专题 3数轴 重难点专项训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 以数轴三要素为基础，通过5类核心模型构建从概念到综合应用的解题体系，强化数形结合与动态问题推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |必备知识|3知识点（含5模型）|三要素规范画法、有理数对应关系、距离/平移/折叠等模型公式|定义→性质→模型构建| |题型应用|12题型（含典例及变式）|识图判断、绝对值几何意义、动点表示与方程求解、翻折对称规律|基础辨析→单一动态→多知识点综合|

专题3 数轴 必备知识 知识点01 数轴的定义及画法 1. 数轴的定义及三要素： （1）规定了 正方向 、 原点 、 单位长度 的用来表示数的直线叫做数轴。图示如下： （2）数轴的三要素： 原点 、 正方向 、 单位长度 是数轴的三要素，在画数轴的时候三要素缺一不可。一般情况下规定 向右 为正方向。单位长度视情况选择大小，同一个数轴的 单位长度 一定要统一。 2. 数轴的画法： ①画 直线 ；②定 原点 ；③定 正方向 ；④取 单位长度 。 知识点02 数轴与有理数的关系 1. 数轴与有理数的关系： ①数轴上的点与有理数之间的关系是 一一对应 关系。即一个有理数在数轴上只能找到 1 个 点来表示它。数轴上一个点也只能表示 1 个有理数。 ②表示正数的点在数轴上的位置一定在原点 右侧 ，表示负数的点一定在原点的 左侧 。数轴上右边的数一定比数轴左边的数 大 。 知识点03 数轴上常见的模型 模型 图形 关系 两点间的距离 动点P到两点的距离之和的最小值 ， 最小值为 点的左右平移 左减右加 数轴上翻转 找出循环规律，等边三角形的循环次数是3，正方形的循环次数是4， 数轴折叠 若点是折叠后的重合点，对折点为，则，或者： 目录 题型01 数轴识图与数的大小比较 题型02 数轴与绝对值几何意义最值 题型03 数轴动点 题型04 数轴翻折 题型05 数轴动态与代数式综合 题型06 数轴动态与整式加减 题型07 数轴动态与一元一次方程综合 题型08 数轴旋转与动态新定义 题型09 数轴上两点之间的距离综合 题型10 数轴上点运动规律探究 题型11 数轴上的双动点问题 题型12 数轴上的多动点问题 题型13 A组 基础巩固 题型14 B组 拔高提升 题型15 C组 思维拓展 典例精析 题型01 数轴识图与数的大小比较 【典例1】下列数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、没有正方向，故A选项不符合题意； B、没有单位长度，故B选项不符合题意； C、原点、正方向、单位长度三要素正确，故C选项符合题意； D、没有原点，正数和负数的位置错，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、正方向不对，不符合题意； B、原点，正方向，单位长度均符合数轴特点，符合题意； C、没有正方向，单位长度也不对，不符合题意； D、单位长度不一致，不符合题意； 故选：B ． 题型02 数轴与绝对值几何意义最值 【典例2】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 【变式2-1】若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 题型03 数轴动点 【典例3】【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【变式3-1】一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 题型04 数轴翻折 【典例4】数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究： (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合： ①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与_________表示的点重合； ③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴数轴上数表示的点与数6表示的点重合；表示的点与2025表示的点重合； 故答案为：6；2025； （2）解：①∵5表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点关于数1表示的点对称， ∴C点表示的数是1． 故答案为：1； ②∵折痕C点表示的数是1， ∴表示的点与3表示的点重合； 故答案为：3； ③∵折痕C点表示的数是1，， ∴点A、B到1的距离均为2025， 又∵A在B的左侧， ∴A点表示的数是，B表示的数是． 【变式4-1】数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题： (1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示． (2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． (3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？ ②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 【详解】（1）解：， 点对应，点对应，点对应6，如图所示： （2）解：以点为折点，将此数轴向右折叠，点落在数轴上的点处， 在数轴上对应数字0， ∵点对应6， 点到点的距离为6个单位长度； （3）解：①由题意可得P的最大值为：， 最小值为：， ， 即P的最大值比P的最小值大200． ②．（答案不唯一） 题型05 数轴动态与代数式综合 【典例5】数轴的概念最早由法国数学家勒内·笛卡尔在其对数学的研究中系统引入．在此之前，数学家们对“数”的理解多停留在抽象的运算层面，缺乏直观的几何表示数轴的出现，将数与几何图形（直线上的点）紧密结合，开创了“数形结合”的数学思想方法． 如图所示数轴上，点A，B，C分别表示的数字为，4，1． 【知识应用】（1）若数轴上有一点，满足到，两点距离相等，则点表示的数是____； 【初步分析】（2）将数轴折叠后，点与点重合，点与点重合，则点表示的数是______； 【深入探究】（3）①当对折点为点时，与点重合的点表示的数为______； 此时，对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为______；（用代数式表示） ②当对折点为之间任意一点，且它表示的数为时，左侧表示数的点与右侧表示数_____的点重合．（用代数式表示） 【详解】解：（1）∵点到，两点距离相等， ∴点表示的数是， 故答案为：； （2）∵将数轴折叠后，点与点重合， ∴折叠点表示的数为， 设点表示的数是， 由题意得，解得， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）①设与点重合的点表示的数为， 由题意得，解得， ∴与点重合的点表示的数为， 对折点左侧一个点表示的数为，则设与它重合的点表示的数为， 由题意得，解得， ∴对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为， 故答案为：；； ②设左侧表示数的点与右侧表示数为， 由题意得，解得， 故答案为：． 【变式5-1】综合与探究 【基础探究】 （1）如图1，已知点，分别为数轴上的两点，点在点的右边，点对应的数是，点对应的数是．点是数轴上和之间的一动点，点对应的数是． 两点之间的距离是___________；两点之间的距离是___________．（用含的代数式表示） ②若，点到，两点的距离相等，则的值为____________． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，点在移动的过程中，点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等，试判断两点之间的距离是不是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点和点在，两点之间（点在点的右边，点在点的右边），两点之间的距离是，两点之间的距离是，点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等，求两点之间的距离（用含和的代数式表示）． 【详解】解：（1）①由题意可得，两点之间的距离是； 两点之间的距离是； 故答案为：； ②∵点到，两点的距离相等且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）两点之间的距离是定值， ∵点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等， ∴点D为，点E为， ∴两点之间的距离是，两点之间的距离是， ∴两点之间的距离是． （3），两点之间的距离与，两点之间的距离和是， ∵点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等， ∴两点之间的距离与两点之间的距离和是， ∵两点之间的距离是， ∴两点之间的距离是． 题型06 数轴动态与整式加减 【典例6】如图1，数轴上点表示的数是，点表示的数是，点到点的距离记为，且的大小可以用数轴上位于右边的点表示的数减去位于左边的点表示的数，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中点位于原点左侧且距离原点3个单位长度，是最大的负整数，是整式的次数． (1)_______，_______，_______． (2)若将数轴沿某点向右折叠，使得点与点重合，则点与数______对应的点重合． (3)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点，分别从点，出发，分别以每秒2个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒．当时，求的值． 【详解】（1）解：∵点位于原点左侧且距离原点3个单位长度， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， ∵是整式的次数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示的是数是，表示的数是，表示的数是， ∴当将数轴沿某点向右折叠，使得点与点重合，则折点是点的中点， ∴， 设此时点表示的数为， ∴， 解得，； （3）解：动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， 动点，分别从点，出发，分别以每秒2个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴． 【变式6-1】问题背景：如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 实践操作：甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 （1）从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是_______，________； （2）第三局结束时黑棋在数轴上的位置所对应的数为_______，此时，黑棋和白棋间的距离为________个单位长度； （3）若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是___________，在前四局中，数轴上黑棋和白棋间的最小距离为___________个单位长度． 迁移拓展：在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动3个单位，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位，同时乙将白棋向左移动3个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． （4）游戏开始时，黑白棋子间的距离表示为___________；若甲赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若乙赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若平局，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；进行若干局后，若，两棋能否正好相遇，直接写出所需的最少局数___________．（不需要说明理由） 【详解】解：（1）第一局平局，则黑棋在数轴上的位置所对应的数为，白棋在数轴上的位置所对应的数为， 故答案为：，； （2）第二局甲胜，则黑棋在数轴上的位置所对应的数为，白棋在数轴上的位置所对应的数为；第三局甲胜，则黑棋在数轴上的位置所对应的数为，白棋在数轴上的位置所对应的数为， ∴此时黑棋和白旗间的距离为， 故答案为：，； （3）∵第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，而第三局白棋在数轴上的位置所对应的数为， ∴白棋向左移动2个单位长度， ∴第四局乙胜， 而甲的手势是布， ∴乙第四局的手势是剪刀； 第一局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；第二局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；第三局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；第四局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为； ∴在前四局中，数轴上黑棋和白棋间的最小距离为个单位长度， 故答案为：剪刀，5； （4）游戏开始时，黑白棋子间的距离表示为；若甲赢，则黑棋所在位置表示的数为，白棋所在位置表示的数为；若乙嬴，则黑棋所在位置表示的数为，白棋所在位置表示的数为；若平局，则黑棋所在位置表示的数为，白棋所在位置表示的数为； 由题意得，开始时， 若甲赢，则黑白棋相距，则距离减少2； 若乙赢，则黑白棋相距，则距离减少2； 若平局，则黑白棋相距，则距离减少2； ∴每局中，甲乙之间的距离一定减少2， ∵， ∴两棋能正好相遇，所需的最少局数为， 故答案为：，，，，，，，5． 题型07 数轴动态与一元一次方程综合 【典例7】兴化千垛景区以油菜花田闻名，有一条笔直的观光道路，可以视为数轴．在数轴上，点表示景区入口，点、、分别表示三个油菜花田的入口，其对应的数分别为、1、3（单位：千米）．三个花田的油菜籽产量（单位：千公斤）分别为：田2千公斤，田2千公斤，田3千公斤．现计划在道路上设置一个油菜籽收集站，其位置对应的数为．运输成本为每千米每千公斤1元（即每运输1千公斤油菜籽经过1千米距离，成本为1元） 根据以上信息，结合数轴知识，解决以下问题： 【问题探究】 （1）若将数轴折叠，使点与点重合． ①则点与数______表示的点重合； ②若数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数． 【举一反三】 （2）点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、的距离之和为10，求的值； ②若点到点、、的距离之和最小，则______． 【问题解决】 （3）为了降低运输成本，收集站应建在何处（即为多少）才能使总运输成本最低？最低成本是多少？ 【详解】解：（1）①∵若将数轴折叠，使点与点重合， ∴线段的中点为， ， ∴点与数表示的点重合； 故答案为：； ②∵数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合， ∴N表示的数为：；M表示的数为：； （2）①由题意得，， 当时，则， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解，舍； ②点到点、、的距离之和表示为， 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和等于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； ∴当到点、、的距离之和最小时，； （3）由题意得，总运输成本为， 当时，， 此时成本最低为（元）； 当时，， 此时成本最低为（元）； 当时，； 此时成本均大于元； 当时，， 此时成本最低为（元）， 综上：当时，成本最低且为元． 【变式7-1】【问题提出】在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决： 若将数轴折叠，使与表示的点重合． （1）则表示的点与数________表示的点重合； 【反思生疑】解决这个问题后，有同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转，得到了如图的“新数轴”： 又有同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴”吧！ （2）在这个“新数轴”上，________，________，点与点之间的距离为________； （3）在这个“新数轴”上，若点从出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，经过多少秒，点与点的距离是点与点的距离的倍？此时，点在“新数轴”上对应的数是多少？ 【详解】解：（1）设表示的点与数表示的点重合， 则， 解得：， 故答案为：； （2）由数轴的表示方法得：，， 点与点之间的距离为， 故答案为：，，； （3）设点的运动时间为秒， 则， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， ， ， ， 即或， 解得：或， 点在“新数轴”上对应的数是或， 秒时，点表示的数为；秒时，点表示的数为． 题型08 数轴旋转与动态新定义 【典例8】如图1和图2，数轴与交于公共原点O，点M，N在数轴上且表示的数分别为3和，点P 在数轴上，且初始状态下， (1)如图1，若线段中点为A，求点A在数轴上表示的数； (2)如图1，若点P在数轴上表示的数是6，将数轴绕点O旋转过程中，当数轴 经过点N时，直接写出点N在数轴上表示的数为多少？ (3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到将O绕点O逆时针旋转 得到 其中，在整个旋转过程中，当被数轴或平分时，直接写出所有符合条件的值． 【详解】（1）解：∵线段中点为A， ∴点A在数轴 上表示的数为； （2）解：∵， 点M在数轴上表示的数为，点P在数轴上表示的数是6， ∴数轴的单位长度是数轴的2倍， ∴点N在数轴上表示的数为或； （3）解：如图，则被数轴平分时， 这时，， 则，解得：； 如图，被数轴平分时， ，解得：； 如图，当被数轴平分时， 这时，解得：； 综上所述，当被数轴或平分时，值为或或． 【变式8-1】操作发现． 操作一：如图1，已知数轴上点、所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点，此时数轴上点所表示的数为4，我们称点是点关于点的映射点； 记作：或； 操作二：如图3，已知点和线段，将点、绕同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)借助图1、图2、图3理解，直接填空：，；________； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点在运动过程中，线段的长度是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，点B与点D的距离为1时，求a的值． 【详解】（1）解：根据题意得：； ； 根据题意得：． 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴为的中点， ∵A、B两点所表示的数分别是、， 点表示的数为： ， 所以点C所表示的数； （3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②设点D表示的数为d，点A表示的数为a， ∵点C表示的数是，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴当点B在点A右侧时，点B表示的数为，当点B在点A左侧时，点B表示的数为， ∵B、D两点之间距离刚好为1， ∴或， ∴或， 解得：或或或． 题型09 数轴上两点之间的距离综合 【典例9】已知点，，，…，（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点与所表示的数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的应用和数字的变化规律，利用已知条件找到规律是解题的关键．根据题意得出规律：当为奇数时，表示的数为，当为偶数时，表示的数为，把，分别代入即可求解． 【详解】解：由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为，…… 当为奇数时，表示的数为，当为偶数时，表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 故选：C． 【变式9-1】如图，过数轴上表示1的点作数轴的垂线，过数轴上表示2的点作数轴的垂线，过数轴上表示3的点作数轴的垂线，…．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，…，则表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，数字类规律探究，根据已知条件，分别求出点，，，，，表示的数，然后得到规律：当n为奇数时，表示的数是；当n为偶数时，表示的数是，从而进行计算即可． 【详解】解：点表示的数为，点 表示的数是3，点表示的数是1，点表示的数是5，点表示的数是3，点表示的数是7，， 当n为奇数时，表示的数是；当n为偶数时，表示的数是， 表示的数是：， 故答案为： 题型10 数轴上点运动规律探究 【典例10】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键； 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】 ； 故选：B． 【变式10-1】如图，在数轴上，、P两点表示的数分别是1、2，、关于点O对称，、关于点P对称，、关于点O对称，、关于点P对称……依此规律，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】木题考查了数字的规律，找出一般规律是解题的关键；由已知条件找出关于：，：，：，：，：，根据对称规律得、关于点O对称，即可求解． 【详解】解：，P两点表示的数分别是1，2，、关于点O对称， 表示的数是， ，关于点P对称， 表示的数是， 同理可得：：，：，：，：，：， 根据对称规律得、关于点O对称， 点表示的数是， 故答案为：． 题型11 数轴上的双动点问题 【典例11】已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 【答案】D 【分析】根据等量关系：MN=2BM，列出方程计算即可求解． 【详解】解：依题意有|-2+4t-（-2+8-3t）|=|-2+8-（-2+4t）|×2， 解得t=或8． 故当MN=2BM时，运动时间t的值为或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【变式11-1】如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，分和两种情况，分别用含t的式子表示出点P和点Q表示的数，进而表示出线段的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：2或． 题型12 数轴上的多动点问题 【典例12】在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（    ） ①当时，； ②当时，若a为奇数，且，则或5； ③若，，则； ④当，时，将点B水平右移3个单位至点，再将点水平右移3个单位至点，以此类推，…且满足，则数轴上与对应的点表示的数为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，可得，从而得到，可得①正确；当时，，根据，可得，再由a为奇数，可得②错误；根据，可得，再分两种情况，可得或2，故③错误；根据题意得：点B向右移动n次时，点对应的数为，从而得到，可得点对应的数为，从而得到④正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵a为奇数， ∴，故②错误； ∵， ∴， 当点M在原点右侧时，，即， ∵， ∴，即； 当点M在原点左侧时，，即， ∵， ∴，即； ∴或2，故③错误； 当，时，， 根据题意得：点B向右移动n次时，点对应的数为， ∴， ∵， ∴， ∴点对应的数为， ∴点表示的数为 ，故④正确； ∴正确的有①④，共2个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式12-1】如图，一条数轴上点A表示，点B表示10，点C表示20．动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）当 秒时，点P运动到O点． （2）当 秒时，． 【答案】 6 或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离的含义，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）先表示对应的数，可得，再解方程可得答案； （2）求出Q从C运动到B需要10秒；①P在上运动，此时Q在上，P表示的数为，Q表示的数为，故，方程无解，这种情况不存在；②当P在上运动时，P表示的数为，若Q在上，有，解得；若Q在上，有，解得． 【详解】解：（1）∵从到时表示的数为， 当与重合时， ∴， 解得：； 故答案为：6 （2）∵ （秒）， ∴Q从C运动到B需要10秒； ①P在上运动，即时， 此时Q在上，P表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 方程无解，这种情况不存在； ②当P在上运动时，； P表示的数为， 若Q在上，即，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 若Q在上，即时，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当 秒或 秒时，； 故答案为： 或 ． 1．下列各数在数轴上对应的点到原点的距离大于3的是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离． 求出每一个数的绝对值就是到原点的距离，即可求出答案． 【详解】解：A．2到原点的距离2，小于3，不符合题意，故该选项错误； B．3到原点的距离3，不符合题意，故该选项错误； C．到原点的距离3，不符合题意，故该选项错误； D．到原点的距离4，大于3，符合题意，故该选项正确． 故选D． 2．表示数的点，沿数轴移动6个单位后到达点，则点表示的数为（    ） A． B．4 C．4或 D． 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 【详解】解：根据题意知，表示数的点，沿数轴移动6个单位后到达的点B有两个位置，一个是点A从数处向右移动得到的，另一个是点A从数处向左移动得到的，如图所示：    所以B点表示的数为4或， 故选：C． 3．等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（    ） A．2017 B．2016 C．2015 D．2014 【答案】A 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴的知识，解决本题的关键是根据图形翻折次数找出规律，利用规律解决问题． 作出草图，观察发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2018除以3余2，可得翻转2018次后点B在数轴上，由此求得点B所对应的数即可． 【详解】如图，每3次翻转为一个循环组依次循环， ∵， ∴翻转2018次后点B在数轴上， ∴点B对应的数是． 故选：A． 4．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 5．下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】此题主要考查了数轴的相关概念，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数，说法错误； ③有理数在数轴上无法表示出来，说法错误，可以表示； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 6．下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有______个． 【答案】9 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴是解题的关键．根据在数轴上表示有理数进行作答即可． 【详解】解：由数轴可知，被盖住的整数有，共9个， 故答案为：9． 7．在数轴上表示的点与原点的距离是___________；在数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是___________． 【答案】 或 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握各点到原点距离是解题的关键． 根据数轴上各点到原点距离的定义解答即可； 【详解】解：数轴上表示的点与原点的距离是； 在数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是或； 故答案为：；或 8．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行到达村，继续向南骑行到达村，然后向北骑行到村，最后骑到邮局． (1)以邮局为原点，以向北方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示出三个村庄位置的点； (2)村距离邮局多远？ 【答案】(1) 根据题意，作图如下， (2) 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查数轴的运用， （1）根据数轴的特点，邮局为原点，以向北方向为正方向，用表示，作图即可； （2）根据数轴的特点，运用有理数加减运算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据数轴特点可得，村距离邮局． 9．给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． 先画出数轴，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】略 10．如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】解：由数轴可知，覆盖的点在到之间，只有选项B的符合． 11．如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键． 把每段的整数写出来即可得到答案． 【详解】解：由数轴每段的端点可以得到： 段①的整数为， 段②的整数为，， 段③的整数为， 段④的整数为， 故选B． 12．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（　　） A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴上线段与整点的数量关系，解题的关键是分线段端点是否落在整点上两种情况讨论，避免遗漏其中一种可能性． 当线段的两个端点均在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度加1；当线段的两个端点均不在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度；结合线段长为，可得出盖住的整点个数为2023或2024． 【详解】解：分两种情况讨论线段与整点的位置关系： 情况一：若线段的两个端点均落在整点上． ∵数轴单位长度为，线段长， ∴盖住的整点个数为线段长度加，即； 情况二：若线段的两个端点均不落在整点上． ∵端点在两个整点之间，线段长度为， ∴盖住的整点个数等于线段长度，即2023． 综上，线段盖住的整点个数是2023或2024， 故选：A． 13．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的规律探究 【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示的点重合的数字起，每个单位长度即为一个周期，计算到数轴上表示的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【详解】解：如图所示，每个单位长度即为一个周期， ∵数字的点与数轴上表示的点重合， ∴数字的点与数轴上表示的点重合， ∵， ∴为从数字0和数轴上表示的点重合起，第个周期后的第一个数， 即． 故答案为：． 14．下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有_____个． 【答案】2 【知识点】实数与数轴、用数轴上的点表示有理数、数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线，以及数轴的意义逐一分析可得答案．本题考查了数轴，注意数轴上的点与实数一一对应． 【详解】解：数轴上的点与实数一一对应，故①⑥是错误的； 数轴是一条直线的说法正确；故②是错误的； 数轴上的一个点只能表示一个数；故③是正确的； 数轴也可以箭头竖直向上画；故④是正确的； ⑤数轴上既不表示正数，又不表示负数的点是0，故⑤是错误； 故正确的说法有2个． 故答案为：2． 15．我们把规定了______________、______________、______________的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是______________数，原点右边的点表示的数都是______________数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 【答案】 原点 正方向 单位长度 负 正 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴的定义即可求解． 【详解】我们把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是负数，原点右边的点表示的数都是正数． 故答案为：原点，正方向，单位长度，负，正． 【点睛】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键． 16．如图，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆的周长为个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上数字，，）．先让原点与圆周上数字所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上，，，，所对应的点分别与圆周上数字，，，，所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． (1)若圆周上的数字与数轴上的对应，则 (2)若数轴绕圆周圈后，数轴上的一个整数所对应的点刚好落在圆周上数字所对应的点的位置，求这个整数． 【答案】(1)2 (2)298 【知识点】数字类规律探索、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查的是规律型：数字的变化类，数轴的特点，先根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据被3除余2的数与2重合求解即可． （2）找规律可知：被3整除的数与0重合，被3除余1的数与1重合，被3除余2的数与2重合，若数轴绕过圆周99圈后，数轴上的一个整数点刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则与1重合的数可表示为． 【详解】（1）解：， ∴圆周上的数字与数轴上的对应，则， 故答案为：2； （2）解：数轴绕过圆周99圈后，一个整数点落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是． 17．如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的方法． （1）根据正方形的边长，即可得到点第一次落在数轴上表示的数； （2）根据正方形的周长，即可得到点第五次落在数轴上表示的数； （3）根据题意求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，点与原点重合， ∴点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵正方形的边长为，点与原点重合，点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， ∴点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （3）解：由（2）知点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 此时，点在点的正上方，点所表示的数是，即， ∴以点、、三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 18．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．    (1)当时，点Q到原点O的距离为_______________； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)2或6 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了动点在数轴上的运动，正确分析题意并分类讨论，是解题的关键． （1）当时，先计算，小于8，则用8减去即可得； （2）当时，点运动的距离大于8，则用点运动的数值减去8即可； （3）当点到原点的距离为4时，分两种情况：向左运动时，向右运动时，分别计算即可． 【详解】（1）解：当时， 点到原点的距离为6； （2）当时，点运动的距离为 点到原点的距离为2； （3）当点到原点的距离为4时， 向左运动时，，则 ； 向右运动时 运动的距离是 运动时间 点到原点的距离为2或6． 19．李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答． (1)知识回顾 如图1，数轴上有一个表示数a的点M，已知点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么a的值是 ；    (2)探究迁移 如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数为24；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为6（单位：cm）．利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺的长；    (3)拓展应用 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁了！”请你利用（2）的方法，请直接写出小明和爷爷的年龄． 【答案】(1)2 (2)A点表示的数为12，B点表示的数，18， (3)小明12岁，爷爷64岁 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了数轴上的动点，两点间的距离，理解题意，数形结合分析问题是解题关键． （1）根据右加左减的规律求解即可； （2）由题意可知，B点到24的距离、的距离、A点到6的距离相等，由线段图可求的长； （3）仿照（2）画出图，可知爷爷和小明的年龄差为：岁进而可求出小明和爷爷的年龄． 【详解】（1）∵点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5， ∴． 故答案为：2； （2）由题意可知，B点到24的距离、的距离、A点到6的距离相等， ∴， ∴A点表示的数为， B点表示的数为； （3）如图：    爷爷和小明的年龄差为：（岁）， ∴爷爷的年龄为（岁）， 小明的年龄为（岁）， ∴小明12岁，爷爷64岁． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 数轴 必备知识 知识点01 数轴的定义及画法 1. 数轴的定义及三要素： （1）规定了 正方向 、 原点 、 单位长度 的用来表示数的直线叫做数轴。图示如下： （2）数轴的三要素： 原点 、 正方向 、 单位长度 是数轴的三要素，在画数轴的时候三要素缺一不可。一般情况下规定 向右 为正方向。单位长度视情况选择大小，同一个数轴的 单位长度 一定要统一。 2. 数轴的画法： ①画 直线 ；②定 原点 ；③定 正方向 ；④取 单位长度 。 知识点02 数轴与有理数的关系 1. 数轴与有理数的关系： ①数轴上的点与有理数之间的关系是 一一对应 关系。即一个有理数在数轴上只能找到 1 个 点来表示它。数轴上一个点也只能表示 1 个有理数。 ②表示正数的点在数轴上的位置一定在原点 右侧 ，表示负数的点一定在原点的 左侧 。数轴上右边的数一定比数轴左边的数 大 。 知识点03 数轴上常见的模型 模型 图形 关系 两点间的距离 动点P到两点的距离之和的最小值 ， 最小值为 点的左右平移 左减右加 数轴上翻转 找出循环规律，等边三角形的循环次数是3，正方形的循环次数是4， 数轴折叠 若点是折叠后的重合点，对折点为，则，或者： 目录 题型01 数轴识图与数的大小比较 题型02 数轴与绝对值几何意义最值 题型03 数轴动点 题型04 数轴翻折 题型05 数轴动态与代数式综合 题型06 数轴动态与整式加减 题型07 数轴动态与一元一次方程综合 题型08 数轴旋转与动态新定义 题型09 数轴上两点之间的距离综合 题型10 数轴上点运动规律探究 题型11 数轴上的双动点问题 题型12 数轴上的多动点问题 题型13 A组 基础巩固 题型14 B组 拔高提升 题型15 C组 思维拓展 典例精析 题型01 数轴识图与数的大小比较 【典例1】下列数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 数轴与绝对值几何意义最值 【典例2】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 题型03 数轴动点 【典例3】【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【变式3-1】一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 题型04 数轴翻折 【典例4】数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究： (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合： ①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与_________表示的点重合； ③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值． 【变式4-1】数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题： (1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示． (2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． (3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？ ②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 题型05 数轴动态与代数式综合 【典例5】数轴的概念最早由法国数学家勒内·笛卡尔在其对数学的研究中系统引入．在此之前，数学家们对“数”的理解多停留在抽象的运算层面，缺乏直观的几何表示数轴的出现，将数与几何图形（直线上的点）紧密结合，开创了“数形结合”的数学思想方法． 如图所示数轴上，点A，B，C分别表示的数字为，4，1． 【知识应用】（1）若数轴上有一点，满足到，两点距离相等，则点表示的数是____； 【初步分析】（2）将数轴折叠后，点与点重合，点与点重合，则点表示的数是______； 【深入探究】（3）①当对折点为点时，与点重合的点表示的数为______； 此时，对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为______；（用代数式表示） ②当对折点为之间任意一点，且它表示的数为时，左侧表示数的点与右侧表示数_____的点重合．（用代数式表示） 【变式5-1】（25-26七年级上·山西晋城·期中）综合与探究 【基础探究】 （1）如图1，已知点，分别为数轴上的两点，点在点的右边，点对应的数是，点对应的数是．点是数轴上和之间的一动点，点对应的数是． 两点之间的距离是___________；两点之间的距离是___________．（用含的代数式表示） ②若，点到，两点的距离相等，则的值为____________． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，点在移动的过程中，点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等，试判断两点之间的距离是不是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点和点在，两点之间（点在点的右边，点在点的右边），两点之间的距离是，两点之间的距离是，点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等，求两点之间的距离（用含和的代数式表示）． 题型06 数轴动态与整式加减 【典例6】如图1，数轴上点表示的数是，点表示的数是，点到点的距离记为，且的大小可以用数轴上位于右边的点表示的数减去位于左边的点表示的数，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中点位于原点左侧且距离原点3个单位长度，是最大的负整数，是整式的次数． (1)_______，_______，_______． (2)若将数轴沿某点向右折叠，使得点与点重合，则点与数______对应的点重合． (3)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点，分别从点，出发，分别以每秒2个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒．当时，求的值． 【变式6-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）问题背景：如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 实践操作：甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 （1）从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是_______，________； （2）第三局结束时黑棋在数轴上的位置所对应的数为_______，此时，黑棋和白棋间的距离为________个单位长度； （3）若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是___________，在前四局中，数轴上黑棋和白棋间的最小距离为___________个单位长度． 迁移拓展：在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动3个单位，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位，同时乙将白棋向左移动3个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． （4）游戏开始时，黑白棋子间的距离表示为___________；若甲赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若乙赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若平局，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；进行若干局后，若，两棋能否正好相遇，直接写出所需的最少局数___________．（不需要说明理由） 题型07 数轴动态与一元一次方程综合 【典例7】兴化千垛景区以油菜花田闻名，有一条笔直的观光道路，可以视为数轴．在数轴上，点表示景区入口，点、、分别表示三个油菜花田的入口，其对应的数分别为、1、3（单位：千米）．三个花田的油菜籽产量（单位：千公斤）分别为：田2千公斤，田2千公斤，田3千公斤．现计划在道路上设置一个油菜籽收集站，其位置对应的数为．运输成本为每千米每千公斤1元（即每运输1千公斤油菜籽经过1千米距离，成本为1元） 根据以上信息，结合数轴知识，解决以下问题： 【问题探究】 （1）若将数轴折叠，使点与点重合． ①则点与数______表示的点重合； ②若数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数． 【举一反三】 （2）点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、的距离之和为10，求的值； ②若点到点、、的距离之和最小，则______． 【问题解决】 （3）为了降低运输成本，收集站应建在何处（即为多少）才能使总运输成本最低？最低成本是多少？ 【变式7-1】【问题提出】在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决： 若将数轴折叠，使与表示的点重合． （1）则表示的点与数________表示的点重合； 【反思生疑】解决这个问题后，有同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转，得到了如图的“新数轴”： 又有同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴”吧！ （2）在这个“新数轴”上，________，________，点与点之间的距离为________； （3）在这个“新数轴”上，若点从出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，经过多少秒，点与点的距离是点与点的距离的倍？此时，点在“新数轴”上对应的数是多少？ 题型08 数轴旋转与动态新定义 【典例8】如图1和图2，数轴与交于公共原点O，点M，N在数轴上且表示的数分别为3和，点P 在数轴上，且初始状态下， (1)如图1，若线段中点为A，求点A在数轴上表示的数； (2)如图1，若点P在数轴上表示的数是6，将数轴绕点O旋转过程中，当数轴 经过点N时，直接写出点N在数轴上表示的数为多少？ (3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到将O绕点O逆时针旋转 得到 其中，在整个旋转过程中，当被数轴或平分时，直接写出所有符合条件的值． 【变式8-1】操作发现． 操作一：如图1，已知数轴上点、所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点，此时数轴上点所表示的数为4，我们称点是点关于点的映射点； 记作：或； 操作二：如图3，已知点和线段，将点、绕同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)借助图1、图2、图3理解，直接填空：，；________； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点在运动过程中，线段的长度是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，点B与点D的距离为1时，求a的值． 题型09 数轴上两点之间的距离综合 【典例9】已知点，，，…，（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点与所表示的数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】如图，过数轴上表示1的点作数轴的垂线，过数轴上表示2的点作数轴的垂线，过数轴上表示3的点作数轴的垂线，…．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，…，则表示的数为 ． 题型10 数轴上点运动规律探究 【典例10】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【变式10-1】如图，在数轴上，、P两点表示的数分别是1、2，、关于点O对称，、关于点P对称，、关于点O对称，、关于点P对称……依此规律，则点表示的数是 ． 题型11 数轴上的双动点问题 【典例11】已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 【变式11-1】如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为 ． 题型12 数轴上的多动点问题 【典例12】在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（    ） ①当时，； ②当时，若a为奇数，且，则或5； ③若，，则； ④当，时，将点B水平右移3个单位至点，再将点水平右移3个单位至点，以此类推，…且满足，则数轴上与对应的点表示的数为． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-1】如图，一条数轴上点A表示，点B表示10，点C表示20．动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）当 秒时，点P运动到O点． （2）当 秒时，． 1．下列各数在数轴上对应的点到原点的距离大于3的是（    ） A．2 B．3 C． D． 2．表示数的点，沿数轴移动6个单位后到达点，则点表示的数为（    ） A． B．4 C．4或 D． 3．等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（    ） A．2017 B．2016 C．2015 D．2014 4．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 6．下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有______个． 7．在数轴上表示的点与原点的距离是___________；在数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是___________． 8．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行到达村，继续向南骑行到达村，然后向北骑行到村，最后骑到邮局． (1)以邮局为原点，以向北方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示出三个村庄位置的点； (2)村距离邮局多远？ 9．给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 10．如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 12．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（　　） A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023 13．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 14．下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有_____个． 15．我们把规定了______________、______________、______________的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是______________数，原点右边的点表示的数都是______________数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 16．如图，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆的周长为个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上数字，，）．先让原点与圆周上数字所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上，，，，所对应的点分别与圆周上数字，，，，所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． (1)若圆周上的数字与数轴上的对应，则 (2)若数轴绕圆周圈后，数轴上的一个整数所对应的点刚好落在圆周上数字所对应的点的位置，求这个整数． 17．如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 18．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．    (1)当时，点Q到原点O的距离为_______________； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 19．李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答． (1)知识回顾 如图1，数轴上有一个表示数a的点M，已知点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么a的值是 ；    (2)探究迁移 如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数为24；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为6（单位：cm）．利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺的长；    (3)拓展应用 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁了！”请你利用（2）的方法，请直接写出小明和爷爷的年龄． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $