第5章 5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦三角恒等变换，核心内容包括辅助角公式、实际应用及综合问题。课堂通过问题思考引导学生从具体三角函数式合并（如sinx±cosx）推导一般形式，衔接两角和差正弦公式，构建知识支架。 其亮点在于以问题链驱动逻辑推理，通过半圆内接矩形面积等实例培养数学建模，综合题结合函数性质提升数学运算。典例解析步骤清晰，规律方法总结到位，评价题分层设计，助力学生核心素养发展，为教师提供系统教学资源。

　 第五章 三角函数 单元学习十五 三角恒变等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换(二) 任务一　辅助角公式 1 任务二　三角恒等变换的实际应用 2 任务三　三角恒等变换与三角函数的综合问题 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简，提升逻辑推理的核心素养． 2.能够利用三角恒等变换解决三角函数中的问题以及生活中的实际问题，提升数学运算和数学建模的核心素养． 任务一　辅助角公式 返回 问题导思 (阅读教材P227，完成探究问题1、2) 问题1.请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x±cos x，sin x±cos x． 提示：sin x±cos x＝ ． 问题2.一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？ 提示：第一步：提常数，提出； 第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ＝，sin φ＝(cos φsin x＋sin φcos x)； 第三步：化简、逆用公式得asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝． 新知构建 辅助角公式 1.asin x＋bcos x＝____________，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定． 2.asin x＋bcos x的最大值为，最小值为－． sin(x＋φ) 微提醒 asin x＋bcos x＝cos(x－θ)也是常用的化简形式． 典例 1 (1)sin －cos ＝__________． － sin ． (2)(双空题)函数f(x)＝sin(－x)＋cos(－x)的最小正周期为______，最 大值为_____． 2π f(x)＝－x)］ ＝］ ＝－x)，所以函数f(x)的最小正周期为2π，最大值为． 规律方法 1.辅助角公式其实质是两角和差公式的逆用，关键是把常数 化为三角函数． 2.利用辅助角公式将三角函数统一为复角的一种三角函数，不仅可利用其化简求值，亦可进一步研究函数的基本性质． 对点练1.函数f(x)＝5cos x＋12sin x的最小值为_______． －13 f(x)＝13(sin x)＝13sin(x＋φ)(其中tan φ＝)，所以f(x)min＝ －13. 返回 任务二　三角恒等变换的实际应用 返回 典例 2 (链教材P227例10)如图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C，D为半圆上的点． (1)请你确定点C的位置，使△ABC的周长最大，并说明理由； 解：如图所示，当C在半圆中点位置时，△ABC的周长最大．理由如下：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，所以∠ACB＝， 即△ABC是直角三角形． 设BC＝a，AC＝b，∠ABC＝α(0＜α＜)， 又AB＝2，则a＝2cos α，b＝2sin α， △ABC的周长＝a＋b＋2＝2cos α＋2sin α＋2＝2(cos α＋sin α)＋2＝2sin(α＋)＋2. 因为0＜α＜＜α＋， 所以当α＋，即α＝ ＋2，此时C是半圆的中点． (2)已知AD＝DC，设∠ABD＝θ，当θ 为何值时，四边形ABCD的周长最大？并求出最大值． 解：因为AD＝DC，所以∠ABD＝∠DBC＝θ， 所以AD＝DC＝ABsin θ＝2sin θ， CB＝ABcos 2θ＝2cos 2θ． 设四边形ABCD的周长为p， 则p＝AD＋DC＋CB＋AB＝4sin θ＋2cos 2θ＋2＝4sin θ＋2(1－2sin2θ)＋2＝5－4(sin θ－)2. 显然θ∈(0，)，所以当θ＝时，p取得最大值5. 规律方法 1.解题的关键是合理地引入自变量，本题引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题． 2.求解过程中注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系．(2)注意实际问题中变量(角α)的范围．(3)重视三角函数有界性的影响． 对点练2.有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图所示，设∠AOB＝θ(θ∈(0，))， 则AB＝asin θ，OA＝acos θ． 设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB， 所以S＝2acos θ·asin θ＝a2·2sin θcos θ＝a2sin 2θ． 因为θ∈(0，)，所以2θ∈(0，π)． 因此，当2θ＝，即θ＝时，Smax＝a2. 这时点A，D到点O的距离为a， 矩形ABCD面积的最大值为a2. 返回 任务三　三角恒等变换与三角函数的综合问题 返回 已知函数f(x)＝cos(＋x)·cos(－x)，g(x)＝sin 2x－． (1)求函数f(x)的最小正周期； 解：f(x)＝(sin2x ＝， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π． 典例 3 (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合． 解：h(x)＝f(x)－g(x)＝)， 当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值， 此时x的取值集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}． 规律方法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 对点练3.已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－)，x∈R． (1)求f(x)的最小正周期； 解：由题意，得f(x)＝ ＝cos 2x ＝)， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π． (2)求f(x)在区间［－，］上的最大值和最小值． 解：因为x∈［－］， 所以f(x)在区间［－ ， 所以f(x)在区间［－． 课堂小结 返回 任务再现 (1)辅助角公式．(2)三角恒等变换的实际应用．(3)三角恒等变换与三角函数的综合问题 方法提炼 辅助角公式法、转化与化归法、数学建模 误区警示 易忽视实际问题中自变量的取值范围 随堂评价 返回 √ 1.sin － cos 等于 A． B．－ C． D． ．故选D． √ 2.(多选)若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则 A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)的最大值为2 C．函数f(x)的一条对称轴为x＝ D．函数f(x)在(π，)上单调递增 √ f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝)，所以函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故C正确；由π＜x＜，可知函数f(x)在(π，)上单调递增，故D正确．故选CD． 3.函数f(x)＝3sin x＋5sin(x＋)的最大值为______． 7 f(x)＝3sin x＋5(sin (x＋φ)＝7sin(x＋φ)，所以f(x)max＝7. 4.当x∈［－，］时，关于x的方程sin x－cos x－m＝0有解，则实数m的取值范围是_______________． ［－2，］ 由题意知，关于x的方程 ］上有交点， 如图所示， 由图象易得，－2≤m≤． 返回 课时分层评价 返回 1.若sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于 A．－ B．－ C． D． √ 因为sin x－，因为φ∈ (－π，π)，所以φ＝－．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若＜α＜π，则|cos α|＋＝ A．0 B．2cos α C．sin(α－) D．cos(α－) √ 因为＜α＜π，所以|cos α|＋＝－cos α＋ ＝－cos α＋sin α|＝sin α－cos α＝sin(α－)．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.等于 A． B．1 C． D． √ ．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知sin x＋cos x＝，则cos等于 A． B． C． D． √ 因为 ．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，OA⊥AB，设∠AOB＝θ，把面积y表示为θ的解析式，则有 A．y＝50cos 2θ B．y＝25sin θ C．y＝25sin 2θ D．y＝50sin 2θ √ 由题意知OB＝5，∠AOB＝θ，OA⊥AB，所以在△AOB中，OA＝ 5cos θ，AB＝5sin θ，则矩形木料的面积为y＝2OA×2AB＝4× 25sin θcos θ＝100sin θcos θ＝50sin 2θ．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x，则下列结论正确的是 A．f(x)的最大值为＋1 B．f(x)的一个零点为x＝ C．f(x)的最小正周期为π D．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋)，所以f(x)的最小正周期为π，f(x)的最大值为 不是零点，故B错误．故选ACD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(双空题)y＝3sin x＋3cos x的最小正周期为____，最大值为____． 2π 6 y＝3)．所以函数的最小正周期T＝2π，最大值为6． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若函数y＝sin x＋cos x＋5的最小值为1，则实数a＝_____． 15 因为y＝sin x＋sin(x＋φ)＋5，其中tan φ＝，0＜φ＜＋5＝1，解得a＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知θ是钝角，sin θ－cos θ＝m，则实数m的取值范围是__________． (1，］ 因为sin θ－cos θ＝sin(θ－)，θ是钝角，即＜θ＜π，＜θ－sin(θ－］． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x． (1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离； 解：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝)＋1. 函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)在区间［－，］上的最大值与最小值，以及此时x的取值． 解：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝)＋1. 因为x∈［－］， 所以当2x＋ 时，f(x)取得最小值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f＝asin x＋2cos x的图象关于直线x＝对称，则a＝ A.1 B.2 C． D.2 √ 函数f＝asin x＋2cos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝ ．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)若方程sin x＋cos x＝4－m有解，则实数m的取值可以是 A.2 B.4 C.6 D.8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 ≤1，所以2≤m≤6.故选ABC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围是__________． (，) 设∠POQ＝θ(0＜θ＜)，则PQ＝sin θ，OQ＝cos θ，所以S△POQ＝ sin θcos θ＝sin 2θ．由sin 2θ＞，得sin 2θ＞．又2θ∈(0，π)，所以＜2θ＜＜θ＜)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1. (1)求f(x)在区间［0，］上的值域； 解：f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1 ＝)． 因为x∈［0，， 所以－) ≤ 1. 故f(x)在区间［0，］上的值域为［－1，2］． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(α)＝－，且α∈［0，］，求cos 2α的值． 解：由f(α)＝－， 知sin(2α－＜0. 又因为－2α－， 所以cos(2α－． 故cos 2α＝cos［(2α－］ ＝cos(2α－－sin(2α－ ＝． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之 二，则α＝__________． 或 设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则．又a＝GC＋CF＝bsin α＋bcos α，所以sin α＋cos α＝，所以sin(α＋．因为0＜α＜＜α＋，所以α＋，则α＝． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当a固定，θ变化时，求的最小值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：设QR＝x，则在Rt△BPQ中，BQ＝， 在Rt△CSR中，RC＝xtan θ． 由＋x＋xtan θ＝a， 解得x＝， 所以QR＝． 所以S1＝acos θ·asin θ ＝a2sin θcos θ， S2＝QR2＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 ＝sin 2θ＋1. 令t＝sin 2θ，因为0＜θ＜，所以0＜2θ＜π． 则t＝sin 2θ∈(0，1］． 令g(t)＝t＋1， 设t1，t2∈(0，1］，且t1＜t2，则g(t1)－g(t2)＝(． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由t1，t2∈(0，1］，得4－t1t2＞0. 由t1＜t2，得t2－t1＞0. 于是g(t1)－t(t2)＞0，所以g(t1)＞g(t2)． 所以函数g(t)在(0，1］上递减， 因此当t＝1时，g(t)有最小值， g(t)min＝g(1)＝， 此时sin 2θ＝1，θ＝， 所以当θ＝． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 三 角 函 数 返回 $