13.3.2 三角形的外角 导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形外角的定义、性质及外角和，通过前置补偿复习内角和与平角知识衔接旧知，以“定义识别→相邻不相邻内角区分→性质推导→外角和探究”的自学步骤搭建学习支架，引导学生逐步掌握核心内容。 导学案通过小组合作推导外角性质培养推理能力，结合图形观察发展几何直观，规范证明步骤提升数学语言表达。分层作业设计满足不同学生需求，易错警示强化概念理解，有效促进学生逻辑推理与创新意识的发展。

13.3.2 三角形的外角 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 理解三角形外角的定义，能够准确识别三角形的外角，区分外角对应的相邻内角、不相邻内角。 2. 掌握三角形外角的两条性质：三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，会书写简单几何推理。 3. 掌握三角形外角和等于 360°，能运用外角性质完成计算、简单证明，提升识图与逻辑推理素养。 学习重点：三角形外角的性质，外角相关计算与证明。 学习难点：分清外角的相邻与不相邻内角；几何证明步骤规范书写。 【前置补偿】 1. 三角形内角和等于________。 2. 平角的度数为________。 3. 在△ABC 中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C=________。 【学生自学】 阅读课本，了解探究顺序： ①引入：什么是三角形的外角； ②探究一：结合课本图形认识外角，分清相邻内角、不相邻内角； ③探究二：推导三角形外角的两条性质； ④探究三：课本例 4，求三角形三个外角的和； 探究一：三角形外角的定义 定义：如上图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的________组成的角，叫作三角形的外角。 思考： ①三角形的一个外角，对应____个相邻内角，____个不相邻内角。 ②一个三角形一共有____个外角，每个顶点处有____个外角。 辨一辨：判断一个角是不是三角形外角的两个条件：一是一边是三角形的边，二是另一边是这条边的________。 探究二：三角形外角的性质 在△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的外角。 ∠ACB= ，∠ACD= 。 推广猜想：任意△ABC中，∠ACD 和∠A、∠B 的数量关系：________________。 小组合作推导证明： 已知：∠ACD 是△ABC 的外角。 求证：∠ACD=∠A+∠B 证明： ∵ ∠A+∠B+∠ACB= （理由： ） ∠ACD+∠ACB= （平角定义） ∴ ∠ACD=________________。 性质 1：三角形的外角等于________________________________。 性质 2（推论）：三角形的外角________任意一个与它不相邻的内角。 探究三：三角形外角和 例4：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，求这三个外角的和。 解：∵ ∠BAE= + ∠CBF= + ∠ACD= + （理由： ） ∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2( + + ) =2× °（三角形内角和） =________。 归纳：三角形的三个外角的和等于________。 【自学小测】 1. 三角形一个外角是 110°，和它相邻的内角等于________。 2. 判断对错 (1) 三角形的外角大于三角形的任意一个内角。（） (2) 三角形的外角等于两个内角的和。（） 【合作学习，课堂研讨】 1. “三角形的外角等于两个内角的和” 这句话是否正确？缺少哪几个关键字？ 2. 三角形外角和是 360°，是不是指三角形 6 个外角相加？说明理由。 3. 在做角度计算时，什么时候优先选用外角性质，什么时候用内角和定理？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 外角性质完整表述：外角等于与它不相邻的两个内角的和，“不相邻” 三个字不能省略。 2. 外角大于的仅仅是不相邻的两个内角，外角不一定大于和它相邻的内角。 3. 三角形外角和：指每个顶点取一个外角，一共 3 个外角相加等于 360°，不是 6 个外角总和。 4. 做题可以灵活选择：能用外角直接计算就用外角性质，不能则回到三角形内角和定理。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1. 课本探究路径：认识外角定义→区分相邻、不相邻内角→推导出外角两条性质→课本例 4 求三角形外角和。 2. 核心知识点： ①外角定义：三角形一边与另一边延长线组成的角； ②性质：外角等于与它不相邻两内角之和；外角大于任意一个不相邻内角； ③三角形外角和等于 360°。 数学思想：转化思想，几何直观，推理归纳。 【课内自测】 1. 三角形一个外角为 135°，其中一个不相邻内角是 55°，则另一个不相邻内角为________。 2. 在△ABC 中，∠A=50°，∠B=40°，则与∠C 相邻的外角等于________。 3. 三角形三个外角之比 2∶3∶4，则三角形三个内角之比为________。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1. 求出下列各图中∠1和∠2的度数。 2. 已知，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°。求∠B 和∠C 的度数。 B 组【能力提升】 3. 如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 上一点，∠A=62°， ∠ACD=35°，∠ABE=20°。求∠BDC 和∠BFD 的度数。 4. 一个三角形的两个外角分别是 120°，105°，求这个三角形三个内角的度数。 C 组【拓广探索・培优】 5. 如图，CE 是△ACD 的外角平分线，CE 交 BA 延长线于点 E。 求证：∠BAC=∠B+2∠E。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.2 三角形的外角 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 理解三角形外角的定义，能够准确识别三角形的外角，区分外角对应的相邻内角、不相邻内角。 2. 掌握三角形外角的两条性质：三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，会书写简单几何推理。 3. 掌握三角形外角和等于 360°，能运用外角性质完成计算、简单证明，提升识图与逻辑推理素养。 学习重点：三角形外角的性质，外角相关计算与证明。 学习难点：分清外角的相邻与不相邻内角；几何证明步骤规范书写。 【前置补偿】 三角形内角和等于 180°。 平角的度数为 180°。 在△ABC 中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C=75°。 【学生自学】 阅读课本，了解探究顺序： ①引入：什么是三角形的外角； ②探究一：结合课本图形认识外角，分清相邻内角、不相邻内角； ③探究二：推导三角形外角的两条性质； ④探究三：课本例 4，求三角形三个外角的和； ⑤课本练习，巩固外角性质的计算。 探究一：三角形外角的定义 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。 思考： ①三角形的一个外角，对应 1 个相邻内角，2 个不相邻内角。 ②一个三角形一共有 6 个外角，每个顶点处有 2 个外角。 辨一辨：判断一个角是不是三角形外角的两个条件：一是一边是三角形的边，二是另一边是这条边的延长线。 探究二：三角形外角的性质 探究：在△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的外角。 ∠ACB=50°，∠ACD=130°。 猜想∠ACD 和∠A、∠B 的数量关系：∠ACD=∠A+∠B。 小组合作推导证明： 已知：∠ACD 是△ABC 的外角。 求证：∠ACD=∠A+∠B 证明： ∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理） ∠ACD+∠ACB=180°（平角定义） ∴ ∠ACD=∠A+∠B。 性质 1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 性质 2（推论）：三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。 探究三：三角形外角和 题目：∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，求这三个外角的和。 解： ∵ ∠BAE=∠ABC+∠ACB ∠CBF=∠BAC+∠ACB ∠ACD=∠BAC+∠ABC（三角形外角等于与它不相邻两内角的和） ∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC) =2×180°=360°。 归纳：三角形的三个外角的和等于 360°。 【自学小测】 三角形一个外角是 110°，和它相邻的内角等于 70°。 判断对错 (1) 三角形的外角大于三角形的任意一个内角。（×） (2) 三角形的外角等于两个内角的和。（×） 【合作学习，课堂研讨】 1.“三角形的外角等于两个内角的和” 这句话是否正确？缺少哪几个关键字？ 答：不正确，缺少 “与它不相邻”。 2.三角形外角和是 360°，是不是指三角形 6 个外角相加？说明理由。 答：不是；外角和规定：每个顶点只取一个外角，一共 3 个外角相加等于 360°。 3.在做角度计算时，什么时候优先选用外角性质，什么时候用内角和定理？ 答：已知外角求内角或者已知不相邻内角求外角，优先用外角性质；条件不足时回到三角形内角和定理。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1.外角性质完整表述：外角等于与它不相邻的两个内角的和，“不相邻” 三个字不能省略。 2.外角大于的仅仅是不相邻的两个内角，外角不一定大于和它相邻的内角。 三角形外角和：指每个顶点取一个外角，一共 3 个外角相加等于 360°，不是 6 个外角总和。 3.做题可以灵活选择：能用外角直接计算就用外角性质，不能则回到三角形内角和定理。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1.课本探究路径：认识外角定义→区分相邻、不相邻内角→推导出外角两条性质→课本例 4 求三角形外角和 2.核心知识点： ①外角定义：三角形一边与另一边延长线组成的角； ②性质：外角等于与它不相邻两内角之和；外角大于任意一个不相邻内角； ③三角形外角和等于 360°。 3.数学思想：转化思想，几何直观，推理归纳。 【课内自测】 1.三角形一个外角为 135°，其中一个不相邻内角是 55°，则另一个不相邻内角为 80°。 2.在△ABC 中，∠A=50°，∠B=40°，则与∠C 相邻的外角等于 90°。 3.三角形三个外角之比 2∶3∶4，则三角形三个内角之比为 5:3:1。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1.求出图中∠1和∠2的值 略。 2.D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°。求∠B 和∠C 的度数。【课本练习原题】 解：∵∠ADC 是△ABD 外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD ∵∠B=∠BAD，∴2∠B=80°，∠B=40° ∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−40°−70°=70° 答：∠B=40°，∠C=70°。 B 组【能力提升】 3.在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 上一点，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°。求∠BDC 和∠BFD 的度数。 解：∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97° ∠BFD=180°−∠ABE−∠BDC=180°−20°−97°=63° 答：∠BDC=97°，∠BFD=63°。 4.一个三角形的两个外角分别是 120°，105°，求这个三角形三个内角的度数。 解：180°-120°=60°，180°-105°=75° 第三个内角：180°-60°-75°=45° 答：三个内角：60°、75°、45°。 C 组【拓广探索・培优】 5.如图，CE 是△ACD 的外角平分线，CE 交 BA 延长线于点 E。求证：∠BAC=∠B+2∠E。 证明： ∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD=∠B+∠BAC。 ∵CE 平分∠ACD， ∴∠ACE=1/2∠ACD。 又∵∠BAC 是△ACE 的外角， ∴∠BAC=∠E+∠ACE。 代入得 ∠BAC=∠E+1/2 (∠B+∠BAC) 两边同乘 2： 2∠BAC=2∠E+∠B+∠BAC 化简得：∠BAC=∠B+2∠E，得证。 学科网（北京）股份有限公司 $