第1章 1.1 第2课时 集合的表示-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合的列举法、描述法及集合与方程的综合问题，通过“五岳”等具体实例导入列举法，以不等式解集无法列举引出描述法，构建从具体到抽象的学习支架，衔接自然语言到符号语言的转化。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心，通过问题链引导、典例分类讨论（如含参数方程解集问题）及变式探究，培养逻辑思维。课堂小结用表格梳理任务、方法与易错点，学生能提升抽象与运算能力，教师可借助分层评价资源高效教学。

1.1 集合的概念 第2课时 集合的表示 　 第一章 集合与常用逻辑用语 单元学习一 集合 任务一　列举法 1 任务二　描述法 2 任务三　集合与方程的综合问题 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法，提升数学抽象 的核心素养． 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号 语言刻画集合，提升数学抽象与数学运算的核心素养． 任务一　列举法 返回 问题导思 (阅读教材P3—5，完成探究问题1) 问题1.观察下面两个集合： ①中国的“五岳”组成的集合M； ②小于6的正整数构成的集合N． (1)上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？其元素分别是 什么？ 提示：能．集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素为：1，2，3，4，5. (2)上述集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？ 提示：列举法．M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}；N＝{1，2，3，4，5}． 新知构建 1.列举法 把集合的所有元素__________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做________． 2.用列举法表示的集合的结构 一一列举 列举法 微思考 一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 提示：不用考虑元素的顺序． 微提醒 用列举法表示集合的注意点 (1)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，也可以用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}．(2)集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． 典例 1 (链教材P3例1)用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； 解：不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10， 所以A＝{0，2，4，6，8，10}． (2)小于8的质数组成的集合B； 解：小于8的质数有2，3，5，7， 所以B＝{2，3，5，7}． (3)方程x2＝x的实数根组成的集合C； 解：由x2＝x，得x＝0或x＝1， 所以方程x2＝x的实数根组成的集合C＝{0，1}． (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D． 解：由 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}． 规律方法 用列举法表示集合的三个步骤 第一步：求出集合的元素； 第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 第三步：用花括号括起来． 注意　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}． 对点练1.用列举法表示下列集合： (1)大于2且小于8的整数组成的集合A； 解：因为大于2且小于8的整数包括3，4，5，6，7，所以集合A＝{3，4，5，6，7}． (2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合B； 解：因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2， 所以集合B＝{1，2}． (3)直线y＝3x＋1与y轴的交点所组成的集合C． 解：将x＝0代入y＝3x＋1，得y＝1. 所以直线与y轴的交点为(0，1)， 故集合C＝{(0，1)}． 返回 任务二　描述法 返回 问题导思 (阅读教材P3—5，完成探究问题2) 问题2.你能用列举法表示不等式x－7＜3的解集吗？如果不能，该如何表示不等式x－7＜3的解集呢？ 提示：不等式x－7＜3的解是x＜10，因为满足x＜10的实数有无数个，所以x－7＜3的解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x＜10，把解集表示为{x∈R|x＜10}． 新知构建 1.描述法 设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为____________，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线，写成_____________或_____________． 2.用描述法表示的集合的结构 {x∈A|P(x)} {x∈A：P(x)} {x∈A；P(x)} 微提醒 用描述法表示集合的注意点 (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x＞1}不能写成{x＞1}．(2)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．(3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应为{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x＜－1，或x ＞1}． 微思考 下面三个集合：A＝，B＝，C＝，请说说它们各自代表的含义． 提示：A是数集，是由函数的自变量x构成的集合，且A＝R；B是数集，是由函数的值构成的集合，且B＝；C为点集，是由二次函数y＝x2＋1上的点构成的集合． (链教材P4例2)用描述法表示下列集合： (1)不等式2x－8＜2 026的解集A； 解：解2x－8＜2 026得x＜1 017， 所以集合A＝{x|x＜1 017}． (2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B； 解：函数值组成的集合就是y的取值集合， 所以集合B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}． (3)被3除余2的正整数的集合C； 解：被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n＋2，n∈N}． 典例 2 (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合D． 解：平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0，所以集合D＝{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}． 规律方法 用描述法表示集合的三个步骤 第一步(写出代表元素)：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示； 第二步(明确元素的特征)：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围； 第三步(用花括号括起来)：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}．其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件． 对点练2.用描述法表示下列集合： (1)小于10的非负整数构成的集合； 解：小于10的非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x∈Z|0≤x＜10}． (2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； 解：数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|＞3}． (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合； 解：平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy＜0}． (4)集合{1，3，5，7，…}． 解：集合{1，3，5，7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N*}． 返回 任务三　集合与方程的综合问题 返回 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 解：若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个相等的实根． 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根， 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 典例 3 变式探究 1.(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围． 解：由题意得 解得k＜1，且k≠0. 所以k的取值范围是{k|k＜1，且k≠0}． 2.(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值集合． 解：①当集合A中含有1个元素时，由例3知，k＝0或k＝1；②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解得k＞1.综上，实数k的取值集合为{k|k＝0，或k≥1}． 规律方法 求解集合与方程的综合问题应关注三点 1.弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． 2.当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． 3.求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性． 对点练3.(双空题)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＝____，b＝____． 5 6 由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3.由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6. 课堂小结 返回 任务再现 (1)列举法．(2)描述法．(3)集合与方程的综合问题 方法提炼 列举法、描述法、分类讨论法 易错警示 (1)列举法与描述法的乱用．(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程 随堂评价 返回 √ 1.若A＝{(0，0)，(1，1)}，则集合A中的元素个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 集合A中的元素为(0，0)，(1，1)，共2个．故选B． √ 2.集合的另一种表示形式是 A． B． C． D． 因为x∈N*，又x－2＜3，得x＜5，故x的可能取值为1，2，3，4.故选B． √ 3.(多选)下列说法中正确的是 A．0与{0}表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2} D．集合{x|2 025＜x＜2 026}可以用列举法表示 √ 对于A，“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故A错误；对于B，根据集合中元素的无序性可知B正确；对于C，根据集合中元素的互异性可知C正确；对于D，不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举，故D错误．故选BC． 4.(易错题)已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}是单元素集，则实数a的取 值集合为__________． 由集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}是单元素集，可得方程(a－1)x2＋3x－2＝0只有一个解．当a－1＝0，即a＝1时，方程为3x－2＝0，解得x＝，此时A＝，符合题意；当a－1≠0，即a≠1时，则满足Δ＝9－4(a－1)×(－2)＝0，解得a＝－． 返回 课时分层评价 返回 1.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合为 A．{x∈Z|－3＜x＜11} B．{x|－3＜x＜11} C．{x|－3＜x＜11，x＝2k} D．{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z} √ 由题意可知，满足题设条件的只有选项D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.方程组的解构成的集合为 A．(1，1) B．{1，1} C．{(1，1)} D．{1} √ 由方程组解得x＝1，y＝1.所以方程组的解构成的集合为{(1，1)}．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知集合S＝，T＝{(x，y)|x＋y＝0}，下列关系正确的是 A．－2∈S B．∉T C．－1∉S D．∈T √ 因为S＝＝，故A，C错误；因为2＋＝0，所以∈T，故B错误；又－1＋1＝0，所以∈T，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知集合M＝{0，1}，则集合N＝{(x，y)|x∈M，y∈M}中所含元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 因为集合M＝{0，1}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M}，所以N＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}，即N中共有4个元素．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)给出下列说法，其中正确的是 A．集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的所有解组成的集合为{(2，－3)} √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由x3＝x，得x＝0或x＝1或x＝－1，而－1∉N，因此集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0，1}，故A正确；对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故B不正确；对于C，方程组表示两个等式组成的集合，故C不正确；对于D，由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，得x＝2且y＝－3，则所有解组成的集合为{(2，－3)}，故D正确．故选AD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)集合A＝，集合A还可以表示为 A． B． C． D． √ √ √ A＝＝.对于A，不符合；对于B，＝{x｜x(x－1)(x－2)＝0}＝，符合；对于C，符合；对于D，＝，符合.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为___________________． {x|x＝3k＋1，k∈N} 因为被3除余数等于1的自然数为x＝3k＋1，k∈N，所以其对应的集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋1，k∈N}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为_______________ __________． {(2，4)，(5，2)， (8，0)} 因为2x＋3y＝16，所以3y＝16－2x＝2(8－x)，且x，y∈N，所以y为偶数且0≤y≤5.当y＝4时，x＝2；当y＝2时，x＝5；当y＝0时，x＝8，所以集合用列举法表示为{(2，4)，(5，2)，(8，0)}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若集合A＝中有两个元素，则实数m的取值范围是 _____________________． 由题意，方程mx2＋2x＋2＝0有两个不等的实根，则m≠0且Δ＝22－4m×2＞0，解得m＜且m≠0，所以实数m的取值范围是{m|m＜，且m≠0}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)用适当的方法表示下列集合： (1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合； 解：方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}． (2)大于2且小于6的有理数组成的集合； 解：由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2＜x＜6}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)图中阴影部分的点(含边界)的集合． 解：题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为 A．5 B．6 C．8 D．9 √ A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}．当a＝b时，则a－b＝0，当a＞b时，a－b＝1或a－b＝2，当a＜b时，a－b＝－1或a－b＝－2.所以集合B＝{0，1，2，－2，－1}，有5个元素．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(新定义)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，则集合A⊙B的所有元素的平均数为 A．14 B．15 C．16 D．17 √ 根据题意，A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，且集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，当x＝0，y＝1或2时，都有z＝0；当x＝3，y＝1时，有z＝3×1×(3＋1)＝12；当x＝3，y＝2时，有z＝3×2×(3＋2)＝30，则A⊙B＝{0，12，30}，其平均数为＝14.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知集合A＝，则A用列举法表示为_____________________________________________． 因为x2＋y2≤，x∈Z，所以x可取－1，0，1.当x＝－1时，原式为1＋y2≤.又y∈Z，所以y＝0；当x＝0时，原式为y2≤.又y∈Z，所以y＝－1或y＝0或y＝1；当x＝1时，原式为1＋y2≤.又y∈Z，所以y＝0.所以A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知A＝{x|3x2－mx＋2m＜0}． (1)若3∈A，求实数m的取值范围； 解：由3∈A，得27－3m＋2m＜0， 解得m＞27，所以实数m的取值范围是{m|m＞27}． (2)若0∈A且1∈A，求实数m的取值范围． 解：因为0∈A，且1∈A， 所以解得m＜－3， 所以实数m的取值范围是{m|m＜－3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)(新定义)设集合S中的元素均为实数，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题正确的是 A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集 D．若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，取1，2∈N，则1＋2∈N，1－2＝－1∉N，故自然数集N不是封闭集；对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集；对于C，设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2，a1，b1，a2，b2都是整数，则a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，故x＋y＝a1＋a2＋(b1＋b2)∈S，同理x－y＝a1－a2＋(b1－b2)∈S，xy＝(a1＋b1)(a2＋b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，故集合S＝{a＋b｜a，b为整数}为封闭集，故C正确；对于D，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，则0－1＝－1∈S，1＋2＝3∈S，依此类推可得所有整数都属于S，则S一定为无限集，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)(新定义)已知n元有限集A＝(n≥2，n∈Z)，若a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1×a2×a3×…×an，则称集合A为“n元和谐集”． (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； 解：不妨令A＝，此时3＋＝3×，满足要求． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由． 解：设正整数集A＝为“三元和谐集”，则a1a2a3＝a1＋a2＋a3， 不妨设a1＜a2＜a3，则a1a2a3＝a1＋a2＋a3＜3a3，解得a1a2＜3， 因为a1，a2∈N*，故只有a1＝1，a2＝2满足要求， 综上，A＝满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即A＝． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 $