第4章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦无理数指数幂的概念、实数指数幂运算性质及综合应用，通过问题导思连接有理数指数幂知识，以“探究逼近过程—推广运算性质”为支架，构建从有理数到实数指数幂的认知脉络。 其亮点在于以数学抽象（如无理数指数幂的确定）、逻辑推理（性质推广）和数学运算（典例整体代换）为核心，结合实际问题（酒精浓度、细菌分裂）培养应用意识。采用“问题-新知-典例-练习-评价”闭环设计，小结提炼方法，助力学生系统掌握，教师可通过分层评价精准教学。

4.1 指数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 　 第四章 指数函数与对数函数 单元学习九 指数与指数函数 任务一　无理数指数幂及其运算性质 1 任务二　实际问题中的指数运算 2 任务三　实数指数幂的综合运用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.能结合教材探究了解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程， 培养数学抽象的核心素养. 2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质，提 升逻辑推理和数学运算的核心素养. 任务一　无理数指数幂及其运算性质 返回 (阅读教材P107－108，完成探究问题1、2) 问题1.阅读教材P108探究，思考是不是一个确定的实数. 提示：是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，51.42，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. 问题2.前面我们学习了有理数指数幂的运算性质，能否把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算？ 提示：能把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算. 问题导思 1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的______. 2.实数指数幂的运算性质 (1)aras＝(a＞0，r，s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)； (4)拓展：＝(a＞0，r，s∈R)，()r＝(a＞0，b＞0，r∈R). 新知构建 实数 对于无理数指数幂aα，特别强调底数a＞0，如果a＜0，比如(－1，无法判断其值是1还是－1. 微提醒 计算下列各式的值： (1)(×； 解：原式＝[(23×＝(23×＝23×3＝24. 典例 1 (2). 解：原式＝＝＝＝＝. 关于无理数指数幂的运算技巧 1.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同. 2.若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算. 规律方法 返回 对点练1.计算下列各式的值(式中字母均是正数)： (1)(； 解：原式＝(·＝26·m3＝64m3. (2)a－π. 解：原式＝＝a0＝1. 任务二　实际问题中的指数运算 返回 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应用水填满___次后才能使酒精的浓度低于10％. 典例 2 由题意得，第n次操作后溶液的浓度为.令＜，验证可得n≥4.所以至少应用水填满4次后才能使酒精的浓度低于10％. 4 指数运算在实际问题中的应用 　　在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等. 规律方法 对点练2.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成______个. 返回 经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个). 64 任务三　实数指数幂的综合运用 返回 已知＋＝，求下列各式的值： (1)a＋a－1； 解：将＋＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. 典例 3 (2)a2＋a－2. 解：将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，即a2＋a－2＝7. (变设问)在本例条件下，a2－a－2＝__________. 变式探究 令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，所以y＝±3，即a2－a－2＝±3. ±3 利用整体代换法求实数指数幂 1.整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. 2.利用整体代换法解决实数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.常见的变形公式：x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2. 规律方法 对点练3.(1)已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝____. 32a－b＝＝. (2)已知＋＝4，则的值为____. －3 因为＋＝4，所以x＋2＋x－1＝16，所以x＋x－1＝14，所以x2＋2＋x－2＝196，所以x2＋x－2＝194， 所以原式＝＝－3. 课堂小结 返回 任务再现 (1)无理数指数幂的运算.(2)实际问题中的指数运算.(3)实数指数幂的综合运用 方法提炼 定义法、整体代换法 易错警示 在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数 随堂评价 返回 1.·＝ A．103 B．1 C．310 D． √ ·＝(2×5＝1.故选B． 2.已知am＝4，an＝3，则＝ A． B．6 C． D．2 √ 由题意得，am＋2n＝am·a2n＝4×9＝36，所以＝＝6.故选B． 3.已知＋＝5(x＞0)，那么＋＝ A． B．－ C．± D．7 √ (＋)2＝＋＋2＝5＋2＝7.又x＞0，故＋＝.故选A． 4.(1)已知x＞0，化简：(·＝___. 返回 原式＝＝x2. (2)求值：×＝____. x2 ×＝×＝2－1＝. 课时分层评价 返回 1.对于a＞0，b＞0，以下运算正确的是 A．ar·as＝ars B．(ar)s＝ars C．＝arbr D．arbs＝(ab)r＋s √ 根据实数指数幂的运算性质进行判断.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列运算中正确的是 A．＝ B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－2)0＝1 D．(－)5＝－ √ ＝，故A错误；(－a2)3＝－a2×3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B错误；当a＝4时，(－2)0无意义，故C错误；(－)5＝－，故D正确.故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.计算(的结果是 A．π B． C．－π D． √ (＝＝π－1＝.故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若＋＝3，则＝ A． B． C． D． √ 由题意得，(＋)2＝9，且a＞0，所以a＋＝7，故＝＝.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于 A． B．10 C．20 D．100 √ 由题意得m＞0.因为2a＝m，5b＝m，所以2＝，5＝.因为2×5＝·＝，所以m2＝10，所以m＝.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列计算正确的是 A．＝ B．()(－3)÷()＝－9a(a＞0，b＞0) C．＝ D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝＝，故A错误；()(－3)÷()＝－9·＝－9a，故B正确；＝＝(32＝＝，故C正确；因为x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝2，所以(x＋x－1)2＝4，则x＋x－1＝±2，故D错误.故选BC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.计算：6＋＋(2＋1)0＝____. 原式＝4＋4＋1＝9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.化简：＝____. 原式＝＝＝＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知10α＝2，10β＝3，则把写成底数是10的幂的形式为__________. ＝＝＝＝＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)(1)当x＝，y＝2－时，求(－)·(＋＋)的值； 解：原式＝(－)[()2＋＋()2]＝()3－()3＝x2－y－1. 又因为x＝，所以x2＝2＋. 因为y＝2－，所以y－1＝1＋. 所以x2－y－1＝2＋－(1＋)＝1＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a2x＝－1，求的值. 解：由a2x＝－1得a－2x＝＋1， 所以＝a2x＋a－2x－1＝－1＋＋1－1＝2－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在算式2数＋2智＋2赋＋2能＝29中，“数、智、赋、能”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“智”字所对应的数字为 A．4 B．3 C．2 D．1 √ 由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，可得“智”字所对应的数字为3.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.方程＝的解为 A．－ B．－ C． D． √ 因为＝，所以＝3－2，所以x－1＝－2，所以x＝－.所以方程＝的解为－.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝______. 由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3①.由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9②.联立①②，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27. 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知函数f(x)＝(a＞0，a≠1，a为常数，x∈R). (1)若f(m)＝6，求f(－m)的值； 解：因为f(m)＝6，所以＝6， 所以f(－m)＝＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(1)＝3，求f(2)，f()的值. 解：因为f(1)＝3，所以＝3， 所以a＋a－1＝6， 所以f(2)＝＝＝＝17. 因为(＋)2＝a＋a－1＋2＝8，＋＞0， 所以＋＝2， 所以f()＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝8a，则a＝_____. 因为a＞0，b＞0，又ab＝ba，b＝8a，所以(ab＝(ba，即a＝＝(8a＝(8a，所以＝，所以a7＝8，所以a＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)若实数x，y满足4x＋4y＝2(2x＋2y)，求2x－1＋2y－1的取值范围. 解：由题意得，4x＋4y＝2(2x＋2y)＝(2x＋2y)2－2×2x×2y， 所以(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y). 设2x＋2y＝t(t＞0)， 则t2－2×2x×2y＝2t，即2×2x×2y＝t2－2t. 由0＜2×2x×2y≤2·，得0＜t2－2t≤，解得2＜t≤4，即2＜2x＋2y≤4， 当且仅当2x＝2y＝2，即x＝y＝1时，等号成立， 又2x－1＋2y－1＝(2x＋2y)， 所以2x－1＋2y－1的取值范围是(1，2]. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第四章　 　指数函数与对数函数 返回 $