旋转的性质可知：旋转前后对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心， ∴PE与PF的交点P即为旋转中心，P(-2,-5)． 【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称的性质，理解对应点连线段的垂直平分线的交点为旋转中心． 67．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）． （1）请画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）找到△ABC各顶点关于原点O对称的对应点，再顺次连接即可； （2）找到△A1B1C1各顶点关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）如图所示△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示△A2B2C2，即为所求． 【点睛】此题主要考查坐标与图形的作图，解题的关键是熟知坐标关于原点O对称和关于y轴对称的坐标变化特点． 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 【答案】C 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等可得，结合轴可证平分；在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长及点的坐标；根据矩形中心对称性求出点坐标；利用三角形面积公式求出矩形面积，逐项判断即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，且在轴上， ∴为矩形对角线交点， ∴， ∵轴，轴轴， ∴， ∴， ∴，即平分，故A正确； ∵，； ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，故B正确； ∵，，点在第一象限， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴，故C错误， ∵，故D正确. 2．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 3．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于x轴，点M的坐标是，点的坐标是，则点N的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得点、点的纵坐标相同，即，从而可得，再由平行四边形的性质并结合题意可得点、点关于点成中心对称，由此求解即可． 【详解】解：∵平行于x轴，点M的坐标是，点F的坐标是， ∴点、点的纵坐标相同，即， ∴， ∵在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点， ∴点、点关于点成中心对称， ∴点N的坐标是． 4．将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（     ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，再得到对称点坐标，代入解析式即可求解 【详解】解：∵ 将一次函数的图象向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得平移后的函数为， ∵ 点关于原点对称时，横纵坐标均为原坐标的相反数， ∴ 点关于原点的对称点坐标为， ∵ 对称点在平移后的函数图象上，将代入得 解得 5．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，且交点为原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数即可求解． 解题的关键在于掌握平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征． 【详解】解： 四边形是平行四边形，且对角线交点为原点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 6．在平面直角坐标系中，以点为直角顶点，为边构造等腰，再将等腰绕原点O旋转，则点A的对应点的坐标可能是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到点A的两种可能坐标，再利用绕原点旋转的坐标变换规律，即关于原点中心对称，横纵坐标都变为原坐标的相反数，即可求出对应点坐标； 【详解】解：∵原点，点， ，且在轴上， ∵是等腰直角三角形，直角顶点为， ，， 分两种情况讨论： 当点在轴上方时，点横坐标与相同为，纵坐标为，即， 当点在轴下方时，点横坐标为，纵坐标为，即， ∵图形绕原点旋转后，对应点与原点关于原点中心对称，若点坐标为，则对应点坐标为， 当时，对应点坐标为， 当时，对应点坐标为， 因此点的对应点坐标为或． 7．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 8．如图，菱形的对角线交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质及对角线交于坐标原点可得点与点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线交于坐标原点， ∴点与点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 9．如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 【答案】 【分析】因为点与点关于原点对称，且的面积为7，所以的面积为，由反比例函数的几何意义可知，的面积为1，则的面积为，结合反比例图象所在象限可求解题目． 【详解】解：连接， ∵点与点关于原点对称，的面积为7， ∴， ∴的面积为， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵在反比例函数上 ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 10．点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的性质求出点的坐标，再结合点在第三象限列出关于m的不等式，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为点， ∵点在第三象限，且， ∴， 解得． 11．如图，直线与双曲线交于，两点，其中点的坐标为．为双曲线上的一点，横坐标为，轴，交直线于点，连接，． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)求与的面积比； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）直线的解析式是，利用待定系数法求出直线的解析式；利用待定系数法求出双曲线的解析式； （2）求出点、的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、的长度，根据与的面积比等于线段、的长度比即可求出结果； （3）由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立，根据点、的坐标即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 把点的坐标为代入， 可得：， 双曲线的表达式为； （2）解：由函数图象可知点、关于原点对称， 点的坐标是， 点横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ，， ； （3）解：由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立， 不等式的解集是或． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． (1)将平移，使点移动到点，请画出； (2)作出关于点成中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求． 【分析】（1）由点移动到点找出平移坐标变化规律，按此规律得出、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标变化规律求出点、、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到． 【详解】（1）解：∵点移动到点，横坐标，纵坐标， ∴点的对应点， 点的对应点， 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求,如图略； （2）解：∵点关于原点对称的点为， ∴点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求，如图略． 13．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)请写出点C关于原点O对称的点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的（点B、C的对应点分别为点、），并写出点的坐标． 【答案】(1) (2)如图，即为所求，点的坐标为． 【分析】（1）根据关于原点对称的性质即可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为， ∴点C关于原点O对称的点的坐标为； （2）略 1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． (1)试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标________； (3)请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为________，若直线平分的面积，则________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求；点的坐标为 (3)如图，点D即为所求；点D的坐标为， 【分析】（1）分别作出点A、B以点C为中心，顺时针旋转后的对应点、，即可解答； （2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数，求得、、的坐标，再依次连接即可； （3）点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点，求出平行四边形的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线经过中心坐标，进而求得b． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点D， ∴可由平移得到，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，平行四边形是中心对称图形， ∴平行四边形的中心坐标为， 当直线经过平行四边形的中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等， ∴将代入直线， ∴，解得：． 2．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为 (3)a的取值范围为或或 【分析】（1）由题意可得两个函数的点分别关于原点中心对称，设函数上的任一点为，则它的对称点为，将代入函数得函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为；同理可得，函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式； （2）画出函数图象，再结合二次函数的图象与性质计算即可得出结果； （3）分三种情况：当“伴随函数”的顶点在上时，当两个函数的交点在上时，当“伴随函数”经过点B时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”， ∴两个函数的点分别关于原点中心对称， 设函数上的任一点为，则它的对称点为， 将代入函数得， ∴． 函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为； 同理可得，函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式为； （2）解：如图，当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大， ∵“伴随函数”的开口方向向下， ∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大， ∴，同时“伴随函数”的对称轴应与直线重合或在直线的左侧， ∴， ∴， 综上，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为； （3）解：①当“伴随函数”的顶点在上时，如图， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点为对称中心， ∴函数N的对称轴为直线， ∴函数N的顶点坐标为， ∵关于点对称的点为， ∴将代入得， ∴； ②当两个函数的交点在上时，如图， 二次函数与x轴的交点为和， ∵点为对称中心， ∴函数N与x轴的交点为和， ∴函数N的解析式为， 当时，， 解得； ③当“伴随函数”经过点B时，如图， ∵点， ∴， 解得． 综上，图形W与线段恰有2个公共点，a的取值范围为或或． 3．阅读下列材料，完成相应的任务． 在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较，两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，的值，且时，对应的函数值分别为，．它们的差为________．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： 当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． 当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而________． 这就是一次函数的增减性． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：________；________； (2)请你试用一次函数增减性的说明方法，证明反比例函数的增减性； (3)试说明反比例函数的图象关于原点对称． 【答案】(1)；减小； (2)证明：设，都是反比例函数图象上的点，不妨设， 则， ， ，， 当时，，即， ，也就是说随的增大而减小， 当时，，即， ，也就是说随的增大而增大； 同理可证明当时，满足当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 对于反比例函数（为常数，），当时，在每一象限内，随的增大而减小，当时，在每一象限内，随的增大而增大； (3)证明：设点在反比例函数的图象上，则有，点关于原点的对称点为， 在中，当时，， 在反比例函数的图象上， 对于图象上任意一点，其关于原点的对称点也在该函数的图象上， 反比例函数的图象关于原点对称． 【分析】根据题目给出的“作差法”，计算，通过判断差的符号来比较的大小，从而判断增减性； 设，都是反比例函数图象上的点，不妨设，根据题目给出的“作差法”，计算，通过符号来比较和大小，从而判断增减性； 设点在反比例函数的图象上，则有，点关于原点的对称点为，然后代入解析式即可． 【详解】（1）解：设一次函数，当自变量分别取，，且时，对应的函数值分别为，， 则， 由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （）当时，，即，亦即，也就是说，随的增大而增大； （）当时，，即，亦即，也就是说，随的增大而减小； 故答案为：，减小； （2）略； （3）略． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，求出点B的坐标为；则可求出直线的函数表达式为；设点P的坐标为，则点Q的纵坐标为，故；可证明；则可证明，据此可得答案； （3）当点E在点B上方时，设交x轴于点H，可证明，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程推出，则直线的函数表达式为，联立，解得或（舍去），则点E的纵坐标为2；当点E在点B下方时，可证明，即轴，则点E的纵坐标为． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点Q 在中，当时，， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的横坐标为p， ∴点Q的纵坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设交x轴于点H， ∵，点C与点D关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点E的坐标为， ∴点E的纵坐标为2； 如图3-2所示，当点E在点B下方时， 同理可得， ∴，即轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为； 综上所述，点E的纵坐标为或2． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $