13.3.2 三角形的外角 暑期预习导学案 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

13.3.2 三角形的外角 一、学习目标 1、理解三角形外角的定义，能在复杂图形中准确识别外角，分清相邻内角、不相邻内角； 2、熟记三角形外角的两条性质，会规范书写对应的几何符号语言； 3、掌握三角形外角和等于 360° 的结论，熟练利用外角性质计算角度； 4、能够结合角平分线、平行线，综合运用外角定理解决几何计算题与简单证明题。 5、通过邻补角、内角和推导外角性质，学会在图形中拆分外角模型；掌握 “外角代换法”，简化角度计算，培养识图能力。 6、区分外角中 “相邻” 和 “不相邻” 的内角，规避概念误区；规范几何推理步骤，学会利用外角比较角的大小，建立模型化解题思维。 二、学习重难点 重点：三角形外角的性质（外角等于不相邻两内角之和）；利用外角进行角度计算；外角和 360° 的应用 难点：在组合图形中找准外角；区分相邻内角与不相邻内角；外角定理与角平分线的综合题型推理 三、学法指导 1、牢记外角三要素：顶点在三角形顶点、一边为三角形的边、另一边是边长的延长线； 2、做题先标注：哪个角是外角，谁和它相邻，哪两个角不相邻； 3、几何书写必须写明：“某某角是三角形的外角” 这个依据； 4、遇到 “飞镖型、八字型” 图形，优先使用外角性质解题。 第一部分：课前自主预习 （一）旧知回顾 1、互为邻补角的两个角之和等于180°； 2、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 （二）新知自学填空 知识点 1：三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。 外角满足三个条件： ① 顶点是三角形的顶点； ② 一条边是三角形本身的边； ③ 另一条边是三角形边的延长线。 补充规律： 1、三角形每一个顶点可以作出 2 个外角，互为对顶角，角度相等； 2、一个三角形一共有 6 个外角；我们选取每个顶点各一个，这三个外角的总和是 360°； 3、外角和它挨着的那个内角互为邻补角：∠ACD + ∠ACB = 180°。 知识点 2：三角形外角的两条核心性质（内角和定理的推论，可以直接当定理使用） 性质 1（计算常用）：三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和。 标准几何语言： ∵ ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴ ∠ACD = ∠A + ∠B 性质 2（比较大小用）：三角形的一个外角，大于任意一个和它不相邻的内角。 几何语言：∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B 知识点 3：三角形外角和定理 三角形所有外角（每个顶点取一个）相加，外角和恒等于 360°，跟三角形的形状大小无关。 第二部分：课堂合作探究 探究活动 1：概念辨析（判断对错，并写明理由） 1、只要在三角形外面的角，就是三角形的外角。（ ） 理由： 2、三角形的一个外角，等于任意两个内角相加。（ ） 理由： 3、三角形的外角和是 180°。（ ） 理由： 4、三角形的外角一定大于三角形里面任意一个内角。（ ） 理由： 探究活动 2：性质推导证明（课本标准证法） 已知：∠ACD 是△ABC 的外角 求证：∠ACD = ∠A + ∠B 证明： ∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角的定义） 又∵ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理） ∴ ∠ACD = ∠A + ∠B（同角的补角相等） 探究活动 3：例题精讲 例题 1：在△ABC 中，∠A=40°，∠B=55°，求外角∠ACD 的度数。 规范解题格式： 解：∵ ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴ ∠ACD=∠A+∠B=40°+55°=95° 例题 2：△ABC 中，CE 平分外角∠ACD，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E 的度数。 解题思路：连续两次使用外角性质，结合角平分线等量代换。 小组总结解题口诀 外角认准延长边，不邻两角加起来； 邻角互补一百八，外角总和三六零； 复杂图形找外角，简化计算最方便。 第三部分：课堂小结、易错点归纳 本节课知识框架 外角的定义（三要素）→ 外角与邻角互补 → 两大性质（求和、比较大小）→ 三角形外角和 360° → 综合计算与证明 高频易错点（牢记） 1、做题经常漏掉 “不相邻” 三个字，错误地把相邻内角算进去； 2、随便把三角形外侧的角当成外角，忽略 “一边延长线” 这个必要条件； 3、书写几何过程，不说明这个角是某个三角形的外角，缺少推理依据； 4、混淆概念：内角和固定 180°，外角和固定 360°，不能记反。 课后作业布置 1、教材课后习题，严格书写几何步骤； 2、自行画出三角形，标出内角、相邻外角、不相邻的两个内角； 3、整理内角和、外角的所有推论，梳理笔记； 4、预习本章小结，梳理整章三角形的知识点。 同步作业 一．选择题 1．将一副三角板按题5图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．70° D．105° 2．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β 3．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　） A．35° B．95° C．85° D．75° 4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 6．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（　　） A．180° B．210° C．360° D．270° 7．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 8．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 9．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 10．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 二．填空题 1．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，点E，F分别在边AC，BC上，若∠1+∠2＝220°，则∠ACD等于　 　 °． 2．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠A＝∠B，∠ACD＝60°，则∠A＝　 　 °． 3．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　 °． 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论： ①AD∥BC； ②∠ACB＝∠ADB； ③∠ADC+∠ABD＝90°； ④，其中正确的结论有　 　 ． 5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　 　 度． 三．解答题 1．已知：在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝∠C． （1）如图1，∠BAC的平分线与BC，BD分别交于点E，F．求证：∠BFE＝∠BEF； （2）如图2，∠GAC为△ABC的一个外角，∠GAC的平分线与直线BD交于点H．判断∠HBC与∠H的数量关系，并说明理由． 2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠ACD＝140°，∠B＝40°，求∠E的大小； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 3．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 4．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明） （3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：∵∠2＝45°，∠3＝60°， ∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°， ∵直尺的对边平行， ∴∠1＝∠4＝75°． 故选：B． 2．【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'， ∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'， ∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ， ∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β， 故选：A． 3．【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°， ∴∠ACD＝2∠ACE＝120°， ∵∠ACD＝∠B+∠A， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°， 故选：C． 4．【解答】解：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°， ∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°， ∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°， 整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P∠ACD＝∠A∠ABD， 即∠P＝50°（∠ACD﹣∠ABD）＝20°． 故选：B． 5．【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， （∠ACD﹣∠ABC） ∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠1） ＝90°∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO∠ACB，∠ACEACD， ∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 6．【解答】解：∠α＝∠1+∠D， ∠β＝∠4+∠F， ∴∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F ＝∠2+∠D+∠3+∠F ＝∠2+∠3+30°+90° ＝210°， 故选：B． 7．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°， ∴∠1＝∠A＝70°， ∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°， ∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°． 故选：A． 8．【解答】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°； ②如图2，当∠ACD＝90°时， ∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°， 综上，∠BCD的度数为60°或10°， 故选：D． 9．【解答】解：连接BC，如图所示， ∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°， ∵∠D+∠E＝∠1+∠2， ∴∠D+∠E＝50°， 故选：C． 10．【解答】解：如图： ∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°， ∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∵HF∥BC， ∴∠1＝∠2＝75°， 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：∵在△ABC中，点E，F分别在边AC，BC上， ∴∠A+∠1+∠2+∠B＝360°， ∵∠1+∠2＝220°， ∴∠A+∠B＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣220°＝140°， ∵∠ACD为△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A+∠B＝140°， 故答案为：140． 2．【解答】解：∵∠A+∠B＝∠ACD＝60°，∠A＝∠B， ∴∠A∠ACD＝30°． 故答案为：30． 3．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 4．【解答】解：①∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， 故①正确； ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC， ∴∠ACB＝2∠ADB， 故②错误； ③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB ∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°， ∴∠ADC+∠ABD＝90°， 故③正确； ④∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC，∠DCF＝∠ADC， ∵∠ADC+∠ABD＝90°， ∴∠DCF＝90°∠ABC＝∠DBC+∠BDC， ∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC， ∴∠ADB＝∠DBC＝45°∠BDC， 故④正确； 故答案为：①③④． 5．【解答】解：如图连接CE， 根据三角形的外角性质得∠1＝∠A+∠B＝∠2+∠3， 在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED＝180°， ∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED＝180°． 三．解答题 1．【解答】（1）证明：∵∠BFE是△ABF的外角， ∴∠BFE＝∠ABF+∠BAF， ∵∠BEF是△AEC的外角， ∴∠BEF＝∠C+∠CAE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， 又∵∠ABF＝∠ABD，且∠ABD＝∠C， ∴∠ABF＝∠C， ∴∠BFE＝∠C+∠CAE， ∴∠BFE＝∠BEF； （2）解：∠HBC＝2∠H，理由如下： ∵∠GAC是△ABC的外角， ∴∠GAC＝∠ABC+∠C， ∵AH平分∠GAC， ∴∠GAB∠GAC（∠ABC+∠C）， ∵∠GAB是△ABH的外角， ∴∠GAB＝∠H+∠ABH， ∴∠H＝∠GAB﹣∠ABH， ∵∠ABH＝∠ABD＝∠C， ∴∠H（∠ABC+∠C）﹣∠C（∠ABC﹣∠C）， ∵∠HBC＝∠ABC﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠C， ∴∠H∠HBC， 即∠HBC＝2∠H． 2．【解答】（1）解：∵CE平分∠ACD，∠ACD＝140°， ∴， 又∵∠B＝40°，∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠E＝∠ECD﹣∠B＝70°﹣40°＝30°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE． ∵∠DCE＝∠B+∠E， ∴∠ACE＝∠B+∠E． ∵∠BAC＝∠ACE+∠E， ∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E． 3．【解答】（1）解：∵∠A＝80°． ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°100°＝130°， （2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB） （360°﹣∠ABC﹣∠ACB） （180°+∠A） ＝90°∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ∠ABC∠MBC （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ③∠Q＝2∠E，则90°∠A＝∠A，解得∠A＝60°； ④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°∠A），解得∠A＝120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 4．【解答】解：（1）不成立．结论是∠BPD＝∠B+∠D 延长BP交CD于点E， ∵AB∥CD ∴∠B＝∠BED 又∵∠BPD＝∠BED+∠D， ∴∠BPD＝∠B+∠D． （2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D． （3）连接EG并延长， 根据三角形的外角性质，∠AGB＝∠A+∠B+∠E， 又∵∠AGB＝∠CGF， 在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°． 学科网（北京）股份有限公司 $