第二十章 二次根式 专题复习 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学讲义以“定义-性质-运算-应用”为主线构建二次根式知识体系，通过知识框架图呈现定义判定、双重非负性、最简根式等核心要点，清晰梳理性质与运算的内在逻辑，突出分母有理化、混合计算等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，如“利用数轴化简二次根式”题型结合几何直观培养抽象能力，“分母有理化阅读材料题”渗透推理意识。基础题巩固概念，拓展题如根式比较大小提升运算能力，助力不同学生进阶，为教师精准教学提供系统支持。

第一讲 二次根式 知识点一：二次根式的定义： 形如的式子叫做二次根式。 判断一个式子是不是二次根式，关键看两点：第一，看外貌--；第二，看内核--被开方数。 只有被开方数为非负数，二次根式才有意义。 题型一：二次根式的判定 例1．在式子，，，，中，是二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．在式子，，，(),和 中，是二次根式的有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式练习 1．对（），下面几种说法：（1） 是二次根式；（2） 是非负数的算术平方根；（3） 是非负数；（4） 是的平方根；其中正确的说法有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．以上都不对 2．下列各式中，一定是二次根式的是(       ) A． B． C． D． 3．下列式子是二次根式的有（ ） ① ；② （a≥0）；③ （m，n同号且n≠0）；④ ；⑤ ． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二：二次根式有意义 有意义：① ② ③ 例1．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 变式练习 1．在中，x的取值范围为______． 例2．若，则的值为 _______． 变式练习 1． 已知，求的值． 2． 已知x、y都为有理数，且，求的平方根． 3．已知实数，，满足，求的值． 例3．若，则______． 变式练习 1．【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2) 若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 知识点二：二次根式的性质 题型一：二次根式的双重非负性 例1． 若，求的值. 例2． 已知|a＋5|＋|b＋2|＋(c－3)2＝0，求ab－bc＋ca的值 变式练习 1． 若++=0，求的值． 2． 已知：＋（2x﹣y）2＝0，求代数式的值． 3． 已知，求代数式 题型二：二次根式的性质2 例1．计算：_______；________． 例2．化简的结果是______． 变式练习 1．计算：__________． 2．计算：=______；=______． 3．计算：（1）________；（2）________． 题型三：二次根式的性质3 例1．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 例2．如图，实数，在数轴上，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 变式练习 1．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 2．实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ）． A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A．﹣2b B．﹣2a C．2（b﹣a） D．0 4．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）    A．﹣b B．b﹣2a C．2a﹣b D．﹣2a﹣b 例3．把中根号外的移入根号内得________． 例4．把 中根号外面的因式移到根号内的结果是 ． 变式练习 1．把根号外的因式移到根号内结果为______． 2．将根号外的因式移到根号内得______． 3．把根号外的因式移到根号内，则得________． 4．把的根号外的因式移到根号内等于 ． 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式． 满足三个条件：①根号中不含开根开得尽的因数或者因式； ②根号中不含分母和小数； ③分母中不含根号； 2、 同类二次根式（可合并根式）：化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式. 可以合并的同类二次根式必须同时满足：①是最简二次根式；②被开方数相同. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1． 分母有理化： ①分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： ②分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：. 2．有理化因式： ①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。 例1．分母有理化后的值为________. 例2．化简___________． 变式练习 1．分母有理化后得__________． 2．计算的结果是__________． 3．分母有理化：______． 4．化简：（1）_____； （2）_____； （3）_____；（4）_____； （5）_____；（6）_____； （7）_____；（8）_____． 5．把化去分母中的根号后得______． 6．已知，则=________． 例3．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)计算以下式子的值：； (3) 已知整数满足，求的值． 例4．阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1) 化简：； (2) 化简：； (3) 计算：． 变式练习 1．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． (2)计算：； （3）已知，求的值． 2．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 知识点五：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 1、二次根式的乘除法则： （1） （2） 2、二次根式的加减法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并． 例1．计算： (1)； (2)． 例2．计算： （1）； （2）. 例3．计算 (1)； (2) （）． 变式练习 1． 计算： 2． 计算：． 3．计算： (1)； (2)． 3． 计算：． 5．计算： (1) (2) 6． 计算：． 7． 计算：． 8．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： (1)； (2)． 11．计算： (1) (2) 知识点六：根式比较大小 方法介绍：①估值法 ②平方法 ③作差法 ④作商法 ⑤倒数法 例1． 比较大小：_______．（填“”“”或“”） 变式练习 1．不用计算器比较大小 (1)与 (2)与 (3)与 (4)与 2．比较下列各组数中两个数的大小． （1）和；      （2）和． 3．比较大小： ①_____ ②___ 例2．已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”） (3)若，求的值． 变式练习 1．小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (3) 任务二：比较与的大小． 2．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1) 将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 二次根式 知识点一：二次根式的定义： 形如的式子叫做二次根式。 判断一个式子是不是二次根式，关键看两点：第一，看外貌--；第二，看内核--被开方数。 只有被开方数为非负数，二次根式才有意义。 题型一：二次根式的判定 例1．在式子，，，，中，是二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子判断即可. 【详解】解：是二次根式的有，，，共3个. 故选C. 【点睛】本题主要考查了二次根式的概念，识别一个式子是不是二次根式，要从表达形式上看，二次根式必须舍有二次根号“”，且被开方数大于或等于0. 例2．在式子，，，(),和 中，是二次根式的有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】对于二次根式 ，需满足a≥0，且根指数为2：例如 ，由 >0，即可判断是否为二次根式，逐一分析即可解答 【详解】结合二次根式概念，形如 (a 0)的式子叫做二次根式 可知是二次根式的有 ，，，共4个 故选B 【点睛】此题考查的是二次根式的相关知识，掌握二次根式的定义是解答此题的关键 变式练习 1．对（），下面几种说法：（1） 是二次根式；（2） 是非负数的算术平方根；（3） 是非负数；（4） 是的平方根；其中正确的说法有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．以上都不对 【详解】解：， ． （1）、（2）、（3）正确； 的平方根是，故（4）错误． 综上，正确的说法有个． 故选B 2．下列各式中，一定是二次根式的是(       ) A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A、当m＜0时，它没有意义，故本选项错误； B、当m＜-2时，它没有意义，故本选项错误； C、被开方数m2+2≥2，符合二次根式的定义，故本选项正确； D、-20＜0，它没有意义，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的定义，关键是熟悉一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 3．下列式子是二次根式的有（ ） ① ；② （a≥0）；③ （m，n同号且n≠0）；④ ；⑤ ． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据二次根式的定义可得. 【详解】① ,被开方数是负数，不是二次根式；② （a≥0），是二次根式；③ （m，n同号且n≠0），是二次根式；④ ，是二次根式；⑤ ，根指数是3，不是二次根式． 故选D 【点睛】理解二次根式的定义. 题型二：二次根式有意义 有意义：① ② ③ 例1．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【详解】解：∵且， ∴． 故选C 变式练习 1． 在中，x的取值范围为______． 且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需同时满足以下条件： 且， 解不等式，得. 解不等式，得. ∴的取值范围是且． 例2． 若，则的值为 _______． 【分析】根据二次根式被开方数为非负数得到，结合分式分母不为0确定x的取值，再代入原式求出y，最后计算的值即可. 【详解】解：由题意，，且，， ∴且， ∴， ∴， ∴. 变式练习 1． 已知，求的值． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入原式求出的值，最后代入待求式计算结果． 【详解】解：二次根式有意义要求被开方数为非负数，因此且， 解得且，得， 把代入原等式，得， 即，解得， 把，代入，得 ． 2． 已知x、y都为有理数，且，求的平方根． 【分析】先根据二次根式有意义的条件，求得的值，从而可求得，再求出的平方根． 【详解】解：∵x、y都为有理数，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 3．已知实数，，满足，求的值． 【分析】先根据二次根式被开方数非负求出，得到等式左边为0，再利用算术平方根的非负性列出方程组，将代入方程组消元，进而求出的值． 【详解】解：∵二次根式与有意义， ∴ ∴． ∴． ∴， ∴ ∵，即，代入方程组： 化简： 解得：． 例3． 若，则______． 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 变式练习 1．【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2) 若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 知识点二：二次根式的性质 题型一：二次根式的双重非负性 例1． 若，求的值. 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入求a-b+c的值． 【详解】解：因为，，，且， 所以，，， 即，，. 所以. 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 例2． 已知|a＋5|＋|b＋2|＋(c－3)2＝0，求ab－bc＋ca的值 【分析】利用非负数的性质求出a、b、c的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵|a＋5|＋|b＋2|＋(c－3)2＝0， ∴a+5=0，b+2=0，c-3=0， 解得a=-5，b=-2， c=3； 原式=（-5）×（-2）-（-2）×3+3×（-5） =10+6-15 =1． 【点睛】本题考查非负数的性质，以及有理数的乘法，关键是掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 变式练习 1． 若++=0，求的值． 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、m的值，然后代入代数式，根据有理数乘方的运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：∵++=0， ∴a+3=0，b-2=0，m-5=0， ∴a=－3，b=2，m=5， ∴=（－3+2）5=－1. 【点睛】本题考查了有理数的乘方和非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 2． 已知：＋（2x﹣y）2＝0，求代数式的值． 【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵＋（2x﹣y）2＝0，且， ∴，即， ＝＝|x﹣y|＝|5|＝5． 【点睛】本题考查利用代数式的非负性求值，初中数学常见三类非负式：平方、二次根式和绝对值，掌握非负性求值的解题方法是解决问题的关键． 3． 已知，求代数式 【分析】利用绝对值及平方与二次方根的非负性得出，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴ 【点睛】题目主要考查绝对值及平方与二次方根的非负性，求代数式的值，立方根等，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 题型二：二次根式的性质2 例1． 计算：_______；________． 【分析】利用二次根式的基本性质计算即可，用到性质和． 【详解】解： ；． 例2． 化简的结果是______． 【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 变式练习 1． 计算：__________． 【分析】根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 2． 计算：=______；=______． 【分析】根据二次根式的性质以及利用完全平方公式进行展开即可求得答案. 【详解】=3； =5-2+1=6-2， 故答案为3、6-2． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和完全平方公式． 3．计算：（1）________；（2）________． 【详解】（1）； （2） 题型三：二次根式的性质3 例1．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出对应的数的正负，以及式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，进行化简即可. 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴ . 例2．如图，实数，在数轴上，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据数轴上点的位置确定、的取值范围，进而判断、、的符号，利用绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可 【详解】解：由数轴可知：，， ，，， ． 变式练习 1．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 【分析】根据数轴上点的位置确定、的取值范围，进而判断、、的正负，利用绝对值和二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，． ，，． 原式 ． 2．实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查数轴上实数的大小关系，不等式的性质，绝对值的化简和二次根式的性质． 根据实数在数轴上的位置得到的取值范围，根据不等式的性质得到，进而根据绝对值和二次根式的运算法则计算后得到答案． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可知，，，， ， 原式． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A． ﹣2b B．﹣2a C．2（b﹣a） D．0 【详解】试题分析：由数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，所以a﹣b＜0，化简即可解答． 解：由数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1， ∴a﹣b＜0， ∴=﹣a﹣b+（a﹣b）=﹣a﹣b+a﹣b=﹣2b． 故选A． 点评：此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 4．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）    A． ﹣b B．b﹣2a C．2a﹣b D．﹣2a﹣b 【分析】直接利用数轴得出a<0，a-b<0，进而化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：a<0，a-b<0， 则原式=-a-(a-b)=b-2a， 故选：B 【点睛】本题主要考查的是绝对值和二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题的关键． 例3． 把中根号外的移入根号内得________． 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再将根号外的因式移入根号化简，注意保留符号． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 例4． 把 中根号外面的因式移到根号内的结果是 ． 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 变式练习 1． 把根号外的因式移到根号内结果为______． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出． 2． 将根号外的因式移到根号内得______． 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 3． 把根号外的因式移到根号内，则得________． 【详解】试题分析：根据题意可得：m＜0，所以. 考点：二次根式的性质与化简． 4． 把的根号外的因式移到根号内等于 ． 【详解】解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣． 故答案为． 点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键． 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式． 满足三个条件：①根号中不含开根开得尽的因数或者因式； ②根号中不含分母和小数； ③分母中不含根号； 2、 同类二次根式（可合并根式）：化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式. 可以合并的同类二次根式必须同时满足：①是最简二次根式；②被开方数相同. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1． 分母有理化： ①分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： ②分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：. 2．有理化因式： ①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。 例1． 分母有理化后的值为________. 【分析】分子、分母同时乘以进行化简即可. 【详解】=. 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式是进行分母有理化的知识基础. 例2． 化简___________． 【分析】利用二次根式的性质，将分子分母同乘以分母，化去分母中的根号即可得到化简结果． 【详解】解：． 变式练习 1． 分母有理化后得__________． 【分析】根据分数的性质：分子、分母同时乘以，计算求出结果． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题考查分数的性质，分母有理化的计算方法，根据分母得到分子、分母都乘以使分母有理化是解题的关键． 2． 计算的结果是__________． 【分析】利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 3． 分母有理化：______． 【分析】分子分母同乘以，然后进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化，平方差公式． 4．化简：（1）_____； （2）_____； （3）_____；（4）_____； （5）_____；（6）_____； （7）_____；（8）_____． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 4． 把化去分母中的根号后得______． 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式． 5． 已知，则=________． 【详解】解：∵， ∴ ． 例3．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)计算以下式子的值：； (3) 已知整数满足，求的值． 【分析】（1）由阅读材料中的定义、方法直接求解即可； （2）先对括号里各项分母有理化，再化简括号里的，最后由平方差公式计算即可； （3）将题中等式左边式子分母有理化，再由等式列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由阅读材料方法，可知， 则与互为有理化因式； ， 则将分母有理化得； （2）解： ； （3）解： ， ， 解得． 例4．阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1) 化简：； (2) 化简：； (3) 计算：． 【分析】（1）分子、分母都乘，再进行计算即可； （2）分式的分子和分母都乘，再进行计算即可； （3）先分母有理化，再根据二次根式的加减进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 变式练习 1．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． (2)计算：； （3）已知，求的值． 【分析】（1）根据材料提示分别将分母有理化即可解答； （2）分别将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可； （3）先根据完全平方公式把原式化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 2．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）给分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差公式进行分母有理化化简； （2）对每个分式分别分母有理化后，利用中间项抵消的规律简便计算； （3）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形所求式子后代入计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴ 知识点五：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 1、二次根式的乘除法则： （1） （2） 2、二次根式的加减法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并． 例1．计算： (1)； (2)． 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则、分母有理化计算，再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 例2．计算： （1）； （2）. 【分析】根据分式的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查分式的计算,熟练掌握计算法则是关键. 例3．计算 (1)； (2) （）． 【分析】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． 【详解】（1） 解： ＝ ＝－＋ ． （2） 解： ＝· ． 【点睛】 本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 变式练习 1． 计算： 【详解】解：原式 2． 计算：． 【分析】前半部分套用平方差公式展开计算，后半部分依据二次根式除法法则化简，最后做有理数加减运算得出结果． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质进行计算，再计算加减即可得出结果； （2）先利用二次根式的除法法则、完全平方公式、零指数幂的运算法则进行计算，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解：              ； （2）解： ． 3． 计算：． 【分析】先根据算术平方根、二次根式的性质、负指数幂、零指数幂依次计算，再按照有理数的加减运算即可． 【详解】解： ． 5．计算： (1) (2) 【分析】（1）利用二次根式乘除混合运算的方法计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 6． 计算：． 【详解】解：原式 ． 7． 计算：． 【分析】根据算术平方根、立方根的定义及二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式， ． 8．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．计算： (1)； (2)． 【分析】（1）先由二次根式性质、二次根式除法运算法则化简，然后合并同类二次根式，最后化简即可； （2）先由平方差公式、完全平方公式展开，再由二次根式性质化简，最后由加减运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．计算： (1) (2) 【分析】（1）原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果； （2）原式化简后，合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 知识点六：根式比较大小 方法介绍：①估值法 ②平方法 ③作差法 ④作商法 ⑤倒数法 例1． 比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【分析】两个正的算术平方根比较大小，被开方数越大，对应的算术平方根越大，据此比较被开方数即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于正的算术平方根，被开方数越大，算术平方根越大， ∴ ． 变式练习 1．不用计算器比较大小 (1)与 (2)与 (3)与 (4)与 【分析】（1）计算与的大小关系即可； （2）计算与的大小关系即可； （3）先求出，则，再根据即可得； （4）分三种情况：①，②，③，计算与1的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∴， 又∵，， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （4）解：①当时，， ∴， ∴； ②当时，则； ③当时，， ∴， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，． 2．比较下列各组数中两个数的大小． （1）和；      （2）和． 【分析】通过比较被开方数来比较二次根式的大小． 【详解】（1）∵ ∴，即 （2）∵ ∵ ∴，即． 【点睛】本题考查二次根式比较大小的知识，熟练求解二次根式的被开方数是解题的关键． 3．比较大小： ①_____ ②___ 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 【详解】解：①－ = ∵ ∴＜0 ∴＜ 故答案为：＜； ②== == ∵＞ ∴ ∴＜ 故答案为：＜． 【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 例2．已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”） (3)若，求的值． 【分析】（1）通过分母有理化直接化简； （2）先将两个二次根式的差变形为同分子的分数，通过比较分母的大小判断原式大小； （3）先对分母有理化，再直接代入计算． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵ ∴ ∴ （3）解： ∴ ∴ ． 变式练习 1．小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (3) 任务二：比较与的大小． 【分析】（1）先观察已知等式的数字变化规律，归纳得到第个等式，再利用平方差公式证明等式成立； （2）先利用平方差公式对进行分母有理化化简，再通过比较常数大小得到两个式子的大小关系． 【详解】（1）略； （2）解：， ∵， ∴， 不等式两边同时加得：， 即． 2．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1) 将二次根式进行“分子有理化”； (2) 比较和的大小． 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $